第三章导数与微分.ppt

1、微积分 第三章导数与微分,1,3.1 导数的概念,3.2 求导基本公式与求导运算法则,3.3 微分,3.4 高阶导数和高阶微分,第三章 导数与微分,3.5 边际与弹性,本章计划课时: 14课时,如果你月薪仅2000元，想在厦门买一套一百多平的房子和一辆奥迪A6，那么你不妨先给自己定个小目标，比如说我先活他个250年，然后向天再借500年。古时候的打劫：“此山是我开，此树是我栽，要想从此过，留下买路财。”这语言是多么的粗鲁， 经过上千年的文明洗礼，到了当今社会，语言变得多么文明贴心：“前方500米收费站，请减速慢行”我做错什么要来到这个学校？ 你做错了题,2,做题的时候首先要想出题者的意图 他想

2、让我死“你们夫妻每月挣多少？” “我月收入一万，加上我老婆，可以到两千。” 排队中，一妹子插队，一大姐怒了：你为什么插队！妹子说：因为我没素质。大姐于是大嘴巴子抽了她一耳光，妹子捂着脸说：你为什么抽我？！大姐回答说：因为我有病,3,大学的时候，刚进学校。学校让我们填一份自我简介，里面包括体育强项。同桌告诉我不要写那种运动会用的到的项目，不然以后运动会会强迫你参加。于是我们写的是高尔夫、网球、滑雪之类的，本想转过身去提醒后面玩的好的男生，结果一看他写的体育强项是双脚踩灯泡、胸口碎大石.我妈挖了一勺西瓜没拿稳，掉地上了，她捡起来就要往我嘴里塞，看见我很诧异地看着她，突然反应过来笑着说：“不好意思啊

3、，我还以为你还是小时候呢”！突然感觉胸口有点疼！,4,微积分 第三章导数与微分,5,3.1 导数的概念,引例1、变速直线运动的瞬时速度,一、引例,微积分 第三章导数与微分,6,（1）当物体作匀速运动时,（2）当物体作变速运动时,微积分 第三章导数与微分,7,引例2 平面曲线切线的斜率,割线 MN 的斜率为：,微积分 第三章导数与微分,8,割线 MN 的极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处的切线。,切线 MT 的斜率为：,微积分 第三章导数与微分,9,二、导数的定义,微积分 第三章导数与微分,10,微积分 第三章导数与微分,11,微积分 第三章导数与微分,12,微积分 第三章导数与微分,1

4、3,微积分 第三章导数与微分,14,微积分 第三章导数与微分,15,三、导数的几何意义,微积分 第三章导数与微分,16,四、单边（侧）导数,微积分 第三章导数与微分,17,微积分 第三章导数与微分,18,同样单边导数定义式也可简化为：,微积分 第三章导数与微分,19,解,思考,微积分 第三章导数与微分,20,五、可导性与连续性的关系,定理2.1,即,微积分 第三章导数与微分,21,解,问题：连续是否一定可导？,微积分 第三章导数与微分,22,微积分 第三章导数与微分,23,微积分 第三章导数与微分,24,函数在其可导的点处一定连续,函数在其不连续的点处一定不可导,函数在其连续的点处不一定可导,

5、结论,微积分 第三章导数与微分,25,六、用定义求导数,同样单边导数定义式也可简化为：,微积分 第三章导数与微分,26,解,常数的导数等于零,解,微积分 第三章导数与微分,27,例3. 求指数函数,的导数.,解,微积分 第三章导数与微分,28,解,特别地,微积分 第三章导数与微分,29,解,正弦函数的导数等于余弦函数.,类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数.,微积分 第三章导数与微分,30,注：分段函数分段点的导数必须用定义求,例6. 设函数,解,因为,微积分 第三章导数与微分,31,例7.,解,微积分 第三章导数与微分,32,方法一：,例8.,解,微积分 第三章导数与微分,33,微积分 第

6、三章导数与微分,34,方法二：,微积分 第三章导数与微分,35,微积分 第三章导数与微分,36,解,例9.,微积分 第三章导数与微分,37,由导数的几何意义知,所求切线的斜率为:,解,例11.,微积分 第三章导数与微分,38,3.2 求导基本公式与求导运算法则,一、四则运算求导法则,微积分 第三章导数与微分,39,证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),微积分 第三章导数与微分,40,微积分 第三章导数与微分,41,证毕.,微积分 第三章导数与微分,42,例1.,解,微积分 第三章导数与微分,43,解:,例2.,微积分 第三章导数与微分,44,解,例3.,微积分 第三章导数与微

7、分,45,例4.,解,微积分 第三章导数与微分,46,解,例5.,微积分 第三章导数与微分,47,常用公式：,微积分 第三章导数与微分,48,二、反函数的求导法则,微积分 第三章导数与微分,49,微积分 第三章导数与微分,50,解,例5.,微积分 第三章导数与微分,51,解,例6.,微积分 第三章导数与微分,52,三、基本导数的公式,微积分 第三章导数与微分,53,微积分 第三章导数与微分,54,微积分 第三章导数与微分,55,Guess,四、复合函数求导法则,微积分 第三章导数与微分,56,微积分 第三章导数与微分,57,微积分 第三章导数与微分,58,法则5(链法则),外层函数,内层函数,

8、微积分 第三章导数与微分,59,证,知,由极限与无穷小关系知,于是,微积分 第三章导数与微分,60,即,微积分 第三章导数与微分,61,解.,例1,求下列函数的导数,微积分 第三章导数与微分,62,微积分 第三章导数与微分,63,解,例2.,微积分 第三章导数与微分,64,解,例3.,微积分 第三章导数与微分,65,例4.,解,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.,微积分 第三章导数与微分,67,解,微积分 第三章导数与微分,68,微积分 第三章导数与微分,69,解,微积分 第三章导数与微分,70,解,微积分 第三章导数与微分,71

9、,例8,解,微积分 第三章导数与微分,72,称这类函数为隐函数.,二、隐函数求导法,微积分 第三章导数与微分,73,解,例9,微积分 第三章导数与微分,74,解,例10,微积分 第三章导数与微分,75,解,例11,微积分 第三章导数与微分,76,三、对数求导法,两类函数,有简便求,微积分 第三章导数与微分,77,例13 求,的导数 .,解 两边取对数 , 化为隐函数,两边对 x 求导,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,微积分 第三章导数与微分,79,解法2 将函数化为复合函数,微积分 第三章导数与微分,80,对 x 求导,两边取对数,例12,有些显函数用对数求导法求导很

10、方便 .,例13,两边取对数,两边对 x 求导,微积分 第三章导数与微分,82,微积分 第三章导数与微分,83,例15,解 两边取对数,微积分 第三章导数与微分,84,微积分 第三章导数与微分,85,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,3.4 高阶导数,微积分 第三章导数与微分,86,记作：,或,即,二阶导数的导数，叫做三阶导数，,记作：,或,微积分 第三章导数与微分,87,三阶导数的导数，叫做四阶导数，,记作：,或,记作：,或,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。,证明,所以,2015年1月,江西财经大学信息管理学院,88,隐函数的二阶导数,解,2015年1月,江西财经大学信息管理学院

11、,89,微积分 第三章导数与微分,90,隐函数的二阶导数,微积分 第三章导数与微分,91,微积分 第三章导数与微分,92,微积分 第三章导数与微分,93,几个初等函数的 阶导数,解,2015年1月,江西财经大学信息管理学院,94,微积分 第三章导数与微分,95,微积分 第三章导数与微分,96,微积分 第三章导数与微分,97,解,函数可转化为,思考,2015年1月,江西财经大学信息管理学院,98,微积分 第三章导数与微分,99,微积分 第三章导数与微分,100,由上面各阶导数可以得到,微积分 第三章导数与微分,101,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Le

12、ibniz) 公式,微积分 第三章导数与微分,102,例7.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,微积分 第三章导数与微分,103,小结,高阶导数的求法,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,如：,(4) 利用莱布尼兹公式,104,练一练,2015年1月,江西财经大学信息管理学院,105,解答,106,107,微积分 第三章导数与微分,108,面积的改变量：,一、微分的引进,3.5 微分,微积分 第三章导数与微分,109,微积分 第三章导数与微分,110,二、微分的定义,微积分 第三章导数与微分,111,微积分 第三章导数与微分,112,(充

13、分性),即,微积分 第三章导数与微分,113,说明:,微积分 第三章导数与微分,114,注意：,微积分 第三章导数与微分,115,三、基本微分公式与微分法则,微积分 第三章导数与微分,116,微分法则：,则,微积分 第三章导数与微分,117,微分法则：,设,都可微，,则,微积分 第三章导数与微分,118,复合函数的微分法则：,所以,即微分形式的不变性,微积分 第三章导数与微分,119,微积分 第三章导数与微分,120,微积分 第三章导数与微分,121,微积分 第三章导数与微分,122,微积分 第三章导数与微分,123,四、微分在近似计算中的应用,由微分定义知,(1),即,微积分 第三章导数与微

14、分,124,解: 设,取,则,微积分 第三章导数与微分,125,微积分 第三章导数与微分,126,即在生产100单位产品的基础上再多生产一单位产品，成本会增加2.96,微积分 第三章导数与微分,127,可证,当,很小时,有近似公式:,(4),微积分 第三章导数与微分,128,微积分 第三章导数与微分,129,解:,微积分 第三章导数与微分,130,3.6 边际与弹性,一、边际的概念,微积分 第三章导数与微分,131,微积分 第三章导数与微分,132,微积分 第三章导数与微分,133,微积分 第三章导数与微分,134,微积分 第三章导数与微分,135,微积分 第三章导数与微分,136,微积分 第三章导数与微分,137,二、弹性函数,1、弹性的概念,弹性的意义：,微积分 第三章导数与微分,138,微积分 第三章导数与微分,139,幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数,微积分 第三章导数与微分,140,2、弹性的经济应用,(1) 需求价格弹性,注意,微积分 第三章导数与微分,141,微积分 第三章导数与微分,142,微积分 第三章导数与微分,143,(2)供给价格弹性,微积分 第三章导数与微分,144,(3) 收益价格弹性,微积分 第三章导数与微分,145,微积分 第三章导数与微分,146,