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第十五章 常微分方程的解法.doc

第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步,通常需要求出方程的解来说明实际现象,并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的,但是我们知道,只有线性常系数微分方程,并且自由项是某些特殊类型的函数时,才可以肯定得到这样的解,而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的,即使看起来非常简单的方程如,于是对于用微分方程解决实际问题来说,数值解法就是一个十分重要的手段。1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题,其一般形式是 (1)在下面的讨论中,我们总假定函数连续,且关于满足李普希兹(Lipschitz)条件,即存在常数,使得 这样,由常微分方程理论知,初值问题(1)的解必定存在唯一。所谓数值解法,就是求问题(1)的解在若干点 处的近似值的方法,称为问题(1)的数值解,称为由到的步长。今后如无特别说明,我们总取步长为常量。建立数值解法,首先要将微分方程离散化

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