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1、理论力学,2015.9修改稿,教材课本及讲授内容,力学与理论力学（下册）中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地物理学丛书作者：秦敢，向守平科学出版社，2008其中，上册以力学为主，下册以分析力学为主，将力学和理论力学的教学内容统一合理地安排。为衔接课程内容，首先回顾一下已学过的力学内容。,参考书,金尚年等，理论力学，高等教育出版社周衍柏，理论力学教程，高等教育出版社陈世民，理论力学简明教程，高等教育出版社强元棨(q)，经典力学(上下)，科学出版社沈惠川，经典力学，科大出版社李书民，经典力学概论，科大出版社,力学中已学的内容概要,质点运动学（观测并记录质点的运动）质点的位置、速度、加速度，轨迹

2、质点动力学（找出运动的规律和原因）质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动质点系力学（应用于多个质点的体系）质点系，多个质点体系的守恒量非惯性参考系，平动和转动（牛顿力学不适用的参考系中的处理）刚体的平面运动（刚体是特殊的质点组）角速度，角动量，转动动能一些应用（有心力场，碰撞，振动等）,质点运动学质点的模型 质点是具有一定质量的但在空间上只是一个点的理想模型。运用质点模型来研究现实中的物体运动，在很多情况下是有效的，也是十分便利的。质点运动的描述：位移和路程：质点的位移是质点的起点连接到终点的矢量，而路程是质点所经历的轨迹长度。路程是曲线的总长，位移的大小是直线距离，总是不大于路程的。参考

3、系：质点运动时，与其他物体之间的相对位置关系会产生变化，建立参考系以更好描述质点的运动。位置矢量：常用参考系原点到质点位置的位移矢量来描述质点的位置。,力学基础内容（回顾）,质点运动学质点运动的描述：位置矢量是时间的函数，通过求导可得速度、加速度随时间的变化已知加速度通过积分速度，对速度积分求质点位置运动轨迹（消去时间 t，得空间曲线） 若已知位置函数关系 r(t) ，可以通过消去时间 t 得到质点运动轨迹曲线。,力学基础内容（回顾）,质点运动学坐标系：用数学上的坐标函数描述空间点的位置直角坐标系（x,y,z）柱坐标系 (r,j,z) （极坐标系）(r,q)球坐标系 (r, q, j)其他正交

4、曲线坐标系自然坐标系,力学基础内容（回顾）,质点动力学牛顿三定律从分析受力，来计算加速度、速度、位置随时间的变化（已知初始位置，初始速度）牛顿三定律的深入探讨，哪个更基本？惯性系。力的定义。惯性质量与引力质量。对于粒子与场的作用，作用力与反作用力的关系。相对论情况下，第二定律成立的形式。,力学基础内容（重温）,质点系力学内力和外力动量和角动量动能和势能质点系的质心，质心系动量守恒和角动量守恒及其成立的条件机械能守恒及其成立的条件非惯性参考系，非惯性力平动参考系转动参考系，科里奥利力，离心力,力学基础内容（重温）,刚体力学刚体模型角速度和角加速度转动惯量转动的角动量和转动动能力矩刚体的平面运动对

5、称轴刚体的定轴转动,力学基础内容（重温）,其他一些应用课题,有心力场（万有引力和行星运动，带电粒子散射）碰撞（两体碰撞，散射截面）振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动）带电粒子的运动狭义相对论非线性力学流体力学连续介质体系的力学,分析力学主要内容,约束与虚功原理拉格朗日力学达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律哈密顿力学正则方程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克比方程刚体的运动学和动力学,分析力学的基础,以牛顿三定律的经典力学为理论基础应用数学方法建立完整的理论体系得到一些原理性的结果有些结果推广到非经典的领域（如相对论和量子力学）更加自然,分析力学与牛顿

6、力学特点比较,第1次课,习题 1,1.1 考虑初始时以20m/s速度并与水平面成30抛出的物体的运动过程。分别用牛顿力学方法、机械能守恒方法计算物体在最高点时的速度。取重力加速度为10m/s2。1.2 质量m的圆弧面形的滑块静止于光滑水平面上，一个质量为m/3的小球以v0速度冲上滑块然后又滑下，求两者的末速度。思考若用矢量力学求解为何困难。滑块的高和长均为 v02/g 。,直角坐标系,坐标：(x,y,z)基矢量 e ：用于表示矢量的方向，其大小为1，即单位长度。直角坐标系的基矢量是恒定的。,柱坐标系,坐标：,柱坐标系各项加速度在不同情况下显现,除了z向加速度 ，径向加速度 j 保持不变，沿R方

7、向加速向心加速度R， 保持不变，切向速度的方向改变角加速度z，R保持不变，角速度变化，同时切向速率变化科里奥利加速度 保持不变。当 不变，R变化使得切向速度改变；当 不变，j 变化使得径向速度改变。,球坐标系,坐标,球坐标系,加速度的表达式复杂，以至于实用性差。在地球上，er 是上方，eq 是南方，ej 是东方。,一般的正交曲线坐标系,坐标：,称为拉梅系数。曲线长度满足,一般的正交曲线坐标系的面元、体元,自然坐标系,自然坐标系不是数学上严谨的坐标系，但符合人们的自身体验，因而应用于日常生活中十分容易理解。将运动轨迹理解为质点的运动轨道，用轨道上的路程确定位置。力(矢量)分为是改变速率的部分(沿

8、速度方向)和改变方向的部分(垂直于速度方向)。曲率半径 r 的倒数称为曲率。,第2次课,2.1 推导一个质点在球坐标系中的加速度表达式。2.2 求习题1.1中的质点运动轨迹（抛物线）在射出点和最高点处的曲率半径。如果单单从抛物线的形状是可以求出这两点的曲率半径的，但利用自然坐标系中的动力学公式，计算似乎更简单些。,习题 2,约束与自由度,一般情况下，n个质点的系统，有k个约束：在3维空间，坐标3n个，有k个约束，则自由度为 s=3n-k，从而原则上可以只用s个独立变量来描述系统（其余坐标可由约束方程限定）。这些独立变量描述系统，在分析力学中对应于由这些自变量组成一个函数（系统函数）。,约束的类

9、型,约束方程分类：依照含不含速度，分为：完整约束或几何约束，非完整约束、运动约束或微分约束，如果可以积分，可将微分约束转化为几何约束；依照是否显含时间，分为：稳定约束，非稳定约束；依照是否为等号，分为：不等号时是可解约束，等号是不可解约束。,约束的类型,完整约束（几何约束）稳定的几何约束不稳定的几何约束不完整约束 且不可积分成完整约束，也称为微分约束。可解约束： 或 或双面可解,不可解和可解约束,每个不可解约束，会使系统降低一个自由度。,约束的一些示例,活塞和转轮连杆系统,组合摆,纯滚动的约束系统,完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为方程变分和微分有很多共同之处，但变分可以是瞬时完成的

10、，即 dt = 0，上式变分之后，可成为广义坐标q的变分 dq 的线性方程，形如 其中， ，这种形式是分析力学中处理约束所需要的。,约束变分的线性方程,完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线性非完整约束形如 可得到与几何约束所导出的变分线性方程的类似结果（注意到dt=0） 因而起到与几何约束类相的效果。,可化为线性变分的非完整约束,广义坐标,坐标的个数比系统的自由度s多的时候，存在约束。约束的个数k正好等于坐标的个数减去系统自由度。用s个独立坐标来描述系统，这些独立变量称为广义坐标，而这些坐标的数目即为系统

11、的自由度。对应满足约束条件的质点坐标位置，有对于可解约束，是将其视为不可解约束来处理，如果发生离开约束的情况，就放弃约束，增加一个独立坐标，重新处理。,广义坐标的选用,各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标只有s=3n-k个。由于存在k个约束，广义坐标的个数较少，需要选择使用。广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是：能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表达式 越简洁越好。,第3次课,作业：1.1，1.2，1.3,虚位移,假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合约束条件的位移，称为虚位移。位移发生在与约束面相切的方向，而约束力是发生在与约束面垂直

12、的方向。用广义坐标表示了各个质点的位置之后，虚位移可以看作当广义坐标任意变化之后，各个质点位置随之变动而产生的位移。广义坐标的变化可以任意选取，但真实坐标的变化因为有约束存在而不能任意选取。,虚位移和真实的微小位移的差别,1.虚位移是瞬时完成的（dt=0），而实位移需要一小段时间（dt0）。2.虚位移在满足约束的条件下可以任意选取，并未真是发生，而实位移一般与质点的真实运动相关。3. 虚位移的方向无论是稳定约束还是非稳定约束，都是沿着约束的切线方向，而实位移在非稳定约束时，不一定沿着约束的切线方向。（例如，在膨胀着的气球上爬行的小虫）,理想约束,约束力常常与约束面的方向相垂直，或在系统中作为内

13、力双双出现，有其中 是虚位移习惯上，将虚位移视为变分，实位移视为微分。,分析力学中处理的约束情况绝大多数（或者说默认为）是理想约束。非理想约束的情况下，分析力学常用的方法是不成立的，通常可以将某些引起虚位移做功的约束力视为主动力，化为理想约束处理。,理想约束,两质点A和B安置在刚性轻杆两端，杆可绕中央的O点旋转。在质点A上施加一个力F，考虑两质点所受到的约束力，是否一定与虚位移方向垂直？是否为理想约束？这个例子，虽然每个质点的约束力并不与虚位移垂直，可验证其仍是理想约束。,A,O,B,F,理想约束,理想约束的常见的三种情况举例：约束力与虚位移垂直。例如限制在曲面上运动的质点所受到的约束力。约束

14、力与虚位移点乘为0。约束力中，作用力和反作用力成对出现。如气缸的铰链处虚位移与约束力不垂直，但成对的作用力和反作用力的虚位移相同，因此做功求和为0。其他体系如杠杆两端的约束力不同，位移也不同，但若将一些约束器械也纳入系统考虑，则因作用力和反作用力成对出现，从而保证了约束力做功求和为0。总之，机械系统不能凭空产生能量（否则就可制作永动机），若不因为摩擦等损耗能量，则其虚位移过程中所做功为0。,考虑空间曲面的约束，取3维空间直角坐标为广义坐标，曲面的几何约束为对于曲面上相邻的任意点，相距d r，有即 与曲面的切面垂直。同时，约束力也与曲面的切面垂直，因而两者平行，满足关系其中c是系数，R是约束力。

15、,理想约束,非理想约束的情况,非理想约束时，理想约束条件不成立。常见的情况有：有摩擦等损耗能量情况，如机械装置中润滑不好。约束体的质量不可忽略，其运动所具有的动能不可忽略，如活塞装置中的连杆质量较大，这时就不能将连杆视为约束体了，必须将其纳入系统，系统才能是理想约束。约束体产生形变，使部分能量转为弹性势能被约束体存储。总之，约束体不能对系统能量产生影响，否则，约束力做功之和不为0。,虚功原理,系统处于平衡时，每个质点所受合力为0考虑虚位移所做的功，有对于理想约束，约束力所作虚功为0。从而在虚位移下主动力做的功总和也为0，即,虚功原理,虚功原理可处理系统的平衡问题。此时，我们只要关注系统的主动力

16、的总虚功为0的事实。而约束力在方程中消失，我们不必去解算。显然，这是系统处于平衡的必要条件。对于不可解的(稳定)约束，这个条件可以证明也是充分条件（约束如果不是稳定的，就不会有静力平衡的情况出现）。,虚功原理,使用广义坐标，方程可以化为：由于广义坐标是独立变量，因此有必要定义广义力方程化为,由于广义坐标的独立性，系统平衡时有一般对于保守力体系，机械能守恒，保守力做功则系统势能减小，有则系统平衡时 ，说明系统势能V达到极值。若是极小值，则系统是稳定平衡。,虚功原理,对于保守力体系，虚功原理可化为则系统的势能达到极值，极小值时平衡是稳定的，极大值时平衡是不稳定的,虚功原理,双连杆的平衡问题匀质的双

17、连杆一端固定在顶部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡时两杆的角度。求约束力时，可将约束力看成主动力，同时解约束，增加自由度，然后求解。（本书29页。秦家桦，285页。陈世民，170页。金尚年，46页。）,虚功原理举例,求解,解：,第4次课,作业：1.9，1.10，1.11,圆弧中两球的平衡问题半径为R的固定圆弧上，有两个同样大小但质量不同的匀质小球，其半径为R/3，求平衡时两球的位置。这个问题用虚功原理或势能最小原理。,虚功原理举例,求解,解：这里三个球心正好构成正三角形。平衡时，小球组的质心正好在铅垂线上，是最低的。,求约束面的形状一个均质杆一端靠在光滑的墙壁，另一端所在的约束面是什么形状

18、才能使杆在任何位置都能平衡？（本书第10页）用势能最小原理，当虚位移发生时，杆的重心高度应该不变。,虚功原理举例,达朗贝尔原理,考虑动态情况，这时可以将系统中的每个质点的加速运动看成在局部的非惯性参考系下的静力平衡问题，需要加上惯性力，因此,达朗贝尔原理进一步深化,由于广义坐标的独立性，从达朗贝尔原理可进一步推出,拉格朗日方程的由来,注意到由 同时将广义速度与广义坐标视为不同的变量，可推得,拉格朗日方程,因此，得到拉格朗日方程其中T是系统质点的总动能,保守力体系的拉格朗日方程,对于保守力，由于拉格朗日方程成为其中L=T-V是系统的拉格朗日量。,拉格朗日方程方法的长处,拉格朗日方程依然是从牛顿力

19、学导出的，其方程与牛顿力学给出的结果必然相同。拉格朗日方程方法适合处理具有复杂约束的系统。广义坐标的优选可使得约束的表达式更加简单。约束使自由度减少，从而使方程数减少，未知量减少，自然消去了很多不需要知道的约束力未知数。拉格朗日方法是使用能量作为分析对象的，而能量是标量，处理方便；另外，能量在各种物理过程中普遍存在并相互转化，可方便地推广应用到其他物理领域。而牛顿力学是使用矢量分析，受坐标变换影响大，且矢量有较多的分量，处理较繁琐。,拉格朗日方程解法步骤,确定系统自由度选择广义坐标将各个质点的位置矢量用广义坐标表达计算各个质点的速度给出系统的总动能如果是保守系，给出势能，如果不是保守系，给出广

20、义力相应得到拉格朗日方程组结合初始条件求解,实例,连线穿孔两小球的运动自由度为2广义坐标r，q。r1= r er，r2= (r-L) ez,实例,切向方程(q)即表示角动量守恒。应用于径向方程(r)中，可积分化为类似质点在势阱中所作的自由度为1的运动，能量由势能和动能之间相互转换。,第4次课,作业：1.6，1.8，1.13，1.14,哈密顿原理,作用量的定义体系从时刻t1到时刻t2的运动过程中，定义其作用量为哈密顿原理告诉我们，系统从t1演化到t2的所有可能路径中，系统将沿着使作用量取极值的那条路径移动。“可能路径“是指广义坐标qi关于时间t的所有连续可微的函数关系qi(t)，且在初始时刻t1

21、和终了时刻t2的位置是已知的确定值。,变分法求极值,哈密顿原理告诉我们，求解真实运动过程（得到坐标与时间的函数关系）就是寻求作用量函数达到极值的问题。对于自变量为“函数”的函数极值问题，可以使用变分法。为了求S的极值，使函数q(t)稍作改变，改变量为l*dq(t)，其中dq(t)在两端为0且连续可导，l为系数参量。,变分法求极值,函数q(t)变成q(t)+l*d(t)，这时积分值S也可以看成是参数l的函数。如果函数q(t)可以使S取到极值，同样必须在l=0时，S(l)取极值。即,变分法求极值,积分得（注意到ddq=ddq）由于dq(t)在两端为0且其他点的任意性，从而必须有,变分法求极值,S取

22、极值时，所需满足的条件正是拉格朗日方程。反之，真实的过程满足拉格朗日方程，能使作用量函数S取到极值。以上过程也能直接用变分法进行：,变分法求极值的其他例子,最速下降线问题。上下两端点固定，求哪种曲线的轨道能使质点从上端点由静止在最短时间内运动到下端点？,变分法求极值的其他例子,最速下降线问题，解为摆线。令q为曲线上的切线与x轴的夹角，则,变分法求极值的其他例子,悬链线问题，解为双曲余弦线。,光线行进时间为极值（通常是极小值）的路径。,变分法求极值的其他例子,单位球面上短程线问题。 a代表切线et与经线eq夹角。由于z轴选取的任意性，我们可取p1在北极点，则c1=0。et与经线eq夹角a始终为0

23、，即沿经线走到p2点。,变分法求极值的其他例子,事实上，可积分求解球面上短程线问题：是过零点的平面方程，应该是同时过始末两点，且与球面相交所得的圆。,变分法求极值的其他例子,第5次课,作业：1.16，1.18，1.20，1.21,条件变分问题,积分约束条件下的变分问题举例：由一条长度为L且始末两点是x轴上固定点的曲线与x轴围成最大面积。通用的处理方法：将约束条件乘以参数l，加到被积函数之中，使之取极值。S若取到极值，必须 即满足约束条件。,条件变分问题,令q为曲线切线与x轴的夹角，则,与哈密顿原理类似的其他原理,莫培督原理。应用于保守力体系。等能而不等时的变分为0。由哈密顿原理：为了强调是等能

24、变分而不是等时的，变分符号用 D 代替 d ：,莫培督原理,进一步，若动能T可改写为：则式中dt已被消去。这即是莫培督原理的变分形式，可用等能变分求运动轨迹。,莫培督原理举例,求抛体运动,莫培督原理解平方反比力,求平方反比力有心力场中的运动,与哈密顿原理类似的其他原理,费马原理应用于几何光学。光线沿用时最短的路径前进平衡体系能量最小（重力势能，静电能，磁场能量），如果没达到最小，可经过一段时间的调整，耗散能量，最后达到最小。而哈密顿原理和费马原理的最小值取得是瞬时的。,从哈密顿原理看拉格朗日函数的相加性,两个相互独立体系组成统一体系：LA=TA-VA，LB=TB-VB，则L=LA+LB由于两系

25、统相互独立，必须两项都为0。因而可通过L的简单相加合并两个相互独立体系，反之也可把L中的独立体系分离出来。,拉格朗日函数可以加上任一个函数f(q,t)的时间全微商，不影响结果。因为全微分的积分是定值，对作用量的变分没有贡献。由于始末端固定，f的变分为0也可以直接验证 满足拉格朗日方程。,从哈密顿原理看拉格朗日函数的非唯一性,直接验证：为了简便，拉格朗日函数中的时间全微分项可以适当去除。,从哈密顿原理看拉格朗日函数的非唯一性,解题实例,螺旋线上的珠子轨道方程为已知,陈世民，P25例1.5,解题实例,在竖直平面内的弹簧摆,解题实例,在竖直平面内的两个绳连重物,第6次课,作业：1.24，1.25，1

26、.26，1.28,拉格朗日函数与运动积分,一般情况下，拉格朗日方程为s个二阶微分方程（s为自由度），求解之后，有2s个积分常数。这些积分常数需要初始条件（t=0时的广义坐标和广义速度）确定，得到有时，某个Ci可以表示为广义坐标和广义速度的组合，在运动过程中保持守恒，成为运动积分：,拉格朗日函数与运动积分,广义动量的定义：拉格朗日方程成为类似牛顿定律的方程循环坐标：如果拉格朗日函数中不显含有某个广义坐标 qi ，则此坐标成为循环坐标。循环坐标对应的广义动量 pi 守恒，是运动积分。,拉格朗日函数与广义能量,当拉格朗日函数不显含时间 t 时，能够得到的运动积分是广义能量 H。,拉格朗日函数与广义能

27、量,对于几何约束，可以求速度表达式为：动能表达式中所含的广义速度的,拉格朗日函数与广义能量,此时，L不显含时间 t 时，有守恒量对于稳定的几何约束，T=T2，H=T+V是机械能。这里着重指出的是，如果约束是不稳定的，系统的机械能并不守恒，守恒的是广义能量H。,广义能量举例,求解一个弹簧振子在一个以w角速度绕z轴旋转的、在xy平面内的光滑管中的运动。与机械能守恒不同可看作是离心力产生的势能。不稳定约束产生了T0项,z,x,y,相对论中的光速不变性，要求光在运动时的空间和时间的参量变化保持下式不变（都为0）：推而广之，我们要求在相对论中，质点移动产生的ds在不同参考系中也保持不变。同时我们知道在普

28、通三维空间中，两点之间的间距|dr|在不同参考系中都保持不变，因此，只要将时间变成第4维，运动位移成为4维向量 而ds正比于它在4维空间中的间距|dr(4)|，也能保持不变。,相对论时的拉格朗日函数,如何描述一个自由质点的运动，是最基本最简单的问题。对此，我们希望给出相对论时空中的自由质点运动的作用量函数。因为作用量函数是标量，标量不会因选取不同的坐标系而变化，而对于自由运动的质点，我们能构造出的具有这种不变性的量仅仅是它运动时的4维间距，是仅知的标量。因此，取为了能在低速情况下回到经典的拉格朗日函数，必须取恰当的系数,相对论时的拉格朗日函数,这样，我们得到了相对论时的拉格朗日函数，并能验证它

29、在低速情况下能回到经典力学的拉格朗日函数（仅相差一个常数）：从而，质点的动量为与经典情况相比，产生了质量增加的效果。,相对论时的拉格朗日函数,保守场中，质点的运动方程为：这即是质点的受力方程动能,相对论时的拉格朗日函数,质能公式：这里b是归一化速度，g是相对论因子。拉格朗日函数这时并不是 T-V（动能减势能）。有了拉格朗日函数，相对论的运动过程都已经得到解决。具体运用到各个方面，可以与各个经典物理的结果作比较分析。,相对论时的拉格朗日函数,4维时空的“位移”：4维位移的绝对值是4维空间的标量，不随选取不同的坐标系而变化。对于另外一个以匀速v0运动的惯性系，经典力学给出伽利略变换：我们需要寻找4

30、维时空的变换，使得在低速时是伽利略变换，且保持4维矢量的模不变。,相对论的时空变换,两个惯性系之间的4维时空的坐标进行变换时，由于起始时间和原点重合，因而时空坐标原点也重合。4维时空点在两个坐标系中分别表示为而在低速时近似要有这里 b=v0/c，比较之后近似有归一化后，可取与之正交的 ，从而,相对论的时空变换,因为dt 是4维空间的标量，是时空坐标变换时的不变量，用它代替dt 求速度时，可得 4维空间的速度向量 u(4) =(dr, icdt)/dt = g(v, ic) 4维向量：动量-能量 mu(4) = (p,iE/c)它们都遵从洛仑兹变换。如它们都有不变的模,相对论的时空变换,第7次课

31、,作业：1.30，1.33，1.36，1.37,拉格朗日函数的空间均匀性,拉格朗日函数的空间均匀性指当将系统进行一个微小的平移之后，拉格朗日量不改变。由dr的任意性得到动量守恒。,拉格朗日函数的空间各向同性,拉格朗日函数的空间各向同性指当将系统进行一个微小的转动之后，拉格朗日量不改变。由dj 的任意性得到角动量守恒。空间均匀性可看作x,y,z是循环坐标，各向同性可看作j是循环坐标。,带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数,在相对论中，我们取4维时空的位移向量为空间的电磁场同样是由4维的电磁场势能向量描述，后面可以验证可写为：描述带电粒子在电磁场中运动的作用量函数dS还需要有一个标量部分，这个标量要有

32、描述粒子运动位移的成份，也要有描述电磁场的成份。此时，dr(4)(A,ij/c)符合要求。两个4维向量点乘，得到不随坐标变化的标量。另外还要乘以粒子的电荷e。,带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数,在相对论中，可取作用量函数为而对于低速情况，可取普通的动能代替拉格朗日函数的第一项。当然也可以不替换。得到拉格朗日函数广义动量：拉格朗日方程：,带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程,x分量为拉格朗日方程：利用得到洛仑兹力方程,粒子在电磁场中运动方程的4维形式,用4维向量重新写拉格朗日函数和方程：得到Fji是电磁场张量。方程在4维时空坐标变换下形式不变。,粒子在电磁场中运动方程的4维形式,矩阵形式：矩阵Fji

33、是反对称的，求本征值方程|Fji-lI|=0时，是关于l2的一元二次方程。由于本征值在坐标变换时的不变性，因而方程系数也是不变的。,粒子在电磁场中运动方程的4维形式,其中， 是标量，以后在电磁场的拉格朗日函数中需要用到。另一个系数EB也是不变的，但它是赝标量（考虑时间反向的运动，从受力方程看，速度反向，电场不变而磁场反向，因而EB反号，而真标量应该不变。），但(EB)2是标量。,第8次课,作业：1.29，1.34，1.38，1.39,两体碰撞,两体问题是质点相互作用中最简单最基本的过程。大到太阳和地球的相互作用，小到原子核之间的散射碰撞，都可以简化为两体问题。两体问题可以约化为单质点的有心力问

34、题。用两点的质点系的质心位置rc和两点间的位移r代替两质点的位置r1，r2。,两体碰撞的拉格朗日函数,定义 m=m1m2/(m1+m2) 是约化质量，可解得从而拉格朗日函数可写为,两体碰撞是有心力作用下的平面运动,利用拉格朗日函数的相加性，分解为一个质量为（m1+m2）的自由质点，与一个质量为 m 的在势能 V(r) 中运动的粒子。牛顿第三定律告诉我们，两质点的相互作用是沿着 r 方向的，因此势能 V(r) 产生的作用力是有心力。有心力作用时，力矩为0，因而角动量 J = r x mv守恒。以角动量的方向为z轴，因为r垂直于J，质点可限制在xy平面内运动。,两体碰撞的方程,约化质量质点的拉格朗

35、日函数：相应的拉格朗日方程：角动量守恒可写为b是瞄准距离，v0是初始速度,弹性碰撞与非弹性碰撞,弹性碰撞时，相互作用力是保守力，机械能守恒。约化质量的质点的初速度与末速度相等。这意味着它的速率不变但运动方向可能改变。|v1-v2|=|v1-v2|非弹性碰撞时，有耗散作用力将一部分机械能转变成热能，因而其末速率比初速率小，两者比例为参数e。e=1是弹性碰撞，而非弹性碰撞时em2和m1m2时m1最大偏转角m1m2,m1m2,实验室参考系的微分散射截面,只要求出实验室参考系与质心系的立体角之比，就能利用质心系的微分散射截面公式。完全弹性碰撞时，e=1：由得,实验室参考系的微分散射截面,考虑质量比a=

36、m1/m21，=1的两种情况。a1a=1,实验室参考系的微分散射截面,对于卢瑟福散射，考虑a=m1/m21，=1的两种情况。a1a=1,实验室参考系的动能交换,碰撞之后 m1的动能平均值为利用刚性球模型当a=m1/m2=e2时碰撞交换走的动能最多，此时m1损失的动能占原先的1/(e2+1)。,相对论高能粒子的碰撞,以 p1，E1，p1，E1和 p2，E2，p2，E2 分别代表 m1和 m2 质点在碰撞前、后的动量和能量，运用动量守恒和能量守恒，有由于碰撞是平面问题，可以看作p1x，p1y，p2x，p2y，四个未知量，最后一个方程给出了能量E的表达，E视为已知。需求解的方程只有3个（动量2个能量

37、1个）还需要一个条件，如偏转角，或其中一个粒子的末动能等。,相对论碰撞例题,能量为Ei 的光子被质量为 me的静止电子所散射。散射后光子能量为Ef 并偏转 q ，证明这几个量有关系 1 - cosq = mec2(1/Ef - 1/Ei )证： 化简整理即得。,相对论碰撞例题,一个静止的p+介子衰变成m+子和中微子。三者静止质量分别是mp0，mm0和0。求m子和中微子的动能：,开普勒定律,开普勒在观测行星运动的基础上提出了三个定律：1. 行星轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。2. 行星与太阳连线在单位时间内扫过相同的面积。3. 行星轨道周期的平方与其轨道半长轴的立方成比例。开普勒第一定律给出

38、了运动的轨道，不是圆上套圆的运动，而是简单的椭圆，是个不小的进步。开普勒第二定律给出了行星方位随时间变化关系。开普勒第三定律给出了不同行星的轨道之间的共性。,行星运动和受力,开普勒三定律是运动学定律，从而我们可以从它对行星运动的描述求得行星的受力。牛顿发现万有引力定律，不是靠苹果砸的，而是从开普勒定律推算得到。开普勒第一定律给出了运动的轨道是椭圆，因此这是平面运动，可用极坐标处理：计算行星受力，为,行星受力是有心力,由开普勒第二定律，有可令 是常数，即是角动量守恒，得到eq方向受力为0，行星受力为有心力。计算行星受力时，时间 t 也用此替换：,万有引力定律,这说明行星受力是平方反比引力。但系数

39、 对每个行星都一样吗？开普勒第三定律讲的是行星之间的共性，即 是常数。以上用到了可取 ，故万有引力为,万有引力中的拉格朗日量和广义能量,万有引力是保守力，提供了保守场引力系统的拉格朗日函数为不显含时间t，广义能量（此处即机械能）守恒,作业：2.4，2.5，2.6,第10次课,微振动,各个质点在平衡位置附近作微振动，且平衡点的类型是稳定平衡点，即偏离平衡时，系统的势能增加。对于不稳定平衡和随遇平衡，系统无法产生往复振动。 广义坐标一般为 qi=qi(0)+qi(1)，其中0阶量是常量，是平衡时的位置，而1阶量是振动的变量。在解微振动的问题时，要重新取广义坐标使得qi(0)=0。以下的研究都是基于

40、平衡点在广义坐标取0值进行的。若不这样取，某些结果不能套用。,微振动势能,对势能 V(q) 在平衡位置附近进行小量展开取V(0)=0，平衡点上又有 V/qi=0，并记 因是微振动，忽略2阶以上的高阶小量。写为矩阵二次型形式：这里第一个下标是行序数，第二个是列序数。,微振动的动能,因为系统有平衡位置存在，因此约束必是稳定的，此时动能是广义速度的二阶齐次项（T=T2），为这里矩阵 m 的各个分量一般也可以是位置q 的函数，但我们对动能只能保留到2阶小量，因而需在平衡点上计算 m，得到的 m 为常量。,微振动的拉格朗日函数,动能 T 总不能小于0（速度平方总不小于0），因此矩阵 m = ( Mij

41、)sxs 是正定的。在稳定的平衡点势能V取极小值0，因此 V0，k=(kij ) sxs是正定的；同样，T0， m =( mij )sxs也是正定的。拉格朗日函数可写为拉格朗日方程为,微振动的拉格朗日方程,由矩阵m、k的对称性，得到拉格朗日方程这是一个线性常微分方程组，即如果 q(A)和 q(B) 都是方程的解，则 q(C) = aq(A) + bq(B) 也是方程的解。因此，q 的运动尽管可能出现多种频率的振动，我们可以把每一个频率的振动单独分解出来研究。对于频率为 w 的振动，不妨设为 q = Reqw exp(iwt)，得到线性方程组：,微振动的久期方程,q = 0显然是方程的解。若要得

42、到非 0 解，必须满足久期方程：对于w2而言，这是一个一元s次方程，应该有s个解，称为s个本征（简正）频率对于不满足这个久期方程的频率，线性方程组只有 0 解，意味着不存在该频率的振动。反之，能够出现的振动频率必须满足久期方程，且是s个本征频率之一。当w=wj时，方程组 线性相关，可解得一组非 0 振幅 qw =qwj，称为本征（简正）向量。,微振动的拉格朗日方程,方程组也可以变形为矩阵m可以求逆矩阵，是因为若它的行列式为0，则方程 一定有非0解，则对应非0的广义速度其动能 ，这说明m的行列式是不可能为0的。一维情况下方程 容易解出简谐振动的解。对于多维情况，就要做广义坐标q的线性变换q=RQ

43、，通过适当的变换矩阵R和新的广义坐标Q，可使矩阵m-1k对角化，对角元素是本征值wj2，久期方程显然正是求m-1k本征值的方程。,本征频率重根时的本征向量,解出的本征向量显然不具有唯一性，但同一个本征频率对应的不同本征向量之间一般只相差一个常数倍，意义相同。只对于久期方程的n重根频率，才能对应有线性无关的n个本征向量出现。对于有重根频率的情况，s个本征向量能通过适当选取使其是线性无关的。下面会证明w2是不小于0的实数，从而本征向量的各个分量也为实数。,微振动的本征振动,用 qwT 乘以线性方程，可知：由于 m和 k 都是正定的实对称二次型矩阵，w2 也是非负的。因此，本征频率都是实数。事实上，w2 也是矩阵 m-1k 的本征值，而 qw 正是对应的本征向量，满足：由于久期方程是关于w2 的一元 s 次方程，应该有 s 个根，前面已经说了这些根都是非负实数，因此对应 s 个本征频率的振动。,微振动的本征坐标,广义坐标 q 随时间的变化是由这 s 个本征频率的振动的线性组合构成。即：其中，常数 Aj 和 aj 依初始条件待定。事实上，上式可以改写为：这里引入新的广义坐标 Q，它也称为本征坐标，其每个分量对应一个频率的振动，它与广义坐标 q 之间的线性变换是矩阵 R，由本征向量排列而成。本征坐标 Q 可由 Q = R-1q 求得。,