线性数学与高中数学教育.ppt

1、2018/10/15,高二数学新增部分内容教学建议,松江区教师进修学院数学组陈萍,2018/10/15,新课本高二上的教学内容,分为三个单元:1 数列和数学归纳法(数列概念、等差数列、等比数列、数学归纳法、归纳猜想论证、数列极限、无穷等比数列各项和).2 高中线性数学(平面向量的坐标表示、矩阵、行列式).3 算法初步(算法概念、程序框图、计算语句与计算程序).,2018/10/15,向量教学的作用地位,作用地位：向量是近代数学最重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何、三角的桥梁。它与代数、几何、三角的联系将随着向量的坐标表示逐步具体化。为了说明这种联系，书中给出了向量在推导两角差的余弦公式

2、、在线性方程组解的存在性讨论、在几何证明中应用的例题。这些例题仅是一种启示，更多具体的联系同学们可以在探索中发现。向量实质上是坐标几何（高中二年级第二学期将学习）的反璞归真。可以这样说：向量是继函数概念以外，另一个贯穿整个高中数学的核心概念。,2018/10/15,向量的教育价值,向量是通过位移、力、速度等概念抽象出来的，通过向量的坐标表示，向量与代数、几何、三角建立起广泛的联系。从这里可以看到数学的抽象为向量的广泛应用打下了坚实的基础。数学的抽象，使数学应用更加广泛，这是辨证法。通过向量学习引导学生认识科学抽象的作用。,2018/10/15,向量的发展史,史载，古希腊的亚里士多德（前384-

3、前322）已经知道两个力的合成，可以用平行四 边形的法则得到。但是， 集古希腊数学大成的几何原本， 没有讨论向量。 以后的一千多年中，经过文艺复兴时期， 牛顿创立微积分之后的17、18世纪， 向量的知识没有什么变化。伽利略（1564-1642）清楚地叙述 了“平行四边形法则”，仅此而已。 这点向量知识，形不成多少有意义的问题， 发展不成一个独立的学科， 因而数学家没有把向量当作一回事。,2018/10/15,向量的发展史,进入19世纪， 事情开始发生变化。“复数”充当了催化剂。 丹麦的魏塞尔（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示，德国高斯（1777-185

4、5）建立了 复平面的概念，从而使向量与复数建立起一一对应。这不但为虚数的现实化提供了可能，也为向量的发展开辟了道路。向量表示为一对有序的实数（a, b），是一个重大的进步。,2018/10/15,向量的发展史,当时的数学家想到， 实数可看作一维向量， 复数可看作二维向量，那么一定还有“三维数”、“四维数”， 乃至“N维数”。令人失望的是， 哈密顿发现， 要形成有加减乘除四则运算的数系， 只能是四元数， 而且不得不放弃乘法的交换律。最后发现的八元数， 连结合律也维持不了。除此而外， 其他维数的向量， 根本无法定义四则运算，谈不上构成数系1。1 参见罗贤强 ,从四元数到向量:向量概念演变的历史分析

5、2005年04期,2018/10/15,向量的发展史,德国数学家格拉斯曼1844年引入了n 维向量的概念。令人深思的是， N维向量既然不能成为有四则运算的数系， 那么它的结构是什么呢？这是19世纪抽象代数思想的发展的自然思考。研究表明，N维向量全体，可以定义加法和减法，此外还有单个的“数”可以和向量相乘。 这就是向量空间（线性空间）的来源。 此外， 两个向量可以有“内积”和“外积”，但是它们都没有逆运算， 即没有除法。 这是一个不同于“数系”的崭新的数学结构。果然， 在向量空间的舞台上， 产生了具有深远影响的数学成就。,2018/10/15,向量的发展史,“线性”， 是20世纪数学中使用十分广

6、泛的词汇。 但是， 中国的中学数学教学中却很少使用。 无论是英文还是俄文， 我们常说的“一次方程”和“一次函数”， 原本都是“线性方程（Linear Equation）”和“线性函数(Linear Function)”。至于为什么丢弃“线性”的提法，不得而知。 在大学里， 则大量流行“线性”。“ 线性代数”、“线性变换”、“线性常微分方程”、“线性偏微分方程”、“线性规划”、“线性算子 ”、“线性泛函”、 “线性控制系统”、“拟线性”、“准线性”等等， 不一而足。,2018/10/15,向量的发展史,相对于大学热衷于向量空间和线性数学， 我国中学的反映比较迟缓。 1980年代， 中学里只有与复

7、数相关的平面向量。 那里不谈数量积，只有平行四边形法则孤零零的一点内容， 不成气候。 至于三维向量进入立体几何， 则历尽周折。 直到1990年代， 仍然势均力敌（据说在国家教材审定委员会里， 4票对4票）， 遂有立体几何分两种版本的折中处理办法问世。,2018/10/15,向量的发展史,上海教材在陈昌平主编的力挺之下， 率先在1990年代初全面推行向量方法。进入21世纪以后，立体几何采用向量方法处理，在全国范围内也终成定局。 实际上， 现今中学数学内容，除去“数和式的运算”以及排列组合、数据处理 等少数内容， 可以分成“线性数学”和“非线性”数学两大部分。,2018/10/15,向量的发展史,

8、那么， 向量究竟有什么威力和魅力， 使得它如此受人重视呢？说来简单， 无非是向量“能算”。在数学上， 点的直角坐标，向量的坐标分解（投影），直角三角形的正弦余弦， 复数的实部与虚部， 四位一体。它们的原始概念彼此相通，只有形式上的不同。向量分解可以看作直角坐标的一种推广。分解就是投影， 投影的量化就是正弦和余弦。,2018/10/15,向量的发展史,现今的上海新课程， 在初中就出现了“平面向量”的概念。高中的解析几何部分， 也注入了“向量几何”的成分。 例如用向量推导平面直线方程，强调直线的方向式和法向式、直线的一般式和直线的斜率，却不要求学生在“两点式”、“点斜式”上下功夫。这样做，可以和将

9、来推导空间直线方程相一致。,2018/10/15,向量的发展史,向量几何在法国已经有很长的历史。以下是一个初中的教学事例（取自1985年法国国民教育部数学教育委员会马蒂内访华讲演）,2018/10/15,向量的发展史,勾股定理的证明 （事先准备知识：由一个角的两边的任何一点向另一边作投影， 其压缩的比值相同）。在角A 中，AC = AB， AD= AC，故 AD = 2AB在角B 中，BC = AB， BD = BC，故 BD = 2 AB。由于 AB= AD+ BD=2 AB +2 AB = （2 +2 ）AB，因此（2 +2） =1。AB2=AC2+BC2.于是 。 证毕,2018/10/

10、15,向量的发展史,这里， 将线段的投影，三角的余弦， 以及未来的向量分解和数量积等知识都拧在一起，并用来证明勾股定理， 在数学思想上更简约、更紧密了。,2018/10/15,矩阵行列式的作用地位,陈省身先生说数学的对象不外“数”与“形”，虽然近代的概念，已与原始的意义，相差甚远。这里的形和数都用了引号。这就是说“形”不仅是三维空间中见到的图形；“数”也不仅是有理数、无理数、实数，也包括如矩形数表（矩阵）所表示的“数”。矩阵的引入使“数”的内涵扩充了。,2018/10/15,矩阵行列式的作用地位,同时可以看到矩阵有解线性方程组作为其背景，矩阵还可以表示点的坐标的变换。矩阵在今天计算机计算中有着

11、十分重要的地位。行列式和矩阵的引入，使向量的应用和表示更加简练和方便。总而言之矩阵行列式引入高中数学有三个理由：1. 矩阵是“数”概念的扩充；2. 矩阵行列式是讨论解线性方程组的有效工具；3. 矩阵可以表示图形的变换(坐标变换)。,2018/10/15,矩阵内容的教育作用,行列式是16831693年间引入的，矩阵是1858年引入的。在此期间，数学有着长足进步，其中数学符号的进步是数学进步的一个方面。数学符号的规范化和正确使用是数学教学的重要方面；是培养学生数学交流能力的重要方面。同时，数学内容的简洁表示也显示了数学的美。图形的矩阵变换反映了一种运动变化。,2018/10/15,为什么要学矩阵行

12、列式,2018/10/15,行列式与几何的联系,2018/10/15,行列式与几何的联系,平面上三点共线的充分必要条件是,2018/10/15,行列式与几何的联系,空间三个向量共面的条件是,2018/10/15,行列式与几何的联系,平面上三直线共点的条件:,2018/10/15,高二线性数学的教学要求,一. 在向量方面的教学要求:1. 理解基向量的作用;理解平面向量的分解定理;2. 掌握向量运算的坐标表示;掌握向量平行垂直的坐标表示;掌握求两向量夹角的公式.3.通过例子了解向量与几何、三角、代数的关系.,2018/10/15,高二线性数学的教学要求,二. 在矩阵行列式初步方面的教学要求:1.理

13、解矩阵及其有关的概念(元素、行、列、零矩阵、单位矩阵等).2. 掌握两矩阵可以进行加、减运算的条件;两矩阵可以相乘的条件.理解矩阵乘法不满足交换律.3. 理解为什么引进矩阵.,2018/10/15,高二线性数学的教学要求,4. 掌握二阶、三阶行列式展开的对角线法则,三阶行列式按照某一行(列)展开的方法.5.掌握二元、三元线性方程组解的行列式方法;利用行列式讨论线性方程组解的存在性和唯一性.6.会用计算机(器)求行列式的值.,2018/10/15,高二线性数学的教学要求,矩阵和行列式是目前计算机常用的计算对象.著名的计算机软件Matlab、Scilab都是以矩阵运算为基本运算的.密码学正从军事应

14、用走向商业和民间,密码使用时利用矩阵进行文件的加密,当对方收到密码文件后要利用逆矩阵来解密,才能是对方得到清晰的文本.现在矩阵论已成为一门独立的学科.,2018/10/15,矩阵行列式课时安排,矩阵和行列式初步共9学时，其中,2018/10/15,矩阵行列式教学设计建议,1学生学习矩阵、行列式的最大障碍是不知道为什么要学习这些概念。教师应通过引入、例题等各种途径使学生了解学习意义。通过二元线性方程组求解的讨论，引入矩阵、行列式概念，使学生了解矩阵、行列式产生的背景。通过例子了解学习矩阵的好处。,2018/10/15,矩阵行列式教学设计建议,2矩阵概念的引入使“数”的内涵更加丰富了。在小学里，整

15、数、小数是“数”；在初中里，有理数、实数是“数”，引进矩阵后平面向量的坐标（有序数对）是“数”，矩形数表也是“数”。为了使学生明了矩阵是“数”概念的扩张应该通过例题，让学生知道用矩阵计算的好处。,2018/10/15,矩阵行列式教学设计建议,3通过例子，让学生理解向量向量的矩阵变换的含义。了解关于直线对称的变换、关于轴对称、关于轴对称的变换。4把行列式计算与两向量平行、平面上三点共线的简洁表示联系起来，进一步理解数学符号的意义。,2018/10/15,矩阵行列式教学设计建议,5通过例题讨论，使学生掌握用行列式讨论和表示二元、三元线性方程组解的方法，掌握行列式的对角线展开法。6引导学生用计算机（

16、器）进行矩阵、行列式计算。学习本章的探究与实践，对于培养学生用计算机进行矩阵计算和理解矩阵变换与图形变换关系是十分有益的。,2018/10/15,算法初步教学的作用地位,作用地位：古希腊数学家发明了公理化演绎方法，对数学发展，甚至于对科学的发展是一个伟大的贡献。与古希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神。中国古代数学以算法见长。算法是数学的组成部分。算法数学与论证数学的结合产生了现代数学。算法体现与演绎思想不同思想方法，它用符合逻辑程序的计算步骤来解决数学问题。在计算机已进入生活各个领域的今天，算法知识已成为公民必备的修养。,2018/10/15,算法初步教学的作用地位,一位专家在

17、的序言中写道:与时俱进,数学也不例外.这不,一个全新的数学内容算法.在21世纪初,就大踏步地进入中学数学,成为高中生必修课程的一部分.与中学里的微积分几进几出相比.算法进中学要顺利得多.原因何在? 信息时代的要求使然.,2018/10/15,算法初步的教育价值,算法对于培养学生逻辑思维能力和用图表示计算机程序关系的能力。对培养学生适应现代社会生活起到重要作用。通过算法学习可以使学生进一步了解中国古代的数学成就，树立民族自豪感。,2018/10/15,算法初步的教学要求,1.通过对于解决具体问题的分析,理解什么是算法以及算法解题的过程.2. 理解和掌握解题的程序框图.根据计算步骤能画出程序框图;反过来,根据框图能写出其解题过程.3. 对于计算机语言和程序编写暂时不作为学生必学内容.4. 希望各区在统考中增加算法的考题.,2018/10/15,算法初步的参考书,1.袁震东、何红春主编:,华东师范大学出版社, 2007年6月.2.王凤春主编:,原子能出版社,2007年6月.,