1、9.2.1 一阶微分方程,一阶微分方程的一般形式.,我们只讨论几种特殊形式的一阶微分方程。,一、 可分离变量的微分方程,1、已分离变量的微分方程.,为微分方程的通解.,分离变量法,注：分离变量法的依据是不定积分中积分变量与被积函数变量必须一致。,2、可分离变量的微分方程,(1),(1)式当g(y)0时，可转化为分离变量形式求解.,或,(2),(2)式当P(x) 0,N(y)0时，可转化为分离变量形式求解.,当g(y)=0或P(x) =0或N(y)=0时，要找回奇解。,例1 求微分方程,解,分离变量,两端积分,注1 求解过程中左边对数未取绝对值的解释；注2 通解结果中常数的形式和结构变化；注3
2、求通解与求解微分方程的区别。(奇解),例2 求解微分方程,解,两端积分,通解为,解,例4 求定解问题,解 这是可分离变量的微分方程，分离变量得,例5 求微分方程的通解,例6 求解logistic人口模型,解 这是可分离变量的初值问题。 分离变量得,解,思考题,为所求通解.,求解微分方程,也是解，是微分方程的奇解。,解,的微分方程称为一阶齐次方程.,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,二、齐次微分方程(可化为分离变量形式),例8 求解微分方程,例9 求解微分方程,微分方程的解为,解,例10 求解微分方程,解,微分方程的解为,通解为,解,解,代入原方程,原方程的通解为,思考题,方程,是否为齐次
3、方程?,思考题解答,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,三*、可化为齐次的方程(可删),为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程.,2.解法,1.定义,(2)有唯一一组解(h,k).,(1),(2),求通解,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,求通解,代回z=ax+by,例13,例14,解,代入原方程得,分离变量、积分得,得原方程的通解,方程变为,上方程称为一阶线性齐次方程.,上方程称为一阶线性非齐次方程.,一、一阶线性微分方程的标准形式,例如,线性的;,非线性的.,9.2.2 一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,二、一阶
4、线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论: 设y=f(x)是解, 则,积分,非齐方程通解形式,解法1 常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,设解为,积分得,非齐方程通解,解法2 一阶线性非齐次微分方程的通解(公式法):,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。,解,例3,例4,例5,例6,解 方法一，该方程不是关于y的一阶线性方程，故将其变形为关于x的一阶线性方程:,方法二，凑微分法，原方程变形为:,两边积分得:,例7 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .
5、,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,解,练习求微分方程 的通解.,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,四*、伯努利方程,解法: 经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例 4 1),解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解 将x看作y的函数，解一阶线性微分方程。,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,9.2.3 * 一阶微分方程解法拓展,例如,所以是全微分方程.,一、全微分方程,1.定义:,若一阶微分方程,全微分方程或恰当方程,的左端是某函数的全微
6、分,2.解法:,应用曲线积分与路径无关.,通解为, 用直接凑全微分的方法.,全微分方程,解法1,是全微分方程,原方程的通解为,例1,解法2,是全微分方程,原方程的通解为,例1,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例2,解法1,是全微分方程,原方程的通解为,例2,解法2,二、积分因子法,定义:,问题: 如何求方程的积分因子?,1.观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,可选用的积分因子有,解,例 4,则原方程为,原方程的通解为,可积组合法,2.公式法:,偏微分方程求解不容易,特殊地:,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例5 求微分方程,三、一阶微分方程小结,解1,整理得,A 公式法:,练习1.,解2,整理得,B 用曲线积分法:,C 凑微分法:,D 不定积分法:,原方程的通解为,解,将方程左端重新组合,有,2. 求微分方程,原方程的通解为,*一阶隐式方程,
