微积分问题的计算机求解.PPT

1、第四章 微积分问题的计算机求解,微积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解*数值微分数值积分问题曲线积分与曲面积分的计算*,4.1 微积分问题的解析解 4.1.1 极限问题的解析解,单变量函数的极限格式1： L= limit( fun, x, x0)格式2： L= limit( fun, x, x0, left 或 right),例: 试求解极限问题 syms x a b; f=x*(1+a/x)x*sin(b/x); L=limit(f,x,inf) L = exp(a)*b例:求解单边极限问题 syms x; limit(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x

2、),x,0,right) ans =12,在(-0.1,0.1)区间绘制出函数曲线： x=-0.1:0.001:0.1; y=(exp(x.3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x);Warning: Divide by zero.(Type warning off MATLAB:divideByZero to suppress this warning.) plot(x,y,-,0,12,o),多变量函数的极限：格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0) 如果x0 或y0不是确定的值，而是另一个

3、变量的函数，如x-g(y)，则上述的极限求取顺序不能交换。,例：求出二元函数极限值 syms x y a; f=exp(-1/(y2+x2)*sin(x)2/x2*(1+1/y2)(x+a2*y2); L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y),y,inf)L =exp(a2),4.1.2 函数导数的解析解,函数的导数和高阶导数格式： y=diff(fun,x) %求导数 y= diff(fun,x,n) %求n阶导数例： 一阶导数： syms x; f=sin(x)/(x2+4*x+3); f1=diff(f); pretty(f1),cos(x) sin(x) (2 x + 4

4、) - - - 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3)原函数及一阶导数图： x1=0:.01:5; y=subs(f, x, x1); y1=subs(f1, x, x1); plot(x1,y,x1,y1,:)更高阶导数： tic, diff(f,x,100); tocelapsed_time = 4.6860,原函数4阶导数 f4=diff(f,x,4); pretty(f4) 2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) - + 4 - - 12 - 2 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (

5、x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 - - 24 - + 48 - 2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) sin(x) + 24 - - 72 - + 24 - 2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3),多元函数的偏导：格式： f=diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff

6、(f,y,n),x,m)例： 求其偏导数并用图表示。 syms x y z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); zx=simple(diff(z,x)zx = -exp(-x2-y2-x*y)*(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y), zy=diff(z,y)zy =(x2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y)直接绘制三维曲面 x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,z), axis(-3 3 -2 2 -0.7 1.5), con

7、tour(x,y,z,30), hold on % 绘制等值线 zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); % 偏导的数值解 quiver(x,y,zx,zy) % 绘制引力线,例 syms x y z; f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2); df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df); pretty(df) 2 2 2 2 2 -4 z exp(-x y - z ) (

8、cos(x y) - 10 cos(x y) y x + 4 2 4 2 2 4 2 2sin(x y) x y+ 4 cos(x y) x y - sin(x y),多元函数的Jacobi矩阵:格式：J=jacobian(Y,X)其中，X是自变量构成的向量，Y是由各个函数构成的向量。,例：试推导其 Jacobi 矩阵 syms r theta phi; x=r*sin(theta)*cos(phi); y=r*sin(theta)*sin(phi); z=r*cos(theta); J=jacobian(x; y; z,r theta phi) J = sin(theta)*cos(phi)

9、, r*cos(theta)*cos(phi), -r*sin(theta)*sin(phi) sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)*cos(phi) cos(theta), -r*sin(theta), 0,隐函数的偏导数：格式：F=-diff(f,xj)/diff(f,xi),例： syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y) 3 2 2 -2 x + 2 + 2 x + x y - 4 x - 2 x y - -

10、x (x - 2) (2 y + x),参数方程的导数已知参数方程 ，求 格式： diff(f,t,k)/diff(g,t,k)例： syms t; y=sin(t)/(t+1)3; x=cos(t)/(t+1)3; pretty(diff(y,t,4)/diff(x,t,4),4.1.3 积分问题的解析解,不定积分的推导：格式： F=int(fun,x)例：用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。 syms x; y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pretty(y0) % 对导数积分 sin(x) sin(

11、x) - 1/2 - + 1/2 - x + 3 x + 1,对原函数求4 阶导数，再对结果进行4次积分 y4=diff(y,4); y0=int(int(int(int(y4); pretty(simple(y0) sin(x) - 2 x + 4 x + 3,例:证明 syms a x; f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x)f = 1/16*(4*a3*x3*sin(2*a*x)+2*a4 *x4+6*a2*x2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a4 f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin

12、(2*a*x)+. (3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x); simple(f-f1) % 求两个结果的差ans = -3/16/a4,定积分与无穷积分计算:格式： I=int(f,x,a,b)格式： I=int(f,x,a,inf),多重积分问题的MATLAB求解例： syms x y z; f0=-4*z*exp(-x2*y-z2)*(cos(x2*y)-10*cos(x2*y)*y*x2+. 4*sin(x2*y)*x4*y2+4*cos(x2*y)*x4*y2-sin(x2*y); f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x)

13、; f1=simple(int(f1,x)f1 = exp(-x2*y-z2)*sin(x2*y), f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y)f2 =2*exp(-x2*y-z2)*tan(1/2*x2*y)/(1+tan(1/2*x2*y)2) simple(f1-f2)ans =0 顺序的改变使化简结果不同于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。,例： syms x y z int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,1),y,0,

14、pi),z,0,pi)ans =(Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2)*pi2*hypergeom(1,2,-pi2)Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值解： vpa(ans,60) ans = 3.10807940208541272283461464767138521019142306317021863483588,4.2 数值微分 4.2.1 数值微分算法,两种中心差分：,4.2.2 中心差分方法及其 MATLAB 实现,function dy,dx=diff_ctr(y, Dt, n) yx1=y 0 0 0 0 0; yx2=0 y

15、0 0 0 0; yx3=0 0 y 0 0 0; yx4=0 0 0 y 0 0; yx5=0 0 0 0 y 0; yx6=0 0 0 0 0 y; switch n case 1 dy = (-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)- diff(yx4)/(12*Dt); L0=3; case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)- 15*diff(yx3) +diff(yx4)/(12*Dt2);L0=3;,case 3 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+. 7*dif

16、f(yx5)-diff(yx6)/(8*Dt3); L0=5; case 4 dy = (-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28* diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*Dt4); L0=5; end dy=dy(L0+1:end-L0); dx=(1:length(dy)+L0-2-(n2)*Dt;调用格式： y为 等距实测数据， dy为得出的导数向量， dx为相应的自变量向量 。,例：求导数的解析解,再用数值微分求取原函数的14 阶导数，并和解析解比较精度。 h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; y=

17、sin(x1)/(x12+4*x1+3);% 求各阶导数的解析解与对照数据 yy1=diff(y); f1=subs(yy1,x1,x); yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);, y=sin(x)./(x.2+4*x+3); % 生成已知数据点 y1,dx1=diff_ctr(y,h,1); subplot(221),plot(x,f1,dx1,y1,:); y2,dx2=diff_ctr(y,h,2); subplot(222)

18、,plot(x,f2,dx2,y2,:) y3,dx3=diff_ctr(y,h,3); subplot(223),plot(x,f3,dx3,y3,:); y4,dx4=diff_ctr(y,h,4); subplot(224),plot(x,f4,dx4,y4,:)求最大相对误差： norm(y4-f4(4:60)./f4(4:60)ans = 3.5025e-004,4.2.3 插值多项式的导数,基本思想：当已知函数在一些离散点上的函数值时，该函数可用插值多项式来近似，然后对多项式进行微分求得导数。选取x=0附近的少量点进行插值多项式拟合g(x)在x=0处的k阶导数为,通过坐标变换用上述

19、方法计算任意x点处的导数值令将g(x)写成z的表达式导数为可直接用 拟合节点 得到系数 d=polyfit(x-a,y,length(xd)-1),例：数据集合如下： xd: 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000 yd: 0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053计算x=a=0.3处的各阶导数。 xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; a=0.3;L=length(xd); d=polyf

20、it(xd-a,yd,L-1);fact=1; for k=1:L-1;fact=factorial(k),fact;end deriv=d.*factderiv = 1.8750 -1.3750 1.0406 -0.9710 0.6533 0.6376,建立计算插值多项式各阶导数的poly_drv.mfunction der=poly_drv(xd,yd,a)m=length(xd)-1;d=polyfit(xd-a,yd,m);c=d(m:-1:1);fact(1)=1;for i=2:m; fact(i)=i*fact(i-1);endder=c.*fact;例： xd= 0 0.200

21、0 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; a=0.3; der=poly_drv(xd,yd,a)der = 0.6533 -0.9710 1.0406 -1.3750 1.8750,4.2.4 二元函数的梯度计算,格式： 若z矩阵是建立在等间距的形式生成的网格基础上，则实际梯度为,例：计算梯度，绘制引力线图： x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx

22、/0.2; fy=fy/0.2; contour(x,y,z,30); hold on; quiver(x,y,fx,fy)%绘制等高线与引力线图,绘制误差曲面: zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.08) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.11),为减少误差，对网格加密一倍： x,y=

23、meshgrid(-3:.1:3,-2:.1:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx/0.1; fy=fy/0.1; zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.02) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.06),

24、4.3 数值积分问题 4.3.1 由给定数据进行梯形求积,Sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2,格式： S=trapz(x,y)例： x1=0:pi/30:pi; y=sin(x1) cos(x1) sin(x1/2); x=x1 x1 x1; S=sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2S = 1.9982 0.0000 1.9995 S1=trapz(x1,y) % 得出和上述完全一致的结果S1 = 1.9982 0.0000 1.9995,例：画图 x=0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2; % 这样赋值能确保

25、 3*pi/2点被包含在内 y=cos(15*x); plot(x,y)% 求取理论值 syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2)A =1/15,随着步距h的减小，计算精度逐渐增加： h0=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001; v=; for h=h0, x=0:h:3*pi/2, 3*pi/2; y=cos(15*x); I=trapz(x,y); v=v; h, I, 1/15-I ;end vv = 0.1000 0.0539 0.0128 0.0100 0.0665 0.0001 0.0010 0.0667 0.0000

26、 0.0001 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.0000,4.3.2 单变量数值积分问题求解,格式： y=quad(Fun,a,b) y=quadl(Fun,a,b) % 求定积分 y=quad(Fun,a,b, ) y=quadl(Fun,a,b, ) %限定精度的定积分求解，默认精度为106。,例：,第三种：匿名函数(MATLAB 7.0),第二种：inline 函数,第一种，一般函数方法,函数定义被积函数： y=quad(c3ffun,0,1.5)y = 0.9661用 inline 函数定义被积函数： f=inlin

27、e(2/sqrt(pi)*exp(-x.2),x); y=quad(f,0,1.5)y = 0.9661运用符号工具箱： syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x2),0,1.5),60) y0 = .966105146475310713936933729949905794996224943257461473285749 y=quad(f,0,1.5,1e-20) % 设置高精度，但该方法失效,例：提高求解精度： y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y = 0.9661 abs(y-y0)ans = .6402522848913892e-16 forma

28、t long 16位精度 y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y = 0.96610514647531,例：求解绘制函数: x=0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4; y=exp(x.2).*(x2); y(end)=0; x=eps, x; y=0,y; fill(x,y,g),调用quad( ): f=inline(exp(x.2).*(x2)./(4-sin(16*pi*x),x); I1=quad(f,0,4)I1 = 57.76435412500863调用quadl( ): I2=quadl(f,0,4)I2 = 57.76445016946768 syms x;

29、 I=vpa(int(exp(x2),0,2)+int(80/(4-sin(16*pi*x),2,4) I = 57.764450125053010333315235385182,4.3.3 Gauss求积公式,为使求积公式得到较高的代数精度对求积区间a,b，通过变换有,以n=2的高斯公式为例：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c, c, h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2);funct

30、ion y=gaussf(x)y=cos(x); gauss2(gaussf,0,1)ans = 0.8415,4.3.4 基于样条插值的数值微积分运算,基于样条插值的数值微分运算格式： Sd=fnder(S,k)该函数可以求取S的k阶导数。格式： Sd=fnder(S,k1,kn)可以求取多变量函数的偏导数,例： syms x; f=(x2-3*x+5)*exp(-5*x)*sin(x); ezplot(diff(f),0,1), hold on x=0:.12:1; y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); sp1=csapi(x,y); dsp1=fnder(s

31、p1,1); fnplt(dsp1,-) sp2=spapi(5,x,y); dsp2=fnder(sp2,1); fnplt(dsp2,:); axis(0,1,-0.8,5),例：拟合曲面 x0=-3:.3:3; y0=-2:.2:2; x,y=ndgrid(x0,y0); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); sp=spapi(5,5,x0,y0,z); dspxy=fnder(sp,1,1); fnplt(dspxy),理论方法： syms x y; z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); ezsurf(diff(diff(z,x),y),-

32、3 3,-2 2),基于样条插值的数值积分运算格式： f=fnint(S)其中S为样条函数。例：考虑 中较稀疏的样本点,用样条积分的方式求出定积分及积分函数。 x=0,0.4,1 2,pi; y=sin(x); sp1=csapi(x,y); a=fnint(sp1,1); xx=fnval(a,0,pi); xx(2)-xx(1)ans = 2.0191, sp2=spapi(5,x,y); b=fnint(sp2,1); xx=fnval(b,0,pi); xx(2)-xx(1)ans = 1.9999绘制曲线 ezplot(-cos(t)+2,0,pi); hold on fnplt(a

33、,-); fnplt(b,:),4.3.5 双重积分问题的数值解,矩形区域上的二重积分的数值计算格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM) 限定精度的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM， ),例：求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); y=dblquad(f,-2,2,-1,1)y = 1.57449318974494,任意区域上二元函数的数值积分 (调用工具箱）格式： 一般双重积分 J= quad2dggen(fun,ymin,ymax,xlower,xupper) 限定精度的双重

34、积分 J= quad2dggen(fun,ymin,ymax,xlower,xupper, ),例, fh=inline(sqrt(1-x.2/2),x); % 内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x); % 内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),y,x); % 交换顺序的被积函数 y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps)y = 0.41192954617630,解析解方法： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y),y,-sqrt(1-x2/2),sqrt(1-x2/2)

35、; int(i1,x,-1/2,1)Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58 ans = int(2*exp(-1/2*x2)*sin(x2)*sin(1/2*(4-2*x2)(1/2),x = -1/2 . 1) vpa(ans) ans = .41192954617629511965175994017601,例：计算单位圆域上的积分： 先把二重积分转化为二次积分的形式：, syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y

36、),x,-sqrt(1-y.2),sqrt(1-y.2);Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58,对x是不可积的，故调用解析解方法不会得出结果，而数值解求解不受此影响。 fh=inline(sqrt(1-y.2),y); % 内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-y.2),y); % 内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); %交换顺序的被积函数 I=quad2dggen(f,fl,fh

37、,-1,1,eps)Integral did not converge-singularity likelyI = 0.53686038269795,4.3.6 三重定积分的数值求解,格式: I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM, zm,zM， ,quadl) 其中quadl为具体求解一元积分的数值函数,也可选用quad或自编积分函数,但格式要与quadl一致。,例： triplequad(inline(4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z), x,y,z), 0, 2, 0, pi, 0, pi,1e-7,quadl)ans = 3.10807945143834,