1、- 1 - 第 26 课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（二） 教学目标 ： 通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。 教学重点 ： 两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解 。 教学难点 ： 找求问题解决的突破口，转化思想渗透。 教学过程 ： 1复习回顾 ： 1）二面角的平面角找法依据 . 2）三垂线定理及逆定理 . 2讲授新课 ： 师前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法， 除此外又给了面积射影法求二面角 .本节主要研究无棱二面角的求解思
2、路、方法 .近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出 . 找无棱二面角的棱依位置可分二类， 例 1：如图，在所给空间图形中 ABCD 是正方形， PD面 ABCD， PD=AD.求平面 PAD和面 PBC所成二面角的大小 . 师面 PAD 和面 PBC图中只给出一个公共点， 那么怎样找棱呢？请思考 . 生作线在面内进行， BC AD则经 BC的平面与 面 PAD 的交线应平行，由此想到经 P 作 BC 或 AD平行线， 找到棱后的主要问题就是找平面角 . 解法如下： 解：经 P 在面 PAD 内作 PE AD， AE面 ABCD， 两线相交于 E，连 BE BC AD 则 BC面 PA
3、D 面 PBC面 PAD PE BC PE 因 PD面 ABCD， BC CD 那么 BC PC， BC面 PDC 即有 PE面 PDC PE PD， PE PC CPD 就是所求二面角的平面角 因 PD AD，而 AD DC - 2 - CPD=45 即面 PAD 与面 PBC成角为 45 . 师从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线，而平面角依垂面找到并求得 . 请同学归纳小结例 1 的解法，并完成例 2. 例 2：如图，斜三棱柱 ABC A1B1C1的棱长都是 a，侧棱与底面成 60角，侧面 BCC1B1面 ABC. 求平面 AB1C1与底面 ABC所成二面角大
4、小 . 师首先解释一下斜三棱柱，面 ABC及 面 A1B1C1都是几何体底面且平行， CC1 AA1 BB1. 生 A 是面 AB1C1和面 ABC的一个公共点，这两个 面的棱图中也没有给出 .但由上下两面平行应有交线平行 于 B1C1，此题难点就是如何找平面角 . 师考虑面 BB1C1C面 ABC及棱长相等两个条件， 请同学思考 . 师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线 . 解：因面 ABC面 A1B1C1，则面 BB1C1C面 ABC BC 面 BB1C1C面 A1B1C1 B1C1 BC B1C1，则 B1C1面 ABC 设所求两面交线为 AE，即二面角的棱 则 B1C1 AE，即 B
5、C AE 经 C1作 C1D BC于 D，因面 BB1C1C面 ABC C1D面 ABC， C1D BC 又 C1CD 60 ,CC1 a 故 CD a2 即 D 为 BC中点 又 ABC是等边三角形 BC AD 那么有 BC面 DAC1即 AE面 DAC1 故 AE AD， AE AC1 C1AD就是所求二面角的平面角 . 因 C1D 32 a， AD 32 a， C1D AD 故 C1AD 45 . 师请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方 . 生同例 1，关键是找棱、找角、而找角较难 . 师继续看例 3，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？ 例 3：如图，几何体中
6、AA1 BB1 CC1， AA1面 ABC， ABC为正三角形，面 A1EC- 3 - 面 AC1， E BB1， AA1 A1B1，求面 A1EC与面 ABC所成二面角的大小 . 师此题显然依上述方法去找平行线已不可能 .由图 B1C1与 CE 不平行 .但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到 CE与 B1C1是同一平面内线，突破口就选在面 B1C1CB 内，找到点后，二面角的棱也就找到 .请同学思考并表述过程 . 解： A1是平面 A1EC与平面 A1B1C1的一个公共点， 只需 找到另一个公共点，即可 . 因 AA1 A1
7、B1 A1C1，连 AC1 则 AC1 A1C， AC1 A1C O 取 BB1的中点 E，连 EO 因面 ABC是正三角形，则经 B 作 BG AC有 BG面 AC1， OE BG OE面 AC1 因面 A1EC面 AC1，故 E是 BB1中点 那么 EB1 12 CC1 CE 与 B1C1延长后必交于一点 F， 即 F 为面 A1EC，面 A1B1C1的另一个公共点 连 A1F，则 A1F为面 A1EC 与面 A1B1C1所成二面角的棱 因 FB1 B1C1 A1B1， A1B1F 120 FA1B1 30 那么 C1A1F 90即 A1C1 A1F 那么 CA1 A1F（三垂线定理） C
8、AC1为面 A1EC与面 A1B1C1所成二面角的平面角 . CA1C1 45，因 AA1 BB1 CC1 而面 ABC面 A1B1C1 面 A1EC与面 ABC所成二面角大小为 45 . 师找公共点 F 是解此题关键，例 1、 2 是通过公共点作棱，例 3 是通过再找公共点而得棱 .因题条件不同而采 用不同作法 .例 1、 2 找棱的方法不妨叫“作平行线”，例 3 的方法叫“找公共点” . 师问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到 . 3课时小结 ： 依图形结构，对两类问题（例 1、 2 为一类，例 3 为一类）分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。 4课后作业 ：
