高中数学竞赛训练题解答题.DOC

1、1高中数学竞赛训练题解答题1 是两个不相等的正数，且满足 ，求所有可能的整数 c,使得ba, 23ba.c92已知不等式 对一切正整数 均成立，求正整数2413.121nna的最大值，并证明你的结论。a3设 为 的单调递增数列，且满足 ，求n14211168()2nnna的通项公式。a4 （1）设 求证：,0yx;432yx（2）设 z求证： .233 zxyx5. 设数列 ， ,1,1,23, kk问：（1）这个数列第 2010 项的值是多少；（2 ）在这个数列中，第 2010 个值为 1 的项的序号是多少.6. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求

2、每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。7已知数列 满足 （ ） ，前 项和为 ，且 ，na10,1a且 nnS(1)na记 （ ） ，当 时，问是否存在正整数 ，使得对于任意正整lg|nbN73m数 ，都有 ？如果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由mnb8. 在 中，已 ，又 的面积等于 6.ABC9,sincosiABAC B（）求 的三边之长；（）设 P 是 （含边界）内一点，P 到三边 AB、 BC、 AB 的距离为 、 和 ，1d23求 的取值范围.123d29在数列 中， ， 是给定的非零整数， na12 21nna（1）若 ， ，

3、求 ；15608a（2）证明：从 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列n10. 已知椭圆 ， 以 （0 ， 1）为直角顶点，边 AB、BC 与椭)1(2ayxRtABC圆交于两点 B、C。若ABC 面积的最大值为 ，求 的值。278a11. 如图，椭圆 ： ， 、 、 、 为椭圆 的顶点21(0)xyab1A21B2C（）设点 ，若当且仅当椭圆 上的点 在椭圆的顶点时， 取得最大值与最)0,(MCP|PM小值，求 的取值范围；x（）若椭圆 上的点 到焦点距离的最大值为 ，最小值为 ，且与直线CP31相交于 ， 两点（ 不是椭圆的左右顶点） ，并满足 试研:lykmAB， 2BA究：直线

4、 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由l12如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 为正三ABCDSABaSAD角形，且垂直于底面 （1）求四棱锥 的体积；（2）在边 上是否存在一点 ，使得 ？请说明理由EES13 （本小题满分 15 分）关于 的方程 ： yx、 C0422myx（1）若方程 表示圆，求实数 的取值范围；（2）在方程 表示圆时，若该圆与直线 ： 相交于 两点，且l42NM、，求实数 的值；54|MN ABC3BACEA1B1C1PnPn+1（3）在（2）的条件下，若定点 的坐标为（1，0） ，点 是线段 上的动点，求直线APMN的斜率的取值

5、范围AP14已知椭圆 C： （ ） ，其离心率为 ，两准线之间的距离为 。21xyab0a4525（1）求 之值；（ 2）设点 A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆 C 上的动点，以 A 为直角顶点，作等腰直角,ABP（字母 A，B，P 按顺时针方向排列） ，求 P 点的轨迹方程。15. 如图，正三棱柱 中， 是 中点. （）求证： /平面 ； 1CE1A1EC（）若 ，求点 到平面 的距离； （）当 为何值时，二面角12,ABA1BCEBC1C 的正弦值为 ？5016 （本小题满分 15 分）在 平面上有一系列点 ， 对每个正整数 ,点 xoy ),(),(21yxP),(nyxPnP位于函数

6、 的图象上以点 为圆心的 与 轴都相切，且 与0(2xn彼此外切若 ,且 （ ） 1nP1nx1*N（1）求证：数列 是等差数列；nx（2）设 的面积为 ， ,Snn ST21求证：对任意 ，均有 *Nn3n17 （本小题满分 18 分）二次函数 中，实数 满足 =0,其中 rqxpxf2)( rqp、 mrqp120求证： (1) ；(2)方程 在(0，1)内恒有解01m0)(xf418如图，斜三棱柱 的所有棱长均为 ，1CBAa侧面 底面 ，且 .CB1 （1） 求异面直线 与 间的距离；1（2） 求侧面 与底面 所成二面角的度数 ABC19设向量 为直角坐标平面内 x 轴，y 轴正方向上

7、的单位向量若向量ji,， ，且 yxa）2( jib）2(ab（1）求满足上述条件的点 的轨迹方程；),yxP（2）设 ，问是否存在常数 ，使得 恒成立？(1,0)(2,AF )0(PAF证明你的结论20已知抛物线 和 。过 任作直线，交抛物线于218yx(,)4A1(,)48FB、C 两点。求重心的轨迹方程，并表示成 形式；()yfx数列 中， ，且满足 。试证：kx102x1kkf135nkx21椭圆 C： = 1 ( ab0 )的两个焦点为 F1 ( c , 0 )，M 是椭圆上一点，且满足2ya= 0。 （）求离心率 e 的取值范围；（）设斜率为 k ( k 0 )的直线 l 与椭圆M

8、F21C 相于不同的两点 A、B，Q 为 AB 的中点，问 A、B 两点能否关于过点 P 、Q 的直3,线对称？若能，求出 k 的范围，若不能，请说明理由。22已知定义在 R 上的函数 f(x) 同时满足：（1） （ R，a 为常数） ；2121212()cosinfxf xa12,xABC1A115（2） ； （3）当 时， 2(0)14f0,4x()fx求：（）函数 的解析式； （）常数 a 的取值范围()fx23把正奇数数列 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：2n13 57 9 11 设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行、从左往右数第 个数。*)(Njiaj， i

9、j（I） 若 ，求 的值；mn205n，（II）已知函数 的反函数为 ，若记三角形数表中从上往fx()fxn138()()x0下数第 n 行各数的和为 ，求数列 的前 n 项和 。bnbnSn24.若 、 、 ，且满足 ，求 的最大值。abRc 22)4()(cbacakk25 设定义在0，2上的函数 满足下列条件：()fx对于 ，总有 ，且 ， ；0,2x()1fx()3f对于 ，若 ，则 1y3xy21fy证明：（1） （ ） ；（2） 时， ()3nf*nN,x()6fx26求解不等式 。21xa27设非负等差数列 的公差 ，记 为数列 的前 n 项和，证明：n0dnSa(1)若 ，且

10、，则 ；*,mnpN2p12mnp(2)若 则 。5031,a20718nS628.已知数列 满足 ， ),2(1Nnanna41（）求数列 的通项公式 ；（）设 ，求数列 的前 项和 ；2nbnbS（）设 ，数列 的前 项和为 求证：对任意的 ， )1(siaccnTNn74nT高中数学竞赛训练题答案解答题部分1 是两个不相等的正数，且满足 ，求所有可能的整数 c,使得b, 23ba.ac91.解：由 得 ,所以 ,23ba2 0)()(2ba由此得到 .1又因为 ,故 .4 分)()()(422 ba341a又因为 , 令 则 .6 分ab)(t tb2当 时， 关于 t 单调递增，所以

11、， .1t2t 094因此 可以取 1，2，3. 10 分c2：先证 f(n)= 单调递增，则 f(1)= 最小13.1nn 123故 .325,6,4aa所 以即3 解： 21118()nnn()4a（由题意可知取正号。 ）2114nna112nnaa()n因此， 公差为的等差数列，即 。从而可得n 24n4 证明：（1） ， .0)(4322yxyx23xy（2）由（1）得 .2类似的 ， ，324zyz324zx3223xyzx7223()42xyzxyzxyz5 解（1）将数列分组： ),1,2(,)132,(),1( kk因为 1+2+3+62=1953；1+2+3+63=2016，

12、所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数，即为 。 - 10 分57（2 ）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个 1，所以第 2010 个 1 出现在第 4019 组，而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位，所以第 2010 个值为 1 的项的序号为（1+2+3+4018）+2010=809428 。 - 17 分6 解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 ，则有 ，且,xyz,9xyz（*1）(10)(10)xyzy- 5 分即有 。 （*2）5()()xyzxyzxyz于是有 。因此 中必有一个取 5。不妨设 ，代入（*1）式，得到, 5x。 -10

13、分10yz此时，y 可取 1，2，8，9（相应地 z 取 9，8，2，1） ，共 9 种放法。同理可得y=5 或者 z=5 时，也各有 9 种放法，但有 时二种放法重复。因此可得共有x932 = 25 种放法。 -17 分7 解：当 时， ， ，n(1)nnaS11()naS ，1)na a即 ，又 ，n0所以， 是首项和公比都是 的等比数列，a ，于是 .nlg|l|nnb ， ，7(1,0)3a|0故当 为偶数时， ，当 为奇数时， .lna0nb可见，若存在满足条件的正整数 ，则 为偶数.m222 222()lg|11()l|)g|().kkkkkbaaak N8当 时， ， .又73a

14、219a2(1)lg|0kaa271当 时， ，即 ；k2kkb802b当 时， ，即 .64b故存在正整数 ，使得对于任意正整数 ，都有 .mnmnb8.解：（）设三角形三内角A 、 B、 C对应的三边分别为a, b, c， ， ，由正弦定理有 ,sincosiBAsiconAcosA又由余弦定理有 ， ，即 ，22ba22bca22b所以 为 Rt ，且 . C90C又|cos1|in62ABCAS，得 令 a=4k, b=3k (k0)4ta3b则 ，三边长分别为 3，4，5.1612ABCSk（）以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则 A、 B 坐标为（3，

15、0） ，（0，4） ，直线 AB 方程为 4120.y设 P 点坐标为（x, y） ，则由 P 到三边 AB、 BC、 AB 的距离为 d1, d2 和 d3 可知，且 故123|4312|5xd,43120.xy 123.5xyd令 ，由线性规划知识可知 0m 8，故 d1+d2+d3 的取值范围是mxy 12,49 解：（1） ， ， ， ， ， ， ，152a1617a9a2021a， ， ， ， ， ，2a234252627自第 22 项起，每三个相邻的项周期地取值 1，1，0，故 =14 分08（2）首先证明数列 必在有限项后出现零项假设 中没有零项，nana由于 ，所以. 时，都有

16、 6 分1na3n当 时， （ ） ；1211nna3当 时， （ ） ，n即 的值要么比 至少小 1，要么比 至少小 18 分2a1nan9令 ， ，则 21212+ ()nnaab1,.n10nb由于 是确定的正整数，这样下去，必然存在某项 ，这与 矛盾，从而1 k0k中必有零项.10 分na若第一次出现的零项为 ，记 ，则自第 项开始，每三个相邻的项周na1 (0)Mn期地取值 ，即 ，0,M312knka,2.所以数列 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.12 分na10 解： 不妨设 的方程 ，则 的方程为 。AB01kxyAC1xky由 得： 12yaxk2)(2a2,1

17、Bax由 得： 21kxya22()0akxa2,Cakx从而有 2 211, ,akakABA于是 。24 42421()211()ABCkSaaka 令 ，有2tk10- 10 分44222,(1)(1)ABCataSt因为 时等号成立。22(1)(1),ata2ta因此当 - 14 分23max2,(),ABCSt=令3227 3297()89)0,1 16aa- 17 分37,().16aa不 合 题 意 ， 舍 去 ，11. （）设 .202)(|)(yxPMxf220cxab对称轴方程 ，由题意 或 或 .20cac2020c20cxa 或 或 , .ax2000x ),(20 a（）由已知与（）得： ， ， ， ， 3ac1a1c223bc椭圆的标准方程为 设 ， ，214xy1()Axy， 2()Bxy，联立 得 ，21.43ykmx， 22()84(3)0kxm22 21226(4)3083().4kkkxmkA， 即 ， 则，又 ，2212121123(4)()()mkyxkxmx