1、专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明类型之一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图 Z121，O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P，C 为切点，若P30，O 的半径为 1，则 PB 的长为_1_图 Z121 经典母题答图【解析】 如答图，连结 OC.PC 为O 的切线，PCO90，在 Rt OCP 中，OC 1，P30，OP 2OC2，PBOPOB21 1.【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直【中考变形】2017天津已知 AB 是 O 的直径，AT 是O 的切线，ABT50，BT 交O
2、 于点 C，E 是 AB 上一点，延长 CE 交O 于点 D.(1)如图 Z122，求T 和CDB 的大小；(2)如图，当 BEBC 时，求CDO 的大小图 Z122解：(1)如答图 ，连结 AC，AT 是 O 的切线，AB 是O 的直径，AT AB，即TAB90，ABT50，T 90ABT40，由 AB 是O 的直径，得 ACB90，CAB90ABC40，CDBCAB40；中考变形答图 中考变形答图(2)如答图，连结 AD，在BCE 中，BE BC， EBC50，BCEBEC65，BADBCD65，OA OD，ODA OAD 65，ADCABC50，CDOODAADC655015.【中考预测
3、】2017宿迁如图 Z123，AB 与O 相切于点 B，BC 为O 的弦，OCOA，OA 与 BC 相交于点 P.(1)求证：APAB；(2)若 OB4，AB 3，求线段 BP 的长图 Z123 中考预测答图解：(1)证明： OC OB，OCBOBC，AB 是O 的切线，OB AB ，OBA90 ，ABPOBC90，OCAO，AOC90，OCBCPO90，APBCPO，APB ABP，APAB；(2)如答图，作 OHBC 于 H.在 RtOAB 中，OB4，AB3，OA 5，APAB 3，32 42PO 2.在 Rt POC 中，PC 2 ，OC2 OP2 5 PCOH OCOP，12 12O
4、H ，OPOCPC 455CH ，OC2 OH2855OHBC，CHBH，BC2CH ，1655BPBCPC 2 .1655 5 655类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图 Z124，A 是O 外一点，AO 的延长线交 O 于点 C，点 B 在圆上，且 ABBC，A 30，求证：直线 AB 是O 的切线图 Z124 经典母题答图 证明：如答图，连结 OB，OB OC，AB BC ，A30，OBCCA30，AOB COBC60.ABO180 (AOBA)180(6030)90，ABOB，又OB 为 O 半径，AB 是O 的切线【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径
5、，证垂直”或者“作垂直，证半径” 【中考变形】12016黄石 如图 Z125，O 的直径为 AB，点 C 在圆周上(异于 A，B)，ADCD.(1)若 BC3， AB5，求 AC 的值；(2)若 AC 是 DAB 的平分线，求证：直线 CD 是 O 的切线图 Z125 中考变形 1 答图解：(1)AB 是O 直径，C 在O 上，ACB90，又BC3，AB5，由勾股定理，得 AC4；(2)证明：如答图，连结 OC，AC 是DAB 的平分线，DACBAC，又AD DC，ADCACB90，ADCACB，DCACBA，又OA OC，OACOCA，OACOBC90，OCAACDOCD90，直线 CD 是
6、O 的切线22017南充 如图 Z126，在 RtACB 中，ACB90，以 AC 为直径作O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连结 DE 并延长交 AC 的延长线点 F.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 CF2， DF4，求 O 直径的长图 Z126 中考变形 2 答图【解析】 (1)连结 OD，欲证 DE 是O 的切线，需证 ODDE，即需证ODE 90，而ACB90，连结 CD，根据“等边对等角”可知ODE OCE90，从而得证；(2)在 RtODF 中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解解：(1)证明：如答图，连结 OD，CD.AC 是O 的直径，ADC90.BDC9
7、0.又E 为 BC 的中点，DE BCCE，EDCECD.12ODOC，ODCOCD.EDCODCECDOCDACB90.ODE 90，DE 是 O 的切线；(2)设O 的半径为 x.在 RtODF 中，OD 2DF 2OF 2，即 x24 2(x 2) 2，解得 x3.O 的直径为 6.【中考预测】如图 Z127，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，A2BCD，点 E在 AB 的延长线上，AED ABC.(1)求证：DE 与O 相切；(2)若 BF2，DF ，求 O 的半径10图 Z127 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结 OD.AB 是O 的直径，ACB90，AABC90，BOD 2BCD，A2BCD，BOD A ，AED ABC， BODAED90，ODE 90，即 ODDE，DE 与O 相切；(2)如答图，连结 BD，过点 D 作 DHBF 于点 H.DE 与 O 相切，ACDBCDODBBDE90，ACDOBD，OBDODB ，BDEBCD，AED ABC， AFCDBF ，AFCDFB ， ACF 与FDB 都是等腰三角形，FH BH BF1， HD 3，12 DF2 FH2在 Rt ODH 中，OH 2DH 2OD 2，即(OD1) 23 2OD 2，OD5.即O 的半径是 5.
