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高中数学常用公式及结论.DOC

1、1高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系: , .UxACxAxA2 集合 的子集个数共有 个;真子集有 个;非空子集有 个;非空的真子集12,na 2n21n21n有 个.n3 二次函数的解析式的三种形式:(1) 一般式 ;2()(0)fxabc(2) 顶点式 ;(当已知抛物线的顶点坐标 时,设为此式))hak(,)hk(3) 零点式 ;(当已知抛物线与 轴的交点坐标为 时,12xx12(,0),x设为此式)(4)切线式: 。 (当已知抛物线与直线 相切且切点0()(),0df yd的横坐标为 时,设为此式)0x4 真值表: 同真且真,同假或假5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结

2、论 反设词是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 个n至多有( )个1n小于 不小于 至多有 个 至少有( )个对所有 ,成立x存在某 ,不成立x或pq且pq对任何 ,不成立 存在某 ,成立 且 或6 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.)原命题 互逆 逆命题若则 若则互 互互 为 为 互否 否逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非则非 互逆 若非则非充要条件: (1)、 ,则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件; p(2) 、 ,且 q p,则 P 是 q 的充分不必要条件;(3)、

3、p p ,且 ,则 P 是 q 的必要不充分条件;4、p p ,且 q p,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。7 函数单调性:增函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而增大。(2) 、数学符号表述是:设 f(x)在 xD 上有定义,若对任意的 1212,xDx且 ,都有212()fxf成立,则就叫 f(x)在 xD 上是增函数。 D 则就是 f(x)的递增区间。减函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而减小。(2) 、数学符号表述是:设 f(x)在 x D 上有定义,若对任意的 1212,x且 ,都有12()fxf成立,则就叫 f(x)在 x D 上是减函数。 D 则就是 f

4、(x)的递减区间。单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;(2) 、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性:函数 单调 单调性内层函数 外层函数 复合函数 等价关系:(1)设 那么1212,xabx上是增函数;()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导,如果 ,则 为增函数;如果 ,则)(fy0)(xf)(xf 0)(xf为减函数. )(xf8 函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提

5、条件是:定义域必须关于原点对称)奇函数:定义:在前提条件下,若有 ,()()(0fxfxf或则 f(x)就是奇函数。性质:(1) 、奇函数的图象关于原点对称;(2) 、奇函数在 x0 和 x0 和 x0y=kx+boy xa0y=ax2+bx+coy x011y=axoy x011y=logaxoyx11 对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;两个)fR)()(ff)(f2ba函数 与 的图象关于直线 对称. (xy2b12 分数指数幂与根式的性质:(1) ( ,且 ).mna0,nN1(2) ( ,且 ).1nma,n(3) .()n(4)当 为奇数时, ;当 为偶数时, .n,

6、0|na13 指数式与对数式的互化式: .logbaN(,1)N指数性质:(1)1、 ; (2) 、 ( ) ; (3)、pa01a()mnna(4)、 ; (5)、 ; (,)rsrsQmn指数函数:(1)、 在定义域内是单调递增函数;(1)xya(2) 、 在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点(0,1)0对数性质: (1)、 ;(2) 、 ; logllog()aaaMNlogllogaaaMN(3)、 ;(4)、 ; (5)、 mblmnab 104(6)、 ; (7)、 log1alogab对数函数: (1)、 在定义域内是单调递增函数;l()ayx(2) 、 在定义域

7、内是单调递减函数;注: 对数函数图象都恒过点(1,0)og01(3)、 l,(),(1)axax或(4)、 或 则 ,(,)x则14 对数的换底公式 : ( ,且 , ,且 , ).loglmaN0a10m10N对数恒等式: ( ,且 , ).logN推论 ( ,且 , ).lmnaab15 对数的四则运算法则:若 a0,a1,M0,N0,则(1) ; (2) ;log()llogalogllogaaaMNN(3) ; (4) 。()naR(,)mnnmR16 平均增长率的问题(负增长时 ):0p如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 ,则对于时间 的总产值 ,有 .pxy(1)xp17 等

8、差数列:通项公式: (1) ,其中 为首项,d 为公差,n 为项数, 为末项。1()na1ana(2)推广: kn(3) (注:该公式对任意数列都适用)1(2)nS前 n 项和: (1) ;其中 为首项,n 为项数, 为末项。na1ana(2) 1()2nd(3) (注:该公式对任意数列都适用)nS(4) (注:该公式对任意数列都适用)12na常用性质:(1) 、若 m+n=p+q ,则有 ;mnpqaa注:若 的等差中项,则有 2 n、m、p 成等差。,mnp是 mn(2) 、若 、 为等差数列,则 为等差数列。abnb(3) 、 为等差数列, 为其前 n 项和,则 也成等差数列。nnS23

9、2,mmSS5(4) 、 ; ,0pqpqaa则(5) 1+2+3+n= 2)1(n等比数列:通项公式:(1) ,其中 为首项,n 为项数,q 为公比。1*()nnaqN1a(2)推广: nkn(3) (注:该公式对任意数列都适用)1(2)aS前 n 项和:(1) (注:该公式对任意数列都适用)nn(2) (注:该公式对任意数列都适用)12a(3) 1(1)()nnqS常用性质:(1) 、若 m+n=p+q ,则有 ;mnpqa注:若 的等比中项,则有 n、m、p 成等比。,mnp是 2mna(2) 、若 、 为等比数列,则 为等比数列。nabnb18 分期付款(按揭贷款) :每次还款 元(贷

10、款 元, 次还清,每期利率为 ).1)(nxab19 三角不等式:(1)若 ,则 .(0,)2xsinta(2) 若 ,则 .1cos2x(3) .|sin|cos|20 同角三角函数的基本关系式 : , = ,22in1tancosi21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)22 和角与差角公式; ;sin()sicosicos()ins.tanta1t=sisb2si()b(辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).tanb23 二倍角公式及降幂公式 6.sin2icos2tan1.2 2cicos1sin21ta. 2tatan costaci21osssi,c224 三角函数的

11、周期公式 函数 ,xR 及函数 ,xR(A, 为常数,且 A0)的周期i()yxco()yx;函数 , (A, 为常数,且 A0)的周期 .|Ttan(),kZ|T三角函数的图像:-11y=sinx-2 23/2/2-3/2-/2 oy x -11y=cosx-2 23/2/2-3/2- -/2oy x25 正弦定理 : (R 为 外接圆的半径).sinisinabcABCABC,sinR:sin:siabcABC26 余弦定理:; ; .22cob22coca22o27 面积定理:(1) ( 分别表示 a、b、c 边上的高).1abcShhabc、 、(2) .1sinsisin2CAB(3

12、) .2(|)()OABO,abcSrrabc斜 边内 切 圆 直 角 内 切 圆 28 三角形内角和定理 :在ABC 中,有 ()CAB.2CAB229 实数与向量的积的运算律:设 、 为实数,那么:(1) 结合律:( )=() ;a(2)第一分配律:(+) = + ;a(3)第二分配律:( + )= + .b30 与 的数量积(或内积): =| | | 。abbcos31 平面向量的坐标运算:(1)设 = , = ,则 + = .1)xy2(,)xya12(,)xy(2)设 = , = ,则 - = . (b(3)设 A ,B ,则 .12 21,ABO(4)设 = ,则 = .a,)xy

13、R(,)xy7(5)设 = , = ,则 = .a1()xyb2(,)xyab12()xy32 两向量的夹角公式:( = , = ).122cos|1b2(,)xy33 平面两点间的距离公式:= (A ,B ).,ABd|AB2211()()xy1(,)2(,)34 向量的平行与垂直 :设 = , = ,且 ,则:a1yb,b0| = .(交叉相乘差为零)ab21( ) =0 .(对应相乘和为零)021xy35 线段的定比分公式 :设 , , 是线段 的分点, 是实数,且1(,)P2(,)(,)Pxy12P,则12P12xy1O( ).12()PttP1t36 三角形的重心坐标公式: ABC

14、三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC1Ax,y2B()3Cxy的重心的坐标是 .123123(,)xyG37 三角形五“心”向量形式的充要条件:设 为 所在平面上一点,角 所对边长分别为 ,则OABC,ABC,abc(1) 为 的外心 .22O(2) 为 的重心 .0(3) 为 的垂心 .OA(4) 为 的内心 . abc(5) 为 的 的旁心 .ABCABC38 常用不等式:(1) (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2(2) (当且仅当 ab 时取“=”号)ab(3) 30,).cc(4) .ba(5) (当且仅当 ab 时取“=”号)。22ab39 极值定理:已知 都是正数,则有

15、yx,(1)若积 是定值 ,则当 时和 有最小值 ;pyxp2(2)若和 是定值 ,则当 时积 有最大值 .sx41s(3)已知 ,若 则有,abxyR1ab。211() 2()yababx8(4)已知 ,若 则有,abxyR1abxy2() 2()xabab40 一元二次不等式 ,如果 与 同号,则20()xc或 0,40cxc其解集在两根之外;如果 与 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异a2bc号两根之间.即:;121212()()xx., 0x或41 含有绝对值的不等式 :当 a 0 时,有.2aa或 .xxa42 斜率公式 :( 、 ).21yk1(,)Pxy2(,)y

16、43 直线的五种方程:(1)点斜式 (直线 过点 ,且斜率为 )11kl1(,)Pxyk(2)斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).yxb(3)两点式 ( )( 、 ( ).212121,2,1212,xy两点式的推广: (无任何限制条件!)()(0x(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距, )xyab、 0ab、(5)一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0ABC直线 的法向量: ,方向向量:(,)l(,)lBA44 夹角公式:(1) . ( , , )21tan|k1:lykxb22:lykxb1(2) .( , , ).12|AB0ABC0AC120直线 时,直线 l1 与 l

17、2 的夹角是 .l45 到 的角公式:1l2(1) .( , , )21tank1:lykxb22:lykxb1(2) .( , , ).12AB10ABC2:0lAByC120AB直线 时,直线 l1 到 l2 的角是 .l46 点到直线的距离 : (点 ,直线 : ).0|xyd0)Pxylxy47 圆的四种方程:(1)圆的标准方程 .22()abr9ddd 交交交交交 r1+r2r2-r1o d(2)圆的一般方程 ( 0).20xyDEF24EF(3)圆的参数方程 .cosinarb(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).1212()()y 1(,)Axy2(,)B48 点与圆

18、的位置关系:点 与圆 的位置关系有三种:0,Pxy2)rbax若 ,则 点 在圆外;20()dadrP点 在圆上; 点 在圆内.r49 直线与圆的位置关系:直线 与圆 的位置关系有三种(0CByAx 22)()(ryx):2CBbA; ; .0交rd 交rd 0交rd50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O 2,半径分别为 r1,r 2, ,则:dO21;交421;交3r;交221d;交交21.0r51 椭圆 的参数方程是 . 离心率 ,2(0)xyabcsinxaybcbea准线到中心的距离为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) 。2c 2bp过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长

19、度为: .2aA52 椭圆 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:21(0)xyab, ; 。21PFeexc2()PFexec1221|tanFPFPScyb53 椭圆的的内外部:(1)点 在椭圆 的内部 .0(,)xy21(0)yab02xa(2)点 在椭圆 的外部 .,P2x1yb54 椭圆的切线方程:(1) 椭圆 上一点 处的切线方程是 .21(0)xyab0(,)Pxy02xa(2)过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2(, 021yb(3)椭圆 与直线 相切的条件是 .1()xyabAxByC2ABc55 双曲线 的离心率 ,准线到中心的距离为 ,焦点到对应20,a

20、21cbeaa10准线的距离(焦准距) 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为: .2bpc 2baA焦半径公式 , ,1|()|aPFexex22|()|aPFexec两焦半径与焦距构成三角形的面积 。121otSb56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:(1)若双曲线方程为 渐近线方程: .12byax20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02(3)若双曲线与 有公共渐近线,可设为12byax 2byax( ,焦点在 x 轴上, ,焦点在 y 轴上).0(4) 焦点到渐近线的距离总是 。57 双曲线的切线方程:(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .21(0,)yab0(

21、,)Px021xyab(2)过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2x0(,y 02(3)双曲线 与直线 相切的条件是 .1yabAxBC2ABc58 抛物线 的焦半径公式:pxy2抛物线 焦半径 .(0)02pF过焦点弦长 .xxCD12159 二次函数 的图象是抛物线:224()bacyaxbc()(1)顶点坐标为 ;(2)焦点的坐标为 ;(, 241,)bac(3)准线方程是 .41cya60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2211()()ABxy或 22 21 12(1)|tan|tABkx yco (弦端点 A ,由方程 消去 y 得到,(,y0),(Fbk0bx, 为直线 的倾斜角, 为直线的斜率, . 0 21211|()4x61 证明直线与平面的平行的思考途径:(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.

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