高中数学常用公式及结论.DOC

1、1高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系: , .UxACxAxA2 集合 的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空的真子集12,na 2n21n21n有 个.n3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式 ;2()(0)fxabc(2) 顶点式 ;（当已知抛物线的顶点坐标 时，设为此式）)hak(,)hk(3) 零点式 ；（当已知抛物线与 轴的交点坐标为 时，12xx12(,0),x设为此式）（4）切线式： 。 （当已知抛物线与直线 相切且切点0()(),0df yd的横坐标为 时，设为此式）0x4 真值表： 同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结

2、论 反设词是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 个n至多有（ ）个1n小于 不小于 至多有 个 至少有（ ）个对所有 ，成立x存在某 ，不成立x或pq且pq对任何 ，不成立 存在某 ，成立 且 或6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题若则 若则互 互互 为 为 互否 否逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非则非 互逆 若非则非充要条件： (1)、 ，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件； p（2） 、 ，且 q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3)、

3、p p ，且 ，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p p ，且 q p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。（2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的 1212,xDx且 ，都有212()fxf成立，则就叫 f（x）在 xD 上是增函数。 D 则就是 f（x）的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。（2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 x D 上有定义，若对任意的 1212,x且 ，都有12()fxf成立，则就叫 f（x）在 x D 上是减函数。 D 则就是 f

4、（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2） 、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数 单调 单调性内层函数 外层函数 复合函数 等价关系：(1)设 那么1212,xabx上是增函数；()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则)(fy0)(xf)(xf 0)(xf为减函数. )(xf8 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提

5、条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有 ，()()(0fxfxf或则 f（x）就是奇函数。性质：（1） 、奇函数的图象关于原点对称；（2） 、奇函数在 x0 和 x0 和 x0y=kx+boy xa0y=ax2+bx+coy x011y=axoy x011y=logaxoyx11 对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;两个)fR)()(ff)(f2ba函数 与 的图象关于直线 对称. (xy2b12 分数指数幂与根式的性质：(1) （ ，且 ）.mna0,nN1（2） （ ，且 ）.1nma,n（3） .()n（4）当 为奇数时， ；当 为偶数时， .n,

6、0|na13 指数式与对数式的互化式: .logbaN(,1)N指数性质：(1)1、 ； （2） 、 （ ） ； (3)、pa01a()mnna(4)、 ； (5)、 ； (,)rsrsQmn指数函数：(1)、 在定义域内是单调递增函数；(1)xya（2） 、 在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）0对数性质： (1)、 ；（2） 、 ； logllog()aaaMNlogllogaaaMN(3)、 ；(4)、 ； (5)、 mblmnab 104(6)、 ； (7)、 log1alogab对数函数： (1)、 在定义域内是单调递增函数；l()ayx（2） 、 在定义域

7、内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）og01(3)、 l,(),(1)axax或(4)、 或 则 ,(,)x则14 对数的换底公式 : ( ,且 , ,且 , ).loglmaN0a10m10N对数恒等式： ( ,且 , ).logN推论 ( ,且 , ).lmnaab15 对数的四则运算法则:若 a0，a1，M0，N0，则(1) ; (2) ;log()llogalogllogaaaMNN(3) ; (4) 。()naR(,)mnnmR16 平均增长率的问题（负增长时 ）：0p如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .pxy(1)xp17 等

8、差数列：通项公式： （1） ，其中 为首项，d 为公差，n 为项数， 为末项。1()na1ana（2）推广： kn（3） （注：该公式对任意数列都适用）1(2)nS前 n 项和： （1） ；其中 为首项，n 为项数， 为末项。na1ana（2） 1()2nd（3） （注：该公式对任意数列都适用）nS（4） （注：该公式对任意数列都适用）12na常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqaa注：若 的等差中项，则有 2 n、m、p 成等差。,mnp是 mn（2） 、若 、 为等差数列，则 为等差数列。abnb（3） 、 为等差数列， 为其前 n 项和，则 也成等差数列。nnS23

9、2,mmSS5（4） 、 ； ,0pqpqaa则（5） 1+2+3+n= 2)1(n等比数列：通项公式：（1） ，其中 为首项，n 为项数，q 为公比。1*()nnaqN1a（2）推广： nkn（3） （注：该公式对任意数列都适用）1(2)aS前 n 项和：（1） （注：该公式对任意数列都适用）nn（2） （注：该公式对任意数列都适用）12a（3） 1(1)()nnqS常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqa注：若 的等比中项，则有 n、m、p 成等比。,mnp是 2mna（2） 、若 、 为等比数列，则 为等比数列。nabnb18 分期付款(按揭贷款) ：每次还款 元(贷

10、款 元, 次还清,每期利率为 ).1)(nxab19 三角不等式：（1）若 ，则 .(0,)2xsinta(2) 若 ，则 .1cos2x(3) .|sin|cos|20 同角三角函数的基本关系式 ： ， = ，22in1tancosi21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）22 和角与差角公式; ;sin()sicosicos()ins.tanta1t=sisb2si()b(辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).tanb23 二倍角公式及降幂公式 6.sin2icos2tan1.2 2cicos1sin21ta. 2tatan costaci21osssi,c224 三角函数的

11、周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0)的周期i()yxco()yx；函数 ， (A, 为常数，且 A0)的周期 .|Ttan(),kZ|T三角函数的图像：-11y=sinx-2 23/2/2-3/2-/2 oy x -11y=cosx-2 23/2/2-3/2- -/2oy x25 正弦定理 ： （R 为 外接圆的半径）.sinisinabcABCABC,sinR:sin:siabcABC26 余弦定理：; ; .22cob22coca22o27 面积定理：（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.1abcShhabc、 、（2） .1sinsisin2CAB(3

12、) .2(|)()OABO,abcSrrabc斜 边内 切 圆 直 角 内 切 圆 28 三角形内角和定理 ：在ABC 中，有 ()CAB.2CAB229 实数与向量的积的运算律:设 、 为实数，那么：(1) 结合律：( )=() ;a(2)第一分配律：(+) = + ;a(3)第二分配律：( + )= + .b30 与 的数量积(或内积)： =| | | 。abbcos31 平面向量的坐标运算：(1)设 = , = ，则 + = .1)xy2(,)xya12(,)xy(2)设 = , = ，则 - = . (b(3)设 A ，B ,则 .12 21,ABO(4)设 = ，则 = .a,)xy

13、R(,)xy7(5)设 = , = ，则 = .a1()xyb2(,)xyab12()xy32 两向量的夹角公式：( = , = ).122cos|1b2(,)xy33 平面两点间的距离公式：= (A ，B ).,ABd|AB2211()()xy1(,)2(,)34 向量的平行与垂直 ：设 = , = ，且 ，则：a1yb,b0| = .（交叉相乘差为零）ab21( ) =0 .（对应相乘和为零）021xy35 线段的定比分公式 ：设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且1(,)P2(,)(,)Pxy12P，则12P12xy1O（ ）.12()PttP1t36 三角形的重心坐标公式： ABC

14、三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC1Ax,y2B()3Cxy的重心的坐标是 .123123(,)xyG37 三角形五“心”向量形式的充要条件：设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC,ABC,abc（1） 为 的外心 .22O（2） 为 的重心 .0（3） 为 的垂心 .OA（4） 为 的内心 . abc（5） 为 的 的旁心 .ABCABC38 常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)ab（3） 30,).cc（4） .ba（5） (当且仅当 ab 时取“=”号)。22ab39 极值定理:已知 都是正数，则有

15、yx,（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；pyxp2（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .sx41s（3）已知 ，若 则有,abxyR1ab。211() 2()yababx8（4）已知 ，若 则有,abxyR1abxy2() 2()xabab40 一元二次不等式 ，如果 与 同号，则20()xc或 0,40cxc其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异a2bc号两根之间.即：；121212()()xx., 0x或41 含有绝对值的不等式 ：当 a 0 时，有.2aa或 .xxa42 斜率公式 ：（ 、 ）.21yk1(,)Pxy2(,)y

16、43 直线的五种方程：（1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11kl1(,)Pxyk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).yxb（3）两点式 ( )( 、 ( ).212121,2,1212,xy两点式的推广： （无任何限制条件！）()(0x(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )xyab、 0ab、（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0ABC直线 的法向量： ，方向向量：(,)l(,)lBA44 夹角公式：(1) . ( ， , )21tan|k1:lykxb22:lykxb1(2) .( , , ).12|AB0ABC0AC120直线 时，直线 l1 与 l

17、2 的夹角是 .l45 到 的角公式：1l2(1) .( ， , )21tank1:lykxb22:lykxb1(2) .( , , ).12AB10ABC2:0lAByC120AB直线 时，直线 l1 到 l2 的角是 .l46 点到直线的距离 ： (点 ,直线 ： ).0|xyd0)Pxylxy47 圆的四种方程：（1）圆的标准方程 .22()abr9ddd 交交交交交 r1+r2r2-r1o d（2）圆的一般方程 ( 0).20xyDEF24EF（3）圆的参数方程 .cosinarb（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).1212()()y 1(,)Axy2(,)B48 点与圆

18、的位置关系：点 与圆 的位置关系有三种：0,Pxy2)rbax若 ，则 点 在圆外;20()dadrP点 在圆上; 点 在圆内.r49 直线与圆的位置关系：直线 与圆 的位置关系有三种(0CByAx 22)()(ryx):2CBbA; ; .0交rd 交rd 0交rd50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， ，则：dO21;交421;交3r;交221d;交交21.0r51 椭圆 的参数方程是 . 离心率 ，2(0)xyabcsinxaybcbea准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。2c 2bp过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长

19、度为： .2aA52 椭圆 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:21(0)xyab， ； 。21PFeexc2()PFexec1221|tanFPFPScyb53 椭圆的的内外部:（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)xy21(0)yab02xa（2）点 在椭圆 的外部 .,P2x1yb54 椭圆的切线方程:(1) 椭圆 上一点 处的切线方程是 .21(0)xyab0(,)Pxy02xa（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2(, 021yb（3）椭圆 与直线 相切的条件是 .1()xyabAxByC2ABc55 双曲线 的离心率 ，准线到中心的距离为 ，焦点到对应20,a

20、21cbeaa10准线的距离(焦准距) 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为： .2bpc 2baA焦半径公式 ， ，1|()|aPFexex22|()|aPFexec两焦半径与焦距构成三角形的面积 。121otSb56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byax20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为12byax 2byax（ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）.0(4) 焦点到渐近线的距离总是 。57 双曲线的切线方程:(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .21(0,)yab0(

21、,)Px021xyab(2)过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2x0(,y 02（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .1yabAxBC2ABc58 抛物线 的焦半径公式:pxy2抛物线 焦半径 .(0)02pF过焦点弦长 .xxCD12159 二次函数 的图象是抛物线：224()bacyaxbc()（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；(, 241,)bac（3）准线方程是 .41cya60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2211()()ABxy或 22 21 12(1)|tan|tABkx yco （弦端点 A ，由方程 消去 y 得到,(,y0),(Fbk0bx, 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率， . 0 21211|()4x61 证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.