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【数论第四讲】不定方程.doc

. 不定方程一、定义:把未知数的个数多于方程的个数的方程(组)称为不定方程这里的“不定”指的是方程的解不定二、基本思路与方法:1因式分解法,对方程的一边进行因式分解,另一边作质因数分解,对比两边,转化为若干个方程构成的方程组,进而求解。2配方法,将方程的一边变为平方和的形式,另一边为常数,再用不等式予以处理。3不等式估计,利用不等式工具确定不定方程中某元的范围,再利用整数性“夹逼”出该元的取值。4运用整除性把“大数”化为“小数”,使方程的解明朗化。5同余方法,如果不定方程有整数解,则对任意,其整数解满足。利用这一条件,同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。6构造法,在不易得出方程的全部解时,通过构造法可以提供其部分解,从而证明该方程有解或者有无穷多个解,适合于处理存在性问题。7无穷递降法,适合证明不定方程没有正整数解。三、例题选讲:例1.求所有满足方程的正整数解。解:法1(因式分解):方程即,可得-121-11-1111121111121

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