高等代数对中学代数的指导作用【开题报告】.doc

1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 高等代数对中学代数的指导作用 一、选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素， 而天体就是用这些原始元素建立起来的 - 开普勒 数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。 -陈省身 初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数课本一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高

2、等代数是代数学发展到高 级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步线性代数课本、多项式代数。 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的缉古算经就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的数书九章这部书的 “正负开方术 ”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那 时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时

3、期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式 卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的 ,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺 (1501 1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式 (或称卡当公式 )，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里 (1522 1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力 寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数

4、学家阿贝尔 (1802 1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华 20 岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832 年 4 月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅 21 岁。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手

5、稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说： “我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的 公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。 ” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶 把他的信发表在百科评论中。他的论文手稿过了 14 年，才由 刘维尔 (1809 1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个

6、问题中提出了 “群 ”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭 新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。 高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因素和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展。高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方法。注意与中学数学的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了

7、高 等代数课对培养中学数学的指导作用。 细看、比较所参看的资料，其中文献 1、 2、 3论述了高等代数与中学代数的联系，用高等代数 的理论、方法、思想与观点来剖析中学数学相关内容的若干问题，从而加强课程教学中理论联系中学数学实际，并且通过 行列式的应用、矩阵的应用、 柯西 施瓦兹不等式应用中的几个例子，具体 说明高等代数作为一种工具在中学数学中的一些应用。 使我们从中学的解题思维定势中走出来 ,用一种更深远的眼光来看中学数学问题。 文献 4、 5、 6介绍了 高等代数形成和发展的基本线索、主要研究对象、特点，从高等代数这门课程自身的特点，以及自身在教学中积累的经验和认识出发。居高临下地把握中学

8、数学的有关内容，加深对中学数学有关内容的认识。 文献 7作者从高等代数这门课程自身的特点出发，结合教学过程的几个步骤：创设教学情境，激发学生的学习兴趣；充分展示辩证思维方法，培养科学的世界观；优化课堂教学方法，发挥学生主体作用。就如何搞好课程教学改革、实现现代教育目标，进行探讨。 文献 8 讨论了 21 世纪对人才培养的要求和目前高等代数课程教学的现状以及其不适应于现代教育的一些表现，同时基于高等代数为大学数学系的基础 课之一，对于发展学生的基本数学品质，培养学生思维能力，提高学生的基本数学能力具有非常重要的作用，提出了高等代数课程教学改革的一些构想。 文献 9 ， 在师范院校数学系基础课程中

9、 ， 高等代数作为数学系最重要的基础课之一 ，在建构学生知识体系中起着重要的基础作用。高等代数的学习是比较困难的。学生课听得懂 ,但习题无从下手。因为它的抽象性 ， 学生还不习惯、也没有这方面的思维基本训练。分析问题的原因 ， 主要是学生的学习习惯 ,尤其是数学思维方法存在着缺陷。具体说对数学思维个性品质的两重性认识不够。本文作者通过高等代数教学 ， 对存在着的七种优秀思维品质所具有的两重性进行了剖析 ， 旨在教学中应引起足够的重视。 高等代数不仅是中学代数的 延拓 ， 也是现代数学的基础 。从中学代数到高等代数是 由形象思维方式到抽象思维方式的转变，这个转变是个很复杂的、长期的过程 ， 决不

10、是通过几次简单的课堂教学就可解决的 , 数学教育家波利亚指出 :“数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展他的学生们的解决问题的能力”这种能力提高的前提是首先要将学生们的思维方式转变过来 , 因此转变学生的思维方式 , 养成良好的思维习惯 , 深化 了解高等代数对中学代数的指导方面及其作用，不仅有 利于对中学代数的理解，对高等代数的学习，更有利于形成全面、系统的代数上的认识。 战国策魏策四记载了一个寓言故事，说有个人要往南方楚国去，却驾着车往北走，尽管地球是圆的，那也得绕大半个地球才能到楚国。这说明目标与方法的辩证关系，要想获得事半功倍的效果就必须研究行为的目的。对研究高等代数对中学代数的指导作

11、用也应该首先明确其行为的价值，对其指导作用有深刻的了解与认识， 以便对自己今后的教育事业有高层次的帮助。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本文主要研究以下基本内容与问题： 1为什么要研究高等代数对中 学代数指导作用？ 通过代数的发展史，现今阶段数学教育教学上的新要求、新改革，深刻把握其意义。 2. 高等代数与中学代数之间存在的联系与区别？ 3. 高等代数对中学代数有哪些方面的指导作用？ 4. 高等代数与中学代数教学。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 一、本课题的研究主要通过查找资料，在前人的研究论述基础上，深入理解内容，把各个 “ 点 ” 连成一条有条理的 “ 线 ”

12、 ，总结归纳出自己对于高等代数对中学代数指导作用的知识体系。 二、研究的主要难点是知识点之间的联系，寻找到它们的体系连接点，进而 进行串联，使知识点更加全面、系统。 三、通过本课题的研究，要对高等代数对中学代数指导作用有更全面的认识：在哪些方面高等代数对中学代数有指导作用，指导作用体现在哪些方面，研究指导作用有何意义。学会灵活应用其指导作用来解决一些实际问题，形成 自己的深认识和系统的知识体系 ,以便来指导自己在未来的学习与工作。 四、论文详细工作进度和安排 第一阶段（ 第七学期第 9 周至第 12 周 ）： 收集资料，阅读相关文献，对高等代数及其对中学代数的指导的背景和意义形成系统材料，并对

13、相关研究作系统整理完成文献综述； 第二阶段（ 第七学期第 13 周 至第 15 周 ）： 深入分析高等代数对中学代数的指导作用，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告；翻译相关问题的外文文献；上交文献综述、开题报告，外文翻译 ； 第三阶段（ 第八学期第 1 周至第 3 周 ）： 全面开展课题研究，按照研究方案和路线撰写论文，并完成论文初稿； 第四阶段（ 第八学期第 4 周至第 10 周 ）： 继续完善论文初稿，并对论文进行第一次修改； 第五阶段（ 第八学期第 11 周至第 12 周 ）： 对论文进行第二次修改，并完善定稿； 第六阶段（ 第八学期第 13 周至第 14 周 ）： 做

14、好毕业论文答辩准备事项，进行答辩 。 五、 主要参考文 献： 1 王淑玲浅谈高等数学对中学数学的指导作用 J南平师专学报 2002， 6（ 2）： 46-48 2 侯维民从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系 J数学教育学报 2003， 8（ 3）： 84-87 3 朱荣坤高等代数观点下的中学数学问题研究 J集美大学学报 2009， 10（ 4）： 76-79 4 李忠海，王家铧代数课程研究 M科学出版社 2006， 8 5 曹福桃高等代数在中学数学中的一些应用 J广西师范学院学报（哲学社会科学版） 2006， 7（ 27） ：135-137 6 胡明娣 , 赵临龙 高等代数观点下中学数学问题的新认识两例 J 周口师范学院学报 2005， 9（ 5）：34-38 7 刘桂香“高等代数”课程教学改革刍议 J扬州教育学院学报 1999（ 4）： 56-58 8 程宇 高等代数的教学应注意与中学知识的联系 J保定师专学报 2000， 4（ 2）： 62-63 9 李伟高等代数教学中数学思维若干性质的两重性 J合肥师范学院学报 2009， 11（ 6）： 11-15