实数完备理论简史【开题报告】.doc

1、 毕业论文 开题报告 数学与应用数学 实数完备理论简史 一、选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 17世纪，微积分被牛顿和莱布尼茨各自独立发明，推动了科学技术的前进。然而，它在开创之初自身就存在着逻辑矛盾。直至 19世纪，才由法国著名数学家柯西在分析基础严密化的工作上迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。 1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。而早在 1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界 (即上确界 )的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯 在 19世纪 60年代证明了“致密性定理”。海涅于 1872年提出，波莱尔于 1895年完

2、善并证明了“有限覆盖定理”。 1872年，戴德金、康托 (Cantor)、梅雷 (Meray)和海涅几乎同时发表了他们的实数构造法。在这以前，魏尔斯特拉斯在柏林大学的演讲中已经给出了一种构造法。戴德金和康托的构造法是现在通常采用的方法。 1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理 区间套定理。可以说，实数系的构造是 19世纪后 30年间分析学算术化的重要一步 1。 实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学坚实的理论 基础。人们可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性， 所以实数完备性有多个基本定理。 实数的完备性在数学学科本身中有着广泛的应用 ,特别是在求极限中起着至关重要

3、的作用 ,因此研究实数完备性是数学分析的重要环节，对未来数学研究的发展具有深远的意义。本文介绍了研究实数完备性的历史背景、现状，归纳梳理实数完备性的定义、性质、各命题的证明方法，结合例子说明实数完备性的应用。随着科学技术的发展，实数完备性作为数学分析中的一项重要内容，会在更多的领域拥有广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻。 二、研究的基本内容与拟解决 的主要问题 实数系基本定理是数学分析中重要组成部分，是分析引论中极限理论的基础，也称为实数系的连续性定理或实数的完备性定理。实数域的完备性是人类结果漫长的历史发展过程逐步总结认识的，它是所有函数分析理论的本质基础，由此而建立了极限论、微积分

4、等许多重要的数学成果。我们将从数系发展开始深入研究实数完备性的七个命题的逻辑关系（如 2-10）。 实数完备性定理的循环推证 : 定理 1（确界定理 )：有上 (下 )界的非空数集必有属于 R的最小上界 (最大下界 )。即有有限的上 (下 )确界。 定理 2(单调有界定理 )：单调增 (减 )有上 (下 )界的数列必收敛。 定理 3(闭区间套定理 )：设递降闭区间序列 1 1 2 2, , . . . , . . .nna b a b a b 其长度 ()nnb a n ，则存在唯一的 n1 ,nnab。 定理 4(有限覆盖定理 )： ,ab 的任何开覆盖 必有有限子覆盖。 定理 5(聚点定理

5、 )：有界无限数集 A 必有聚点 R 。 定理 6(致密性定理 )：有界数列必有收敛子列。 定理 7(数列的 Cauchy收敛准则 )：数列 na 收敛的充要条件是 0, N ,N ,mn N，总有 mnaa。 确界定理，单调 有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理，数列的 Cauchy收敛准则（仅指充分性 )等七个命题都是从不同的角度来刻划实数完备性。 定理 l 定理 2：设数列 na 单调增有上界，由定理 l知，它有有限的上确界sup nnN a 下面利用上确界及数列收敛的定义证明 lim =nn a 。 定理 2 定理 3：由已知得到两个单调有界数列 1 2 1. .

6、nb b b a ， 12aa 1. nab由定理 2知，数列 na 与 nb 都收敛，且收敛与同一个数 ，下面证明 就是所要求的公共点。 定理 3 定理 4： (反证 )设区间 ,ab 不能被 中有限个开集所覆盖 (以下想办法找出矛盾 )，第一步，从 ,ab 开始用二分法构造一个闭区问套 ,nnab，由定理 3知 ,nnab确定唯一公共点 ，第二步由于 , ab ，因此 U ，使U ，再结合 lim = lim =nnnnab 知，取充分大的 n ，有 ,nna b U ，一方面 ,nnab没有有限覆盖，另一方面只需一个就覆盖了 U 就覆盖了 ,nnab ，矛盾。 定理 4 定理 5： (反

7、证 )设 A 为有界集，即 ,A ab ，设 A 无聚点，则 ,x ab ， x 不为 A 的聚点，故必有开区间 (当然是开集 )xI 使 x xI 且 xI 中最多只含有 A 的一个点 x ，这样开区间族 |,xI x a b 覆盖了 ,ab ，由定理 4知存在 ,.mxxII使 1, kn xKa b I，当然1 kn xK I也覆盖 A ，再由 kxI的构造知1 knxK I至多只含有 A 的有限个点，因此 A 为有限集，这与 A 是无限集矛盾。 定理 5 定理 6：设数列 na 有界，即 na a b， nN 。若 |na n N 为有限集，则数列 na 必有无限项相同，这些相同项依下

8、标从小到大排列得到 na的一个收敛子列；若 |nA a n N为无限集由定理 5，这个无限集 A 必有一个聚点 ，通过聚点的定义可构造 na 的一个子 列 kna，它收敛于 。 定理 6 定理 7：设 na 为 Cauchy列，第一步，先证 na 有界，这样由定理 6知 na 有一个收敛子列 kna，设 limknk a ，第二步，用数列收敛的定义证明lim nn a 。 定理 7 定理 1：设非空数集 A 有上界 M 。若 MA ，则显然 supMA ；若 MA ，则在 A 中任取一个数 M ，这时 ,mM 有 A 中之数，以下用二分法可得到闭区间列 ,nnab满足： (1) nb n N

9、都为 A 的上界，（ 2) ,nna b n N都有 A 中之数，由 (3) 2nn nMmb a n N ， (4)111 ,2n n n nnMma a b b 12nMmnN。可证 ,nnab均为 Cauchy列，由定理 7的充分性知 ,nnab均收敛，由 (3)知它们收敛于同一个数，设为 ，再利用上确界定义证明即为的上确 界 5。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 归纳整理实数完备性的七个命题的证明方法，各个命题的循环证明，有限覆盖定理证明其他命题，用戴德金分划定理证明实数完备性的几个定理等。研究的方法主要有类比法、归纳法、举例法。技术路线：通过图书馆以及因特网查找相

10、关 领域的最新理论、收集资料 ，对函数项级数的一致收敛性在数学发展中的重要作用有较全面、综合的认识，通过 老师的指导 ， 同学之间的交流和沟通 ，收集整理文献，反复讨论研究问题，界定相关概念，阐述理论基础，实施研究方法，得出研究结论，总结研究启示 。我们将对实数完备理论的发展过程作一个尽量全面的综述，提出自己的一些观点。 四、论文详细工作进度和安排 1.在导师的指导下收集资料，完成毕业论文的文献检索，泛读相关文章，形成系统材料。 （ 第七学期 第 9 周至第 10 周） 2.研读外文文献，完成外文翻译。 （ 第七学期 第 11 周至第 12 周） 3.完成文献综述。 （ 第七学期 第 13 周

11、至第 14 周） 4.完成开题报告。 （ 第七学期 第 15 周至第 16 周） 5.进一步完善论文的资料、数据收集，精读其中的重要参考文献、列出文章的初步提纲。 （ 第八学期 第 1 周至第 2 周） 6.开展论文初稿 撰写工作。 （ 第八学期 第 3 周至第 8 周） 7.在导师的指导下对论文进行反复修改。 （ 第八学期 第 9 周至第 10 周） 8.对论文进行完善，最后定稿。 （ 第八学期 第 11 周至第 12 周） 五、主要参考文献： 1 Edwards C H Jr.The historical development ofthe calculusM.New Y0rk:Sprin

12、ger,2007. 2 杨芳 .实数连续性定理的互推 J.内蒙古科技与经济 ,2009,(3):256-258. 3 盖盈 .关于实数完备性基本定理的统一处理 方法 J.天津师大学报 ,1999,19(2):23-28. 4 邹斌 .实数连续性等价性命题的证明 J.安徽广播电视大学学报 ,2009,(2):125-127. 5 刘 永 建 , 唐 国 吉 . 实 数 完 备 性 定 理 的 循 环 证 明 及 其 教 学 注 记 J. 时 代 教育 ,2009:196-197. 6 孙忠民 .实数完备性定理等价性的补充证明 J.商洛师专学报 ,1993,(1):5-6. 7 刘利刚 . 实数系

13、基本定理等价性的完全互证 J. 数 学 的 实 践 与 认识 ,2008,38(24):246-252. 8 庄陵、唐贤伦、王东、 张金荣 .实数系完备性基本定理的循环证明 J.重庆工商大学学报 ,2006,23(3):219-223. 9 关金玉 , 徐永春 , 祁建芳 .用完全覆盖证明实数系中若干定理 J.河北北方学院学报 ,2006,22(3):6-7. 10 张静 . 实 数 系 的 连 续 性 和 完 备 性 的 若 干 等 价 定 理 J. 北 京 联 合 大 学报 ,2009,23(2):77-81. 11 W.Rudin.Principles of Mathematical AnalysisM.New York:Springer-Verlag,1964.