数学分析中的若干数学思想【文献综述】.doc

1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 数学分析中的若干数学思想 一、 前言部分 数学分析是高等师范院校数学专业的主干基础课 , 内容十分丰富 , 课时多 , 它是学习常微分方程 , 复变函数 , 实变函数 , 概率论与数理统计学等后继课程的阶梯 , 也是深入理解中学数学的必要基础。数学分析因为其内容的广泛性与深刻性 , 包含着多种数学思想与方法。要 学好这门课程 , 就要学习其中的数学思想，这 对数学系的师生是件很重要的事情 , 它直接影响学生的思维能力的培养与提高关系着我们培养的学生能否适应社会的需要 , 胜任他们所从事的工作的 大问题 。 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们

2、的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。 数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想， 它在拓广数学知识过程中队方法、技巧起着统摄作用。 通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。 二、 主题部分 数学分析的发展经历了艰难的

3、开始，从牛顿莱布尼茨建立了微积分的基本方法，并将其应用到各种问题的解决中去取得了很好的效果，紧接着，受到包括神学家及一些数学家的质疑，由此引发了史上第二次数学危机；到柯西研究前人的理论，将微积分严密化，并发展了成熟的函数论，极限论，进行级数收敛性的研究，之后，魏尔斯特拉斯又将数学分析算数化，建立了实数论，至此，数学分析的基础全部打好，第二次数学危机顺利解决。 数学 分析作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地

4、位，并运用于自然科学的各个领域。 数学分析 中包含着丰富的数学思想， 课程目的是训练学生的逻辑思维等理性思维能力、逻辑表述能力和培养学生的数学素养，尊重学生在学习中的主体精神，注重加强学生数学素质的培养，提高学生创造性地分析问题、解决问题的能力。 文献 1是历史的一个概述 ，该书论述了从古代一直到 20 世纪头几十年的重大数学创造和发展，目的是介绍中心思想，特别着重于那些在数学历史中的主要时期中逐渐冒出来并成为最突出的、并且对于促进和形成尔后的数学活动有影响的主流工作。本书所关心的还有：对数学本身的看法，不同时期中这种看法的改变，以及数学家对于他们自己的成就的理解。 文献 2分五个时段讲述了数

5、学的起源和早期发展、中世纪的数学、近代数学、现代数学、现代中国数学。该书主要研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程， 而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，该书不仅包括了具体的数学内容，而且还涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容。 从该书中，我们可以看到 数学思想、方法、理论、概念的演变史 ， 数学科学与人类社会的互动关系 ，还有 数学思想的传播与交流史 等。 文献 3是一本论述数学的精神、数学的思想和数学的方法的著作。而数学的精神、思想和方法却是创造数学

6、著作、发现新的东西，使数学得以不断地向前发展的根源。该书叙述了贯穿在整个数学中的精神、思想和方法的主要内容，该 书认为而这种精神、思想、方法之间又是不能截然地分开的，就是说，通过精神活动产生思想，为了实现思想而研究出方法，作为其结果，就得出了许多数学定理、法则和公式，而在实际中，由于这些思想、方法促进新精神的活动，新精神的活动又进一步产生出新思想、新方法。 文献 4是一部近代的数学名著，一直受到数学界的推崇。作为 Rudin 的分析学经典著作之一，该书在西方各国乃至我国均有着广泛而深远的影响，被许多高校用做数学分析课的必选教材。该书涵盖了高等微积分学的丰富内容，最精彩的部分集中在基础拓扑结构、

7、函数项序列与级数、多变量函 数以及微分形式的积分等章节。 文献 5笔者通过绪论试图描述数学基本轮廓，勾画数学全貌。第一、二章分别介绍古代（ 17世纪初期以前）的近代（ 17世纪中期 19世纪中期）重要数学思想和有影响的数学哲学思想。第三章介绍现代（ 19世纪末期以来）主要数学分支的思想发展。第四章是现代数学基础和数学哲学简介。 本书介绍了古代、近代重要的数学思想和有影响的数学哲学思想 论述了主要数学分支的思想发展和现代数学基础 。 文献 6是大学数学分析课程的辅导用书， 内容涉及极限、连续性、导数与微分、定积分、无穷级数与无穷乘积、多元微分学 、多元积分学以及含参变量积分。 该书 对较基础性的

8、知识点，只是简要地加以介绍，而将重点放在解题思路的挖掘与提炼上。 该书是 作者十余年数学分析选论课程教学实践的结晶，其中不乏许多创新性的见解 。 文献 7详尽地分析了基本理论的难点，对抽象化的问题进行了具体化合几何直观的说明，对重点内容的意义及应留意的事项作了较多的注释，该书例题的选取也具有典型性、实用性、新颖性。另外，该书较细致地介绍了一些一般教科书中难以展开讨论的问题。 文献 8作者认为数学分析的基础是实数理论，实数系最重要的特征是连续性 ,有了实数的连续性 ,才 能讨论极限 ,连续 ,微分和积分。正是在讨论在函数的各种极限运算的合法性的过程中 ,人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。作者

9、对数学分析内容中体现的函数思想、极限思想、连续思想、导数思想、微分思想、积分思想、级数思想的认识与应用进行一般性的分析和探讨。 文献 9借助实例 , 初步探讨了分段法在数学分析解题方面巧妙的运用，并进一步论述了分段思想在数学领域的重要性。作者认为分段与结合和哲学中部分与整体有异曲同工之妙，面对一大题，通过分段的方法将其部分化，理解其中千丝万缕的细枝末节，剖析问题本质，统筹处理。分段思想 有助于培养逻辑思维能力。在解决数学问题时，借助分段法，从思想上也有一种逻辑感。 文献 10作者认为反例教学是一种简洁，明晰的教学辅助方法，它体现了数学发现，化归，猜想，实验，归纳等思想，它对理解数学分析的概念与

10、原理都有极其重要的作用。作者从反例的类型，反例的构造方法，反例的作用三个方面进行探讨，对数学分析中的反例进行了比较系统的分析，总结了几个构造反例常见的方法。 文献 11作者认为辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种，构造辅助函数是将原来的数学问题转化为 容易解决的辅助函数问题。这一构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程。本文讲述了辅助函数的基本特点及构造原则、几种构造辅助函数的方法应用（原函数法、参数变易法、泰勒公式法、常数 k 值法、微分方程法）。 文献 12本文主要讲述了形式主义思想方法及

11、其历史渊源、对立统一思想方法及其历史渊源、两种思想方法的相互关系及作用。作者认为数学思想方法源于人类的社会实践与数学活动，数学思想方法与哲学思想方法有着密切的关系。由于哲学思想方法有唯心主义、形而上学与唯物主义、 辩证法之分 ,因此 ,与其相对应 ,数学思想方法就有形式主义与对立统一之别。它们是相辅相成、缺一不可的，正是由于它们的密切配合与相互作用 ,才使数学得到了持续不断的发展。其中对立统一的思想方法侧重于突破与创新 ;而形式主义的思想方法则侧重于整理与表达。 文献 13作者认为教师在传授数学基础知识加强基本点技能训练的时候 ,更要挖掘数学思想方法，本文从唯物辩证法的思想、数学模型化的思想、

12、类比推理思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想、严格的逻辑推理方法、概念法、对称性方法这十个方面讲述了数学思想方法。 文 献 14首先简单的介绍数学思想方法的涵义 ,接着具体地概括了数学分析中的数学思想方法 ,并指出了数学思想方法在数学分析中的重要意义 .同时根据数学分析的教学经验 ,给出加强数学思想方法的教学建议。 文献 15作者认为数学分析是大学数学系最重要的一门基础课 , 内容多 , 理论深 , 应用广 , 方法杂。因此 , 解剖分析它的知识结构 , 探索它的教学原则和教学方法是极为重要的。本文作者根据自己多年的教学体会从数学分析的知识结构、数学分析思想方法、数学分析中常

13、用的一些方法三方面进行探索。 文献 16作者按 数学的三大版块 代数、几何和分析按章依次加以阐述 ，对思想和方法的基本研究。 在相对浅显的字里行间，渗透着思想骨架，即数学的学科性。全书从自然数谈起，然后引申到数论和数系的扩充，直到集合这个最一般的客体。又转入几何作图，并与数域代数联系在一起。 后面 ，作者从射影几何、非欧几何一直谈到拓扑学。最后重点阐述微积分及其应用。 三、总结部分 数学分析是一门重要的大学基础课程 , 很多后继课程都以它为基础 , 可视为它的延伸、深化和应用 , 而它的基本思想和方法更是无所不在。因此熟练地运用它的基本方法 , 透彻地理解它的基本思想 , 是 学习数学 的 关

14、键 ， 同时也是深入理解初等数学理论背景的必要基础。只有掌握了数学思想方法 ， 才能深刻体会数学的本质 ， 从而具备解决实际问题的数学意识和思维方法 。 数学思想方法在科学研究中具有举足轻重的地位和作用 ， 具体体现在 ： 能提供简洁精确的形式化语言 ； 能提供数量分析及计算的方法 ； 能提供逻辑推理的工具 。 因 此 它具有普遍性和可操作性 。 四、 参考文献 1 克莱因古今数学思想 M.上海：上海科学技术出版社 ,1979 2 张奠宙数学史选讲 M.上海：上海科学技术出版社 ,1997 3 米山国藏 . 数学的精神、思想和方法 M.成都：四川教育出版社 ,1986 4 Walter Rud

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