凸函数的性质的讨论【文献综述】.doc

1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 凸函数的性质的讨论 一、前言部分 凸性是一种几何性质，也是一种代数性质。凸函数则是一类性质独特的函数。凸性和凸函数在不等式、泛函分析、最优化理论、运筹学、控制论及数理经济学等应用数学领域都有很多应用。在不等式的研究中，凸函数显得尤为重要，而不等式最终又归结为研究函数的性质，所以研究凸函数的性质就变得十分必要了。在阅读了一些有关凸函数性质的文献的基础上，本文整理出了一些基本的定义、性质及定理，同时也罗列了一些利用其定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式的例题，这些例题如果用 常规方法去求解将会非常棘手。由此，再一次说明了利用凸函数及凸性证明一些不等式显得巧妙、

2、简练。 1、凸函数的定义 定义 13 设 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上任意两点 12,xx和实数 (0,1) ，总有 1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x 则称 f 为 I 上的凸函数。反之，则称为凹函数。 如上式中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数。 注 1：容易证明：若 f 为区间 I 上的凸函数，则 f 为区间 I 上的凹函数，故只须讨论凸函数的性质即可。 下面给出凸函数的两个等价定义。 定义 22 设 ()fx在区间 , ab 上有定义， 1 2 3, , , x x x a b，且 1 2 3

3、x x x，有 31212 1 3 1( ) ( )( ) ( ) f x f xf x f xx x x x 3232( ) ( )f x f xxx 成立，则 ()fx为凸函数。 定义 32 设 ()fx在区间 , ab 上有定义， 1 2 3, , , x x x a b，且 1 2 3x x x，有 1122331 ( )1 ( ) 01 ( )x f xx f xx f x 成立，则 ()fx为 , ab 上的凸函数。 为了从较高的起点来给出凸函数的定义，清晰地看出凸函数与凸性的联系，先给出凸集的两个定义。 定义 44 某集合称为凸集，是指连接该集合中的任何两点的连接直线段上的点都在

4、该集合中。 定义 54 设 X 是一个线性空间， 12,x x X 为任意两点，称 1 2 1 2 , | ( 1 ) , 0 , 1 x x x X x x x 为连接 12,xx的闭线段。 定义 64 设 X 是一个线性空间，子集 AX 称为凸集，是指对 12,x x A及 0,1有 12(1 )x x A 或 1 2 1 2, , , x x A x x A . 定义 74 设 :( , )f a b R 为定义在 R 中的开区间 ( , ) : | a b x R a x b 上的实值函数，这里 ,ab满足 ab - .下列集合 2 ( , ) | ( , ) , ( ) e p if

5、 x R x a b f x . 称为函数的上图 ()epigraph . 定义 84 如果函数 :( , )f a b R 的上图 epif 是凸集，则 f 称为 (, )ab 上的凸函数。 二、主题部分 2、凸函数的性质 性质 11 若 ()fx为凹函数且 ( ) 0fx ， nxR ,则 1()fx为凸函数；反之不成立，即若 ( ) 0fx 为凸函数， 1()fx不一定为凹函数。 证明 根据假设，要证明 1()fx为凸函数，只要证明 , nx y R， (0,1) ，有 11( (1 ) ) ( ) ( )f x y f x f y (2) 事实上，因 ( ) 0fx 为凹函数，故有 (

6、 (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x y f x f y (3) 所以 11( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x y f x f y 从而，要证明（ 2）只要证明 11( ) (1 ) ( ) ( ) ( )f x f y f x f y （ 4） 即可，注意到 22( ) ( ) 2 ( ) ( )f x f y f x f y，可得（ 4）式显然成立，从而（ 2）式成立。这说明 1()fx为凸函数。 另一方面，当 ( ) 0fx 为凸函数时， 1()fx不一定为凹函数，例如 11( ) :f x R R ，() xf x e 0 为凸函数，但 1()fx xe 仍为凸

7、函数。 性质 21 设 ()fx为 nR 上的凸函数，则 ( ) ( ) ( ( ) | ( ) |)g x f x f x f x亦为凸函数。 根据凸凹函数的定义，很容易得到以下性质。 证明 若 nxR ， ( ) 0fx 或 ( ) 0fx ，则 ()gx 显然为凸函数。下面用凸函数的定义证明本定理。 只要证明： , nx y R， (0,1) ，有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )g x y g x g y . （ 5） 分三种情况讨论： （ i）当 ( ) 0, ( ) 0f x f y时，因 ()fx为凸函数，故 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 0f x y f

8、 x f y . 此时，因 ( ) 0, ( ) 0g x g y， ( (1 ) ) 0g x y ，故（ 5）式成立。 （ ii） 当 ( ) 0, ( ) 0f x f y时，若 ( (1 ) ) 0f x y ，则（ 5）式显然成立。若( (1 ) ) 0f x y ，则有 2( (1 ) ) 2 ( (1 ) )g x y f x y 22 ( ( ) (1 ) ( ) )f x f y 222 ( ( ) (1 ) ( ) )f x f y ( ) (1 ) ( )g x g y ， 从而（ 5）式成立。 （ iii）当 ( ) 0, ( ) 0f x f y时，令 ( ) ( (

9、1 ) )f x y ，从而有 (0) 0, (1) 0。由凸函数的性质 5、性质 6 及介值定理得，存在 * 0,1 使 ( ) 0 ， * ,1 ； （ 6） 而 ( ) 0 ， *0, . （ 7） 当 * ,1 时，（ 5） 式显然成立，当 *0, 时， 0 ( ) ( (1 ) )f x y ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )f x f y f y . 所以 222( ( 1 ) ) 2 ( ( 1 ) )2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ( )g x y f x yf y f yg x g y 此时（ 5）式显然成立，这样无论哪种情况（ 5）

10、式都成立，从而 ()gx 为凸函数。 性质 38 若 ()fx在区间 I ，对 0k，则： 0k 时， ()kf x 在区间 I 上为凸函数； 0k 时， ()kf x 在区间 I 上为凹函数。 性质 48 若 ( ), ( )f x g x 在区间 I 上为凸函数，对 12,k k R,则： 120, 0kk时， 12( ) ( )k f x k g x 为 I 上的凸函数； 120, 0kk时， 12( ) ( )k f x k g x 为 I 上的凹函数。 注 2： 性质 4 中有一个不为零时，即为性质 3。 性质 57 设 ( ), ( )f x g x 为 (, )ab 上的凸函数，

11、则 ( ) m a x ( ), ( )h x f x g x 也是凸函数。 证明 利用凸函数的定义，设 12,0 ， 121，则 12, ( , )x x a b ，有 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )f x x f x f x 1 1 2 2( ) ( )h x h x， 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )g x x g x g x 1 1 2 2( ) ( )h x h x， 从而 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) m a x ( ) , ( ) ( ) ( )h x x f x x g x x h x h x ，

12、 即 ()hx 是凸函数。 性质 62 设 ()fx与 ()gx 都是 , ab 上的非负单调递增的凸函数，则 ( ) ( ) ( )h x f x g x也是 , ab 上的凸函数。 证明 对 12, ( , )x x a b 且 (0,1) ，因 ()fx与 ()gx 在 , ab 上单调递增。故 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x g x g x . 即 1 2 2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x f x g x . （ 8） 又因 ()fx与 ()gx 为 ,

13、ab 上的凸函数， 故 2 1 2 1 (1 ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x ， 2 1 2 1 (1 ) ( ) (1 ) ( )g x x g x g x . 而 ( ) 0fx , ( ) 0gx ,将上面两个不等式相乘 ,可得 2 1 2 1 (1 ) (1 ) f x x g x x 222 2 2 1 1 2 1 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )g x f x f x g x f x g x f x g x . 又由（ 8）知 2 1 2 1 (1 ) (1 ) f x x g x x 221 1 2

14、2(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x 2 1 1 2(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x 1 1 2 2(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x . 由凸函数的定义知， ( ) ( ) ( )h x f x g x 是 , ab 上的凸函数。 注 3： 1 . ( ), ( )f x g x 非负不能少。例如， ( ) 1fx ， 2()g x x ， (0,1)x 均为凸函数，但 ( ) ( ) ( )h x f x g x 2x ，显然 ()hx 不是凸函数，原因是 ( ) 1fx 为负。

15、 2 . ( ), ( )f x g x 单调递增不能少。例如， ( ) 3f x x， 2()g x x 在 (1,3) 上是非负凸函数，但 23( ) ( ) ( ) 3h x f x g x x x ， ()hx 不是 (1,3) 上的凸函数，原因是 ( ) 3f x x 是单调递减的。 性质 72 设 ()u 是单调递增的凸函数， ()u f x 是凸函数，则复合函数 ( )fx 也是凸函数。 证明 因 ()u 是单调递增的凸函数和 ()u f x 是凸函数，故 ( ) 0u ， ( ) 0u ， ( ) 0ux ， 故 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )x u u x u

16、 u x ， 显然 ( ) 0x ，所以 ( )fx 是凸函数。 以上是凸函数的一些性质，下面我们来谈谈凸函数的判定定理。 3 定理 定理 12 设 ( ) , f x a b ，且在 (, )ab 上可导， ()fx为凸函数的充要条件为： ()fx 在(, )ab 内为递增函数。 定理 22 设 ( ) , f x a b ，且在 (, )ab 上二阶导数存在，则 ()fx为凸函数的充要条件为： ( ) 0fx . 证明 由定理 1 可知， ()fx为上 , ab 的凸函数等价于 ()fx 在 (, )ab 内为增函数。由于 ()fx在 (, )ab 上二阶导数存在，故 ()fx 在 (,

17、)ab 上可导，从而可得 ()fx 在 (, )ab 上递增的充要条件是 ( ) 0fx ，定理得证。 定理 32 设 ( ) , f x a b ，且在 (, )ab 上可导，则 ()fx为凸函数的充要条件为： 0 ( , )x a b ，有 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x ， ()a x b . 注 4：定理 3 的几何意义是：曲线 ()y f x 总在它的任一切线的上方。 定理 42 设 ()fx为区间 , ab 上的可导函数，则 ()fx为凸函数的充要条件为： 1( ) ( ) ( ) 22abf f a f b . 定理 52 若对 12, ,

18、 , , mx x x a b 和 12, , 0m ，且1 1mii ，则 ()fx为凸函数的充要条件为： 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )m m m mf x x x f x f x f x . 注 5： 该不等式通常称为 Jensen 不等式。 推论 12 设 ()fx在区间 , ab 上是凸函数，则对于 12, , , , mx x x a b 和任意正数12, m ，都有 1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2( ) ( ) ( )() m m m mmmx x x f x f x f xf . 定理 63 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对上任

19、意三点 1 2 3x x x，总有 32212 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f xf x f xx x x x . 其几何意义是： f 为凸函数的充要条件为在曲线 ()y f x 上自左至右依次任取三点,Q,PR，上式表明 QP 连线的斜率不大于 QR 连线的斜率。 定理 77 函数 :( , )f a b R 为凸函数的充要条件是 epif 为 2R 中的凸集。 证明 必 要 性 设 :( , )f a b R 是凸函数，而 1 1 2 2( , ) , ( , )TTx y x y epif。则12, ( , )x x a b ， 1 1 2 2( ) , ( )f

20、 x y f x y。于是，对任意的 0,1 ，由 ()fx凸性可得： 1 2 1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )f x x f x f x y y ， 这表明 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( 1 ) ( , ) ( ( 1 ) , ( 1 ) )T T Tx y x y x x y y epif 。 因而集合 epif 是 2R 中的凸集。 充分性 设 epif 是 2R 中的凸集， 12, ( , )x x a b ， 01。注意到 11( , ( )Tx f x ，22( , ( )Tx f x epif ，由集合 epif 的凸性，可

21、得： 1 2 1 2( (1 ) , ( ) (1 ) ( ) ) Tx x f x f x 1 1 2 2( , ( ) ) (1 ) ( , ( ) )TTx f x x f x epif ， 由集合 epif 的定义，可得 1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x ， 0,1 ，因此()fx是 (, )ab 上的凸函数。 推 论 27 设 nkR 为凸集，那么， :f k R 为凸函数的充要条件是集合 epif 为 1nR中的凸集。 注 6： nR 中凸函数的性质定理的证明过程与单变量凸函数的性质定理的证明过程类似，证明过程（略）。 定理 8

22、8 若 ()fx为区间 I 上的凸函数，对 xI ，且 x 为 I 的内点，则单侧导数( ), ( )f x f x皆存在，且 ( ) ( )( )f x f x x I . 推论 38 若 ()fx为区间 I 上的凸函数，则 ()fx在区间 I 的内点连续。 4、凸函数的性质在不等式证明中的应用 在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙。证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数。 （一） 利用凸函数的性质证明几 个重要不等式 例 13 霍尔德（ Holder ）不等式 （ 1） 对任给 0iiab

23、， ( 1,2,., )in 的。证明： 111 1 1( ) ( )n n npqpqi i i ii i ia b a b ， 1( 1)ppq ； （ 2） ,pq定义如前， ( ), ( )f x g x 在 , ab 上可积，证明： 11| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |b b bpqpqa a af x g x d x f x g x . 证明 （ 1）令 ( ) ( 1)pf x x p， (0,1)x ，则由 ()fx是凸函数可知，对任意一组实数 12, ,., nx x x ，令1( 1, 2 , . )kk njjqp k nq ，则有 1111pnnp

24、k k k kkknnkkkkq x q xqq. 记1pq p ，则 111pq， 于 是 上 式 变 为 111 1 1( ) ( )n n np pqk k k k kk k kq x q x q ， 若 取1pk k ka q x ，1qkkbq ( 1,2,. )kn ，则有 111 1 1( ) ( )n n npqpqi i i ii i ia b a b 。 注 7：当 2pq时，即得柯西不等式 2 2 21 1 1()n n ni i i ii i ia b a b . （ 2） 将 , ab n 等分，设 1 , k kknn ，由（ 1）得 111 1 1| ( ) (

25、) | | ( ) | | ( ) |n n npqpqk k k kk k kf g f g 两边同时乘以 ban ，由 111pq得 1 | ( ) | ( ) |nkkk bafg n 1111| ( ) | | ( ) |nn pqpqkkkkb a b afgnn . 令 n ，由 ( ), ( )f x g x 的可积性得 11| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |b b bpqpqa a af x g x d x f x g x 。 注 8：特别取 2p 时，得许瓦尔兹（ Schwarz ）不等式，即 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ) ( )b b ba

26、a af x g x d x f x g x . 例 23 闵可夫斯基（ Minkowski ）不等式。 若 1p ，则对任给的实数 , 1, 2,., iia b i n ，有 1 1 11 1 1| | | | | |n n np p pp p pi i i ii i ia b a b 证明 设 0, 0iiab， 1p 由上例（ 1），得 1 ()n piii ab 1111( ) ( )nnppi i i i iiia a b b a b 1 1 1 11 1 1 1( ) ( )n n n np q p qp p p pi i i i i ii i i ia a b b a b .

27、由 111qp，即证 1p 时的情形。 1p 时，显然。 仿上例（ 2）的证明可知有连续情形，即积分形： 11| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |b b bppppa a af x g x d x f x g x ， 此不等式在泛函分析 pL 空间中很有用。 例 34 ()Young 不等式若 0a ， 0b ， 0p ， 0q ， 0 且 111pq求证： pqqpabab pq 证明 从所求证的不等式形式来看，不容易直接找到合适的凸函数。因此，我们要对它进行一定的变形。不妨在 不等式两边同取自然对数，则有 ln( ) ln pqqpabab pq ，由此很容易找到合适的凸函数。考虑函数 ( ) ln ( 0)f x x x ，因为21( ) 0fx x，由定理 2 可知， ()fx在 0x 时为凸函数。因为有 0p ， 0q ， 111pq，所以 1 1 1 111l n l n ( ) l n ( ) l n ( ) l n ( ) l n ( )pq pqp p p pqpab a b a b a bp q p q . 于是 ln( ) ln pqqpabab pq . 即 pqqpabab pq 。