一维波动方程Cauchy问题解的适定性【文献综述】.doc

1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 一维波动方程 Cauchy 问题解的适定性 一、前言部分 在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通常表示所有种类的波，例如声波，光波和水波。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学，波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到 , 对非线性偏微分方程有关概念、理论及方法的理解起着非常重要的作用。 对一维波动方程 Cauchy 问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。 以下是本文经常要用到的一些概念： 1、一维波动方程的定义 定义 11 222 ( , ) (0 , 0 )uua f x t x l ttx ，

2、（ 1.1） 其中 2 00( , ), ( , )T f x ta f x t，方程（ 1.1）刻画了均匀弦的微小横振动的一般规律，人们称它为弦振动方程，亦称为一维波动方程。 一根弦线特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必须写出 它适合的初始条件和边界条件 1 。 定义 21 初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻 0t 的位移和速度： ( , 0 ) ( ) ( 0 ) ,( , 0 ) ( ) ( 0 ) ,tu x x x lu x x x l （ 1.2） 这里 ( ), ( )xx为已知

3、函数。 1 定义 31 边界条件 一般来说有三种。 （ 1）已知端点的位移变化，即 12( 0 , ) ( ) , ( , ) ( ) ( 0 )u t g t u l t g t t （ 1.3） 特别当 12( ) ( ) 0g t g t时，称弦线具有固定端。 （ 2）已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即 012| ( ) ,| ( ) ( 0) ,xxluT g txuT g t tx （ 1.4） 特别当 12( ) ( ) 0g t g t时，称弦线具有自由端。 （ 3）已知端点的位移与所受外力的作用的一个线性组合 0 1 122| ( 0 , ) ( ) ,| ( , )

4、( ) ( 0) ,xxluT u t g txuT u l t g t tx （ 1.5） 0, 1,2i i ， 特别当 12( ) ( ) 0g t g t时，表示弦的 两端固定在弹性支承上，( 1,2)i i 分别表示支承的弹性系数。 定义 42 边界条件和初始条件统称为定解条件。 定义 53 我们把方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件，一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题。 2、波动方程的定义 定义 65 如果我们考虑的是膜的振动或者声波在空气中的传播，用来描述这些二维和三维波动现象的微分方程仍然具有和方程（ 1.1）相似的形式： 2 2 22 ,u a u ft （

5、1. 6） 这里 221ni iuu x 是 Laplace 算子， n 是维数。通常我们把方程 (1.6)称为波动方 程。 3、 Cauchy 问题的定义 定义 7 1 所谓初值问题（ Cauchy 问题） 即在 0, )nR 上定义一个函数 u ，使它在0, )nR 内适合方程（ 1.6），而在 0t 上适合初始条件 010 1 1| ( , ., ) ,| ( , ., ) , ( , ., )tnnt t n nu x xu x x x x R 定义 81 不必考虑边界条件，我们把在区域 ,0xt 上，由方程（ 1.1）和初始条件（ 1.2）组成的定解问题称为弦振动方程的初值问题（或

6、Cauchy 问题）。 4、定解问题的适定性 定义 95 如果一个定解问题的解存在、唯一、稳定，那么我们称这个定解问题是适定的。 因 为定解数据（如初值、边值和方程的非齐次项等）一般都是通过实际测量得到的，它不可能绝对正确，所以人们关心对于定解数据的微小差异是否会引起解的完全失真？这就是解的稳定性问题，即解是否连续依赖于定解数据？当然讲大小就要先引入度量。 定义 10 5 设 G 是一个函数集合，如果对于任意两个函数 12,f f G ， 必有1 1 2 2 1 2( , ) ,a f a f G a a R 那么称 G 是线性空间。如果对于任意 fG ，都有一个非负的实数 f 与它对应，且适

7、合 （ 1）若 12,f f G 则 1 2 1 2 ;f f f f （ 2）若 ,f G a R则 3 | | ;af a f （ 3） 0f ，其中等号当且仅当 0f 时成立，那么称 G 为线性赋范空间， f 称为 f 的范数或模。 定义 111 解的稳定性的定义 :以弦振动方程的混合问题 1 为例。我们说混合问题的解对初值是连续依赖的，这意味着如果把初值 , ( ) 是 初 位 移 ， 是 初 速 度看作是线性赋范空间 中的元素，而把相应的混合问题的解 u 看作是线性赋范空间 U 中的元素，则对于任意 , ( 1, 2)ii i 以及相应于它们的解 ( 1,2)iui ，有： 0, 0

8、 ,当 1 1 2 2| , , | 时，有 12| | .Uuu 5、叠加原理的定义 定义 122 几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果（即 假设其他原因不存在时，该原因所产生的效果）的累加。例如，几个外力作用在一物体上所产生的加速度可以用单个外力各自单独作用在该物体上所产生的加速度相加而得出。这个原理称为叠加原理。 6、特征线的定义 定义 131 我们称下列常微分方程初值问题 的解 ( , )x t c at c为方程 0atx的特征线，其中 c 为常数。 7、能量积分的定义 定义 141 对于弦振动问题， 212tu dx表示弦元素 dx 在 t 时刻所具有的动能

9、， 22xTu dx表示弦元素 dx 在 t 时刻的应变能（或称势能）。因此不计常数因子，表达式 2 2 2()txu a u dx 表示弦段 在 时刻的总能量。在数学上，我们称它为能量积分，或称为解 u 的能量模。 ,(0)dx adtxc 4 8、古典解与广义解的定义 定义 151 我们把扩大了解的函数类以后得到的 解称为广义解，而把原来的二次连续可微解称为古典解。 那么这里有两条原则应予考虑： A古典解必是广义解； B广义解是唯一的，且按某种度量连续依赖于定解资料。 二、主题部分 文献 1阐述了一阶线性方程的特征线解法，给出了用特征线方法解一阶偏微分方程的步骤： 1.求特征线 ( , )

10、x xt c ； 2.沿特征线将原方程化为关于 ( ( , ), )x t c t 的常微分方程（其中 c 为参数），并求出( , )ut c ； 3.从 特征线方程解出 ( , )c xt ，则所求的解为 ( , ( , )u t x t 。此外，文献 1还阐述了用特征线法解波动方程的初值问题的过程 ,所用的知识是能量不等式和 Gronwall 不等式： 定理 12 （能量不等式） 设 12( ) ( )u C Q C Q 是定解问题 22 222 ( , ) , (0 , ) ( 1 )( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) ( ) , ( 2 )tuua f x t Rtxu x x

11、 u x x x R 的解，则有估计 02 2 22 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ,txx Ku x a u x dxM a dx f x t dx dt 5 02 2 22 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ,txKx Ku x t a u x t dx dtM a dx f x t dx dt 其中 00,0 0 0 00 0 , ( ( ) , ( ) ) ,.ttK K tK t x a t x a tMe 引理 22 （ Gronwall 不等式） 若非负函数 ()G 在 0, T 上连续可微， (0) 0G ，且对0, ,T 有 (

12、) ( ) ( )dG C G Fd 其中 0C 为常数， ()F 为 0, T 上不减的非负可积函数，则 () ( ),CdG eFd 1( ) ( 1) ( ).CG C e F 文献 2利用叠加原理、自变量变换、齐次化原理求解一维波动方程的 Cauchy 问题： 22222 ( , ) ( 0 , ) ,0 : ( ) , ( ) ( ) .uua f x t t xtxut u x x xt 得到了达朗贝尔公式： ( ) ( ) 1( , ) ( )22 x a tx a tx a t x a tu x t da （ 3） 并给出了如下定理： 定理 32 设 21( ) ( ) , (

13、 ) ( ) ,x C R x C R那么初值问题 6 22222 0 ( 4 )0 : ( ) , ( ) ( 5 )uuatxut u x xt 存在唯一的解 (,)uxt ，它由达朗贝尔公式（ 3）给出。 文献 2还给出了齐次化原理、唯一性、稳定性： 定理 42 （齐次化原理或 Duhamel 原理）：若 ( , ; )Wxt 是初值问题 222 0 ( ) ,: 0 , ( , )WWattxWt W f xt 的解（其中 为参数），则 0( , ) ( , ; )tu x t W x t d 就是初值问题 22222 ( , )0 : 0 , 0uua f x ttxutut 的解

14、. 定理 52 波动方程 2 ()tt xx yyu a u u f 取初始条件 00| ( , ) ,| ( , )tttu x yu x y （ 6） 的柯西问题的解是唯一的。 定理 62 波动方程 2 ()tt xx yyu a u u取初始条件（ 6）的柯西问题的解在下述意义下关于初始值是稳定的：对于任何给定的 0 ，一定可找到仅依赖于 和 T 的 0 ，只要 7 22001 2 1 2( ) ( )1 2 1 2( ) ( )| | , | | ,| | , | | ,xxLLyy 则对应于初始值 11( , ) 的解 1u 与对应于初始值 22( , ) 的解 2u 的差在 0 R

15、t a 上成立 221 2 1 2( ) ( )1 2 1 2( ) ( )| | , | | ,| | , | | ,ttxxLLy y t tu u u uu u u u （ 7） 又在锥体 K 上成立 2 21 2 1 2()| | ( ) .LK Ku u u u d x d y d t 文献 3阐述了特征线法是解波动方程的另一种常用方法，特征线方法最大的特点就是把偏微分方程问题转化为求解常微分方程（组）的相应问题。用特征线法解一维波动方程初始值问题的思想是 ,把原来的波动方程分解为等价的两个一阶线性偏微分方程组 ,沿着特征线 ,相应的一阶线性偏微分方程化为常微分方程 ,可以用常微分方

16、程的办法解出。 文献 3还给出了一维波动方程 Cauchy 问题的适定性定理： 定理 73 （适定性） 若 2 1 1 1( ) ( ) , ( ) ( ) ,x C R x C R且它们有界，则初值问题 (4)、(5)的古典解存在唯一，且在有限时间内是一致稳定的（按连续函数空间的范数）。从而，问题 (4)、 (5)是适定的。 文献 4作者用特征线法求解了如下一维非齐次波动方程 200( , ) , 0 ,( ) , ( ) ,tt x xt t tu a u f x t t xu x u x x 其中， u 是未知函数 , ()x , ()x 和 ( , )f xy 是已知函数 , a 是常

17、数 , tu , ttu 和 xxu 是u 的偏导数。求的解表示为 ()0 ( )1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) .2 2 2x a t t x a tx a t x a tu x t x a t x a t d d f daa 文献 5运用特征线法求解了 Cauchy 问题 222 3 0 , ( , )( , 0 ) 3 , ( , 0 ) 0 .x x x y y yyu u u x y Ru x x u x 并运用特征线法证明了如下定理： 8 定理 85 Cauchy 问题 1112 6 ( ) , , ,0 , ( ) ,tt x xt x t t xu u

18、 x t x R t xu u u x x R 有解的充分必要条件是 21( ) 3 ,u x x C其中 C 是常数。而且，如果方程有解，则解不惟一。 文献 6考虑 波动方程 2 0 , 0 , 0 , ( 8 )t t x xu a u x l t 具有初始条件 ( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) ( ) , 0 , ( 9 )tu x x u x x x l 及边界条件 ( 0 , ) 0 , ( , ) 0 , 0 . ( 1 0 )u t u l t t 传统求解此问题的方法是用分离变量法得到一个形式的 Fourier 级数解 ， 本文将用特征线方法直接给出此问题的一个显式解

19、 。 先求出了 ( , )uxt 在特定区域上的解。为了进一步了解在其他区域的解 ,又求解了的古尔沙问题。最后通过归纳法求出 ( , )uxt 在各区域上的解。 文献 7阐述了特 征理论在偏微分方程中的应用。本文先给出了完全积分，包络的定义，然后用包络生成解，最后利用特征线法讨论了一阶线性齐次、拟线性以及全非线性偏微分方程解的求法 , 并给出了应用实例。 考察波动方程的初边值问题： 22222 ( , ) ,0 : ( ) , ( ) ,0 : 0 ,: 0 .uua f x ttxut u x xtxux l u 文献 12 89通过分离变量法，将波动方程的定解问题化为常微分方程的定解问题，

20、最终得到了与传统求解方法相一致的结论 达朗贝尔公式 (3)，从而解出柯西问题。类似地 ,分离变量法可以被推广到求解 高维波动方程柯西问题上去。 其基本求解思想是 :利用分离变量法把定解问题的解表示成若干个未知函数乘积的形式 ,而每一个这种函数仅含一个自变9 量 ,使得方程可以写成一边仅依赖于一个自变量 ,而另一边则依赖于余下变量的形式 , 要使得方程对于分别依赖的不同的变量成立 ,则每一边必然等于常数。反复这样做 , 就可以将偏微分方程的问题化为解常微分方程的问题。分离变量法是求解有限域内定解问题的一个常用方法 ,如用于波动方程初边值问题的求解。 实际上 ,分离变量法不仅可以求解有限域内的定解

21、问题 ,而且还可以求解无界域上三类典型方程的定解问 题 ,比如可以求解一维、二维波动方程柯西问题 ,对于高维波动方程柯西问题也可用分离变量法求解。 文献 8作者还运用分离变量法举例求解了形如 222 , , 0 ,( ) ( ) , ( , 0 ) ( ) .tuua x R ttxu x x u x x 的一维波动方程的 Cauchy 问题，得到了 达朗贝尔公式 (3)。 利用达朗贝尔公式求解波动方程（ 8） Cauchy问题时，我们知道， 21( ), ( )C R C R时 达朗贝尔公式所给出的函数是定解问题的解，但在应用上，上述对于 及 的光滑性的要求不一定得到保证，有时用一个不十分光

22、滑的函数来近似描述测得的初始条件比较方便。但如果满足数学上的要求，对它进行光滑化却往往会给计算带来很多麻烦。文献 101112考虑了 及 具有较差光滑性的情况，利用完备化的思想建立了弦振动方程（ 8） Cauchy问题在 2L 空 间中广义解的定义，并且广义解具有与经典解相同的结构。 文献 10还给出了弦振动方程的广义解的重要结论： 定理 910 设 ()x 连续， ()x 可积时，弦振动方程 Cauchy 问题 22222 0 ( 0 , )0 : ( ) , ( )uua t xtxut u x xt y 抖 - = - ? + ? 抖 = = F = 的广义解存在，并可由达朗贝尔公式（ 3）给出，且广义解 u 为连续函数。 引入广义解的好处在于： 要使 Cauchy问题的古典解存在，我们必须对初始条件的光滑性加上 很强的限制 (例 32C如 ， C ， ） ，但建立了广义解的概念以后，就不需要初始