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.空间立体几何建立直角坐标系12015浙江如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是 B1C1的中点。(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE。因为ABAC，所以AEBC。故AE平面A1BC。由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以A1AED为平行四边形。故A1DAE。又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC。(2)方法一：作A1FBD且A1FBDF，连接B1F。由AEEB，A1EAA1EB90，得A1BA1A4。由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB与B1DB全等。由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1为二面角A1BDB1的平面角。由A1D，A1B
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