1、1台州学院 2017 学年第 1 学期2017 级 数学与应用数学专业高等代数 I期中试卷(A)(闭卷)班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分分值 20 15 20 10 15 10 10 100得分一 计算题（第 1,2,3,4 每小题 3 分，第 5,6 每小题 4 分，共 20 分）1. 设 =0，求 a. 2. =？ 3. =？132a52427819434. 求箭形行列式 的值. 5. 计算行列式 .1n 121255nnaa6 设 , 304275D2123406?AA二 叙述题（每小题 5 分，共 15 分）1. 请叙述 Cramer 法则.2.请叙述数域的定义
2、.3. 什么叫齐次线性方程组的基础解系？三判别下列命题的对错，并把错误的命题改正（每小题 2 分，共 20 分）1一个向量线性相关的充要条件是 =0. 2设向量组 线性无关， 线性相关，则 可由向量组 12,.s12,s， 12,.s，线性表出. 3任一个排列都可以经过奇数次对换变为奇排列.4设线性无关的向量组 可由向量组 线性表出，则 rs.12,.r12,.s5.设向量组 线性无关，则向量组 线性无关. 123,6.设 nm 矩阵 A 是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若 ，则该方程组有非零解. mn7. 设 , ,如果向量组12=(,.),2.iiinas215=(,.,),2.iiiia
3、bs2线性无关，则向量组 也线性无关. 12,.s12,s8. n 维向量空间的任意 n+3 个向量必线性相关. 9. 6 元齐次线性方程组 的自由未知量有 2 个. 654321xx10. 是一个数域，其中 Q 是有理数域 .5|,PabQ四填空题（每题 2 分，共 10 分）1设 6 级矩阵 的秩为 ，则 有一个 ，且 的所有 均为 0.AA2请写出一个 6 元排列 ，其反序数是 10.3 (523416789)+987614325）= .4非齐次线性方程组有解的充要条件是 .5当 j= ，k= 时， 为 6 阶行列式中带负号的项.123562345jkaa五. （15 分）解下列线性方程
4、组，用其特解和导出组的基础解系表示出全部解：.123451234561523xx六(10 分) 求向量组 1， 2， 3， 4, 5 的一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用求得的极大无关组线性表出, 其中：1=(1, 3, 0, 5)， 2=(1, 2, 1, 4)， 3=(1, 1, 2, 3)， 4=(1, 3, 6, 2), 5=(1, 4, 1, 3).七证明题（每小题 5 分，共 10 分）：1. 设 都是 矩阵，证明 .,ABsn()()RABR2. 设 ； ，证明向123=(),(1,)2,123=,0(,10)(,1)量组 与 等价 .23,33答案：一计算题1. .
5、 2. 120. 3. 120. 4. 2 n. 5. . 6. 0.15a1(5)nia二叙述题(15 分)三是非题（是打，非打，每小题 2 分，共 20 分）1一个向量线性相关的充要条件是 =0. 2设向量组 线性无关， 线性相关，则 可由向量组12,.s12,s， 1线性表出. ,.s，3任一个排列都可以经过奇数次对换变为奇排列. 4设线性无关的向量组 可由向量组 线性表出，则 rs. 12,.r12,.s5 设向量组 线性无关，则向量组 线性无关. 123,6.设 nm 矩阵 A 是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若 ，则该方程组有非零解. mn7. 设 , ,如果向量组12=(,.),
6、12.iiinas1215=(,.,),2.iiiiabs线性无关，则向量组 也线性无关. 12,.ss8. n 维向量空间的任意 n+3 个向量必线性相关. 9. 6 元齐次线性方程组 的自由未知量有 2 个. 654321xx10. 是一个数域，其中 Q 是有理数域 .5|,PabQ四填空题（每题 2 分，共 10 分）1设 6 级矩阵 的秩为 ，则 有一个 5 阶子式非零 ，且 的所有 6 阶子式 均为 0.AA2请写出一个 6 元排列 543216 ，其反序数是 10.3 (523416789)+987614325）= 36 .4非齐次线性方程组有解的充要条件是 系数矩阵与增广矩阵的秩
7、相等 .5当 j= 6 ，k= 4 时， 为 6 阶行列式中带负号的项.123562345jkaa五. （15 分）解下列线性方程组，用其特解和导出组的基础解系表示出全部解：.12345123456152xx解：411110152323402626106 354 320.120501方程组的特解为 ，导出组的基础解系为：0=(3,)， .1=(,2,)21,0方程组的全部解为 ， 为任意数.02k12k，或 为任意数.21231245xkkx， ，六(10 分) 解：得极大无关组为 . .124,3125124=,3七证明题（10 分）：1. 证明：设 的行向量为(1): ， 的行向量为(2)
8、: ，则 的行向A12,.sB12,.sAB量为(3): ，再设 ，向量组(1)的极大无关组为12,.s(),()RArt，向量组(2)的极大无关组为 ，于是向量组(3) 的每一个向量都可由向量2,.iir 12,.jjt组(4): , 线性表出，所以1,.iir12,.jjt.1212()=(3,.,.)=()iirjjtRABRrtRAB命题得证.2. 设 ； ，证明向123(,)(,)(,)123=(,0)(,10)(,1)量组 与 等价 .23,3证明：只需证明两个向量组可以彼此线性表出.一方面， .1232123123,5另一方面， .1312321232123=(),(),()4446台州学院 2017 学年第 1 学期2017 级 数学与应用数学 专业高等代数 I期中答卷（A）班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分分值 20 15 20 10 15 10 10 100得分一.计算题（20 分）
