1、2013 年 4 月考试高等数学（ II-1）第三次作业 一、计算题（本大题共 40 分，共 5 小题，每小题 8 分） 1. 计算极限 。 2. 求 的导数。 3. 设 ,作出 的图形。讨论当 时 ,的左右极限。 4. 求函数 在区间 上的最大值和最小值 . 5. 求定积分 . 二、综合题（本大题共 30 分，共 3 小题，每小题 10 分） 1. 欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 2. D 是第一象限内曲线 为成的曲边梯形 ,试求 D 绕 y 旋转而成的旋转体体积 . 3. 欲做一个容积为 300 立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围
2、单位造价的两倍。问蓄水池尺寸应怎样设计才能使总造价最低？ 三、证明题（本大题共 30 分，共 2 小题，每小题 15 分） 1. 试证方程 至少有一个小于 1 的实根 2. 设 x 0 , 证明 。 答案： 一、计算题（ 40 分，共 5 题，每小题 8 分） 1. 参考答案： 解题方案： 评分标准： 2. 参考答案： 解：。 解题方案： 用公式直接求 评分标准： 3. 参考答案： 解： （图略） 解题方案： 分别利用左右函数关系式求左右极限 评分标准： 4. 参考答案： 解题方案： 评分标准： 5. 参考答案： 解题方案： 去掉绝对值，再用公式求 评分标准： 二、综合题（ 30 分，共 3 题，每小题 10 分） 1. 参考答案： 解题方案： 评分标准： 2. 参考答案： 解题方案： 用公式 评分标准： 3. 参考答案： 解题方案： 找函数关系，再求极值 评分标准： 三、证明题（ 30 分，共 2 题，每小题 15 分） 1. 参考答案： 解题方案： 利用介质定理 评分标准： 2. 参考答案： 解题方案： 利用函数的单调行进行证明 评分标准：
