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高数（下）分类解析-积分2011级一、4. 假设, 则5. 设为上与之间的弧段，则四、（本题5分）对于任何不自交的光滑闭曲面，设是上的单位外法向量，是所围成的区域，证明：三重积分,的面积证明 设，则由于高斯公式条件满足，从而有的面积五、（本题8分）计算, 其中是一段正弦曲线沿增大方向解: 令, 则，补线段从而另解 原式对于，由于令, 则在原点以外成立，从而该曲线积分与路径无关，可以改变积分路径，取容易积分的曲线为积分路径得，故原式六、（本题8分）计算, 其中是球面在平面之上的部分解 由题意曲面为，则从而七、（本题8分）计算曲面积分,其中为介于与之间的部分得的下侧.解 补平面区域取上侧. 两曲面形成封闭曲面的外侧, 围成由高斯公式 故 原式2010级1. 一3. 假设为圆的右半部分,则二、 （本题8分）计算三重积分,其中是由所围成的闭区域.解 原式五、（本题8分）计算,其中为(1)圆周(按反时针方向)(2)圆周(按反时针方向)解
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