毕业论文：带有隔离的传染病模型的全局分析.doc

1、 天津职业技术师范大学 Tianjin University of Technology and Education 毕 业 论 文 专 业： 数学与应用数学 班级学号： 0901 33 学生姓名： 指导教师： 副教授 二一三年六月天津职业技术师范大学本科生毕业论文 带有隔离的传染病模型的全局分析 Global Analysis of Epidemic Model with Quarantine 专业班级：数学 0901 学生姓名： 指导教师： 副教授 学 院：理学院 2013 年 6 月 摘 要 国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于研究各种各样的传染病模型，由于隔离和接种是

2、行之有效的控制传染病蔓延的极为重要的措施，因此研究带有隔离或接种的传染病模型就十分重要。 本文主要讨论的是带有隔离的 SIQS传染病模型。首先根据易感人群，染病人群和已经染病并且被隔离的人群建立一个关于带隔离传染病的 SIQS模型。接着对所 建立的模型中的偏微分方程组转化成方差方程组，然后求出该系统的平衡点，根据平衡点得到雅可比矩阵。再根据得到的雅可比矩阵依据定理和推论说明平衡点的稳定性。 关键词 ： SIQS 模型 ； 差分方程 ； 平衡点 ABSTRACT First create a band isolated on infectious diseases SIQS model. The

3、n on the established model of partial differential equations into variance equations, then find the balance point of the system, according to the balance point to get the Jacobian matrix. According to Jacobian matrix based on theorems and corollaries illustrate the stability of the equilibrium point

4、. Key Words： SIQS model; Differential equation; Equilibrium pointI 目 录 1 引 言 . 1 2 稳定性理论 . 3 2.1 矩阵的范数 . 3 2.2 全局的稳定性 . 4 2.3 线性系统的稳定性 . 9 2.3.1 非自治线性系统 . 9 2.3.2 自治线性系统 . 10 2.4 相空间分析 . 12 2.5 线性渐近稳定 . 13 3 建立模型 . 18 4 模型求解 . 20 4.1 求平衡 点 . 20 4.2 平衡点的稳定性 . 21 结 论 . 23 参考文献 . 24 致 谢 . 25 天津职业技术师范大学

5、 2013 届本科生毕 业论文 1 1 引 言 在世界迅速的全球化的今天，传染病仍是当今世界范围内引起人类死亡的主要原因，而新传染病（甲型 H1N1 流感， AIDS 病 ， SARS）的出现、旧传染病（性病、结核）的复苏，均构成了对人类健康的巨大威胁。因此，传染病的防制是关系到人类健康和国计民生的重大问题，对疾病流行规律的定量研究是防制工作的重要依据。传染病动力学就是根据疾病发生，发展及环境的变化等情况，建立反映其变化规律的数学模型，通过模型动力学性态的研究来显示疾病的发展过程，预测其流行规律和发展的趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其进行预防和控制的最优策略，为人们防制决策提供理论

6、基础和数量依据。传染病动力学的研究中，模型的建立一直是直观重要的。早在 1760年， D.Bernoulli 就用数学模型研究过天花的传播，但确定性的传染病模型始于二十世纪。 1906 年 Hamer 为理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散模型。 1911 年公共卫生医生 Ross 博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究，得到了疟疾流行与否的临界值， Ross 因此而获得第二次诺贝尔医学奖。 1926 年Kermack 和 McKendrick 为研究 1665-1666 黑死病在伦敦的流行规律以及 1906 年瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的 SIR 仓室模

7、型，提出了疾病流行与否的阀值理论，为传染病动力 学的研究奠定了基础。传染病动力学的模型与研究于 20 世纪中叶开始蓬勃的发展。其标志性的著作是 Bailey 于 1957 年出版、 1975 年第二版的专著，近 20 年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于研究各种各样的传染病模型，由于隔离和接种是行之有效的控制传染病蔓延的极为重要的措施，因此研究带有隔离或接种的传染病模型就十分重要。 生态系统是在一定空间范围内，各生物成分和非生物成分通过能量流动、物质循环、信息传递和价值流向而相互作用、相互依存所形成的一个生态学单位。任何一个生态系统都是结构和功能相互 依存，相互制约的统

8、一体。结构和功能相互适应、完善，使生态系统在一定时间内各组分通过制约、转化、补偿、反馈等机制处于协调稳定状态。在其弹性限度以内的外来干扰下，生态系统通过自我调节，可以恢复到初始的稳定状态或者保持一定的稳态平衡。 生态系统具有稳定性、可测性和可控性三大属性，是个多层次、多因子、多变量的系统。对它的管理和研究，也是多方面的，只用常规的定性描述和一般的数理统计，搞天津职业技术师范大学 2013 届本科生毕 业论文 2 不清它的内在规律。用系统分析的方法对生态系统进行全面的分析，建立数学模型，找出物质生产、能量流转和价值流向的定量规律，对生态系统实行管 理、预测和调控，使其持续稳定发展已成为现代生态学

9、研究的重要课题和前沿领域之一。 依照分离的时间间隔来模拟世界，这是一种有效的方法就像时钟一样，不是连续滑动，而是一秒一秒往前跳动。微分方程描述了随时间而平稳变化的过程，但微分方程难以计算；对于一种状态跳到另一种状态的过程可以采用简单些的方程 差分方程。 假设在种群中无传染病存在时，总群的增长规律就是种群总数与出生率和正常死亡率差的乘积。 在传染病存在于种群中的时候。设总种群（ N）分为易感类（ S）和染病类（ I）。若传染病恢复后不具有免疫力，即染病者恢复后又成为易 感者。这时相应的传染病模型称为 SIS模型。模型一般适用于由细菌引起的传染病。当引入隔离后，总种群（ N）分为由易感个体组成的子

10、种群（ S），由已经染病但未被隔离的个体组成的子种群（ I）和由已经染病并且被隔离的个体组成的子总群（ Q）。 设被隔离者恢复后也不具有免疫力，即恢复后又成为易感者，这时相应的传染病模型被称为 SIQS模型。 天津职业技术师范大学 2013 届本科生毕 业论文 3 2 稳定性理论 2.1 矩阵的范数 我们开始本节引入的概念，向量和矩阵的范数。 定义 2.1。实值函数的向量空间 V 被称为范数，用 表示，如果下面的性质成立： 10x 和 0x 当且仅当 0x 2 xx 对于所有的 xV 和标量 3 x y x y 对于所有的 ,xy V . 最常用的三个范数 k 如图 2-1 所示。 在这里，我

11、们要注意，所有范数 k 在这个意义上是等价的，如果 ， 是任何两个范数，那么存在常数 ,0 ，使得 x x x 因此，如果 nx 是在 k 中的数列，然后 0x 当 n 当且仅当 0x ，当 n 对应每个向量范数 在 k 。 一个可以用 K K 矩阵 A 定义这个范数 为 0maxxAxA x 2 1 1 它可以容易 11m a x m a xxxA A x A x使用这个定义，可以很容易地计算 A 相对上述三种范数如表 2-1 所示。 2 1 1 ，我们可以推断，任何范数 AA 213 其中 m a x :AA 是 的 特 征 值谱半径的特征值 A。 天津职业技术师范大学 2013 届本科生

12、毕 业论文 4 表 2-1 2.2 全局的稳定性 让我们考虑向量差分方程 1,x n f n x n 00x n x 2 2 1 其中 ,:k k kx n f 。我们假设有 ,f nx 在 x 中是连续的。回想一下， 2 2 1 被说成是自主或时间不变的 ，如果变量 n 不显式出现在右边的方程 ,f n x n f x n 。则可以 被说成是周期性的，如果所有正整数 N 有 A 点 *x 对 ,f n x n f x n 被称为在 k 的平衡点 2 2 1 ，如果 ,f n x x 对所有 0nn时。在大多数的文 献中 x 被假定为原点 O，被称为零解。这个假设的理由如下：设 y n x n

13、 x则 2 2 1 成为 1 , ,y n f n y n x x g n y n 222 天津职业技术师范大学 2013 届本科生毕 业论文 5 请注意， 0y 的对应于 xx 。由于在许多情况下，也不是很方便，使这个坐标变换，我们将假设 0x ，除非它是这样做的更方便。回想一下，在以前，我们处理的存在性和唯一线性系统解决方案，这个情况下解的存在性和唯一性。 ,f n x n A n x n ，其中 An 是一个 kk 矩阵。 我们现在准备推出的各种稳定的平衡点 x 2 2 1 的概念。 定义 2.2 平衡点 x 在 2 2 1 被说成是： （一） 稳定性，如果给定的 0 和 0 0n ，存

14、在 0,n ，0xx意味着 00,x n n x x 对所有 0nn 都是均匀稳定的。如果 会独立选择 0n 时，则他不是稳定的。 （二） 渐近性，如果存在 0= n 当0xx意味着 00lim , , =n x n n x x ，一致渐近。如果 0n 是选择 是独立的。一致渐近的条件可能会转述成，存在 0 ，使得每个 和 0n 存在 NN 独立 0n ，当 00,x n n x x 对所有 0n n N，每当0xx。 （三） 渐近稳定性，如果它是稳定和渐近的，且均匀渐近稳定，如果是均匀稳定和均匀渐近。 （四） 指 数 稳 定 性 ， 如 果 存 在 0, 0M ，和 0,1 。 00 0 0, nnx n n x x M x x ，当 0xx, 0xx （五） 解 00,x nnx 是有界的，如果一非负的常数 M， 00,x n n x M为所有 0nn ，其中 M 可能取决于每个解。 如果在部分（ 二 ），（ 三 ） 或部分（四） 时，相应的稳定是被认为是全局性的。在图 2-2 中，我们压制（时间） n 和只显示运动的一个解，为球内的半径。下图所示，未来所有状态 00,x nnx 中， 0nn 时。 会留在 球内。此图被称为相空间画像，并且将在后面的章节中广泛使用。