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2015年深圳高中数学竞赛试题及答案.DOC

1、第 1 页 共 11 页2015年深圳市高中数学竞赛试题及答案一、选择题(本大题共 6 小题,每小 题 6 分,共 36 分每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置 )1 集合 , ,若 ,则 的值为0,4Aa41,B0,1246ABaA B C D 42 一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能是 长方形; 正方形;圆;菱形. 其中正确的是A B C D3设 ,则0.50.32,log4,cos3abA B C Dcababcbca4. 平面上三条直线 ,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数21,0,xyxky的值为kA. B. C.

2、或 D. , 或1 20125 函 数 ( 其 中 ) 的 图 象 如 图 所 ()sin()fxx,|A示 , 为 了 得 到 的 图 像 , 则 只 要 将 的 图 像 co2g()fxA 向 右 平 移 个 单 位 长 度 B 向 右 平 移 个 单 位 长 度612C 向 左 平 移 个 单 位 长 度 D 向 左 平 移 个 单 位 长 度6. 在棱长为 1 的正四面体 中,记 ,则 不同取值的1234A12(,2,34)ijijaAij ija个数为A6 B5 C3 D2二、填空题( 本 大 题 共 6 小 题 ,每 小 题 6 分 ,共 36 分 请 把 答案 填 在 答 题 卡

3、 相 应 题 的 横 线 上 )7已知 , ,若 ,则)1,(ma)2,(b)()(ba= .8如图,执行右图的程序框图,输出的 T= .9. 已知奇函数 在 上单调递减,且 ,()fx,0)(2)0f则不等式 的解集为 110.求值: 250sin370cos11对任意实数 ,函数 都满足等式 ,且 ,则 .yx,)(xf )(2)(2yfxfyxf0)1(f)21(f(第 5 题图)(第 8 题图)3侧视图正视图22(第 2 题图)2第 2 页 共 11 页12.在坐标平面内,对任意非零实数 ,不在抛物线 上但在直线m2132ymxxm上的点的坐标为 .1yx答 题 卡一、选择题(本大题共

4、 6 小题,每小 题 6 分,共 36 分 )题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题( 本 大 题 共 6 小 题 ,每 小 题 6 分 ,共 36 分 )7 8 9 10 11 12 三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出必要的文字 说明、 证明过程或演算步骤.)13.(本小题满分 12 分)为预防 病毒暴发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有1HN效的概率小于 90%,则认为测试没有通过),公司选定 2000 个流感样本分成三组,测试结果如下表:A 组 B 组 C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效 77 90 z已知在全体样本中随机抽取

5、 1 个,抽到 B 组的概率是 0.375.(1)求 的值;x(2)现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个,问应在 C 组中抽取多少个?(3)已知 , ,求该疫苗不能通过测试的概率.465y2z14 (本题满分 12 分)第 3 页 共 11 页已知函数 xxxf 2sin)1(cos2)((1)求 的最小正周期及单调增区间;(2)若 ,求 的值),0(,)(f15 (本题满分 13 分)如图,在直三棱柱 中, , , 分别是1CBA21AB90CBGFE,的中点AC,1(1)求证: 平面 ;/1EFG(2)求证: ;C(3)求三棱锥 的体积.B116 (本题满分 13 分)ACB

6、B1 A1C1FGE第 4 页 共 11 页已知函数 .当 时,记 的最小值为 .txf32)(x),t)(xf)(tq(1)求 的表达式;tq(2)是否存在 ,使得 ?若存在,求出 ;若不存在,请说明理由.0)1(tqt17 (本题满分 14 分)第 5 页 共 11 页已知圆 和直线 ,点 在圆 上,过直线 上一点2:810Mxy:90lxyCMl作 .AC(1)当点 的横坐标为 且 时,求直线 的方程;445ACA(2)求存在点 使得 成立的点 的横坐标的取值范围.18 (本题满分 14 分)在区间 D上,若函数 为增函数,而函数 为减函数,则称函数 为区间)(xgy)(1xgy)(xg

7、y上的“弱增”函数已知函数 f(1)判断函数 ()fx在区间 (0,1上是否为“弱增”函数,并说明理由;(2)设 122,,证明 2121()fxfx;(3)当 0,x时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围aa2014年深圳市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题:C B A D D C 二、填空题:7. 8 9. 2 ),2()1,0,(10. 11 12. 43013,3,42三、解答题:13. (本题满分 12 分)解:(1)因为在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组的概率 0.375, 所以 , 2 分375.029x第 6 页 共 11 页即 . 3 分60x(2)C 组样本个数为

8、yz2000(6737766090)500, 4分现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个,则应在 C 组中抽取个数为个. 7 分3509(3)设事件“疫苗不能通过测试”为事件 M.由(2)知 ,且 ,所以 C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有:yz,yzN(465,35) 、 (466,34) 、 (467,33) 、(475,25)共 11 个. 9 分由于疫苗有效的概率小于 90%时认为测试没有通过,所以疫苗不能通过测试时,必须有, 109.02673y分即 ,18解得 ,467y所以事件 M 包含的基本事件有:(465,35) 、 (466,34)共 2 个. 11

9、分所以 , 12)(P故该疫苗不能通过测试的概率为 . 12 分2114. (本小题满分 12 分)解: 1xxxf 2sin)62cos(1)(分 x2sin6iss2 分x2in1co231. 4 分)sin(x(1) 的最小正周期为 ; 5)f 2T分又由 , 6 分,32kx得 , 7 分)(12,5Zk第 7 页 共 11 页从而 的单调增区间为 8)(xf )(12,5Zkk分(2)由 得 , 91)32sin()f 0)3sin(分所以 , 10 分k6)(Zk又因为 ,所以 或 12),0(35分15. (本题满分 13 分)解:(1)因为 分别是 的中点,所以 ;1 分EG、

10、 ACB、 BCGE/又 ,所以 ; 2 分CB/1/1又 平面 , 平面 ,FF所以 平面 3 分/1E(2)直三棱柱 中,因为 ,1CBA90AB所以 平面 ; 4 分又 ,所以 平面 ,即 ; 5 分GE/E11CGE又因为 ,所以四边形 是正方形,即 ; 6 分21ACA1A又 分别是 的中点,所以 ,从而有 , 7 分F,F1/F由 ,所以 平面 ,即 8 分EG1EG1C(3)因为 平面 ,所以 10/1CB 111 EFGFCFBVV分由于 平面 ,所以 ,且 11 分A1SEFEFG11312B又由于 ,12 分341111 CAACEFCS正 方 形所以 ,即 132311

11、VEFG 1EFGBV分16. (本题满分 13 分)ACBB1 A1C1 FGE第 8 页 共 11 页解:(1) txf32)( 1 分11当 时, 在 时为增函数,所以t)(xf),t在 时的最小值为 ;3 分)(f,t tftq)(当 时, ; 5 分1t 13)1(2tfq综上所述, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 62()tt分(2)由(1)知,当 时, , 0t 13)(2ttq所以当 时, 7 分t12tt由 得: , 8 分)1(tq2t即 , 9 分034t整理得 , 11 分)1)(2t解得: 或 . 12t5t分又因为 ,所以 .即存在 ,使得 成立. 130t

12、1t1t )1(tq分17. (本题满分 14 分)解:(1)圆 的方程可化为: ,所以圆心 (2,2) ,半径 = . 1M2217()()xyMr342分由于点 的横坐标为 ,所以点 的坐标为(4,5) ,即 . 2 分AA13A若直线 的斜率不存在,很显然直线 与 夹角不是 ,不合题意,故直线 的斜CC45 AC率一定存在,可设 直线的斜率为 ,则 的直线方程为 ,即k(4)ykx. 3 分540kxyk由于 所以 到直线MAC)(xfx1O第 9 页 共 11 页的距离为 ,此时 ,即这样的点 存在. AC26|AMdrdC4 分由 ,得 ,解得 . 52541k231k15 k或分所

13、以所求直线 的方程为 或 . 6AC05yx02yx分(2)当 时,过点 的圆 的两条切线成直角,从而存在圆上的点 (切点)使得rM2|MC. 7 分45A设点 的坐标为 ,则有),(yx, 8 分0917234)2(2yx解得 或 . 963y分记点 为 ,点 为 ,显然当点 在),(P),(QA线段 上时,过 的圆的两条切线成钝角,从QA而必存在圆上的一点 使得 ;11 分C45M当点 在线段 的延长线或反向延长线上时,过P的圆的两条切线成锐角,从而必不存在圆上的A点 使得 , 13 分45所以满足条件的点 为线段 上的点,即满足条件的点 的横坐标取值范围是 .14AQA3,6分18 (本

14、题满分 14 分)解:(1)由 1()fxx可以看出,在区间 (0,1上, ()fx为增函数. 1分yOMAxl第 10 页 共 11 页又 1111()(1)xxfxx x ,3 分显然 在区间 (0,上为减函数,f()x在区间 ,1为“弱增 ”函数. 4分(2) 12212121212 1() ()xxfxfx x.6 分121,0,, , ,即x221x211()x, 8 分()ff2. 9 分(3)当 0x时,不等式 显然成立. 10 分xa1“当 ,1时,不等式 恒成立”等价于“ 当 0,1x时,不等式即 恒成立” . 11 分)(xa)(1xfa也就等价于:“ 当 0,时, 成立” . 12min)(f分由(1)知 1()fx在区间 (0,1上为减函数, 所以有 . 1321)()(1minfxf分,即 时,不等式 对 0,1x恒成立. 1421a21aax1分

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