平面向量常考点例析.DOC

1、1平面向量常考点例析景宁中学 吴松敏平面向量是高中数学中代数与几何之间的一座桥梁，原因在于平面向量具有线性运算和坐标运算。平面向量试题，在全国各地高考题中也呈现出五彩缤纷的景象，一些考题考查的将向量的几何性和代数性都考查的非常深刻，但把这些问题进行归纳为以下六个方面，现以例题赏析的形式供读者理解与体会。1.向量的坐标运算（平行与垂直问题）已知向量 ， ，若 ，则 ；若 ，则1(,)axy2(,)bxyabA1210xyab120xy【典型例题 1】 （2016 秋 贵阳期末）已知向量 ， ， （ ， ） （ ， ） 1c（ ， ）（） 为何值时， 垂直？ab与（）若 ，求 的值mncA（ ）【

2、解答】解：（）向量 ， ， 10（ ， ） b（ ， ） 1c（ ， ） ，(1,)ab 垂直， ,与 (a)解得 ， 时， + 与 垂直1（） 0manbnmn（ ） =（ ， ） （ ， ） （ ， ）又 ，cA（ ） ， 1（ ） (-） 2若 ，则 anbc（ ） m【点评】抓住坐标运算不出错，再用平行与垂直的坐标公式，关键是向量的平行与垂直公式不混淆，属于基础题。【跟踪练习 1】 （2017 春 遵义县校级期末）已知平面内三向量 ， ，21a（ ， ） 3b（ ， ）2.2c（ ， ）（1）求满足 的实数 ；ambncn，（2）若 ，求实数 的值；()|(kk（3）若 ， 求实数 的

3、值)c【解答】解：（1） ，(13)(232(1)mbncnmn， ， ， )， ，解得 231n7,24（2） ， 2akckk（ ， ） （ ， ） （ ， ） (3,5)bc ， ，解得 ()|(b5()0 -3(12k（3） ，由（2）可得： kc40 （ ） （ ） 18k2. 利用坐标运算解决向量的线性运算问题有关于坐标运算的法则如下：(1) 设 = , = ，则 + = ；(2)设 = , =a1()xyb2(,)xyab12(,)xya1()xyb，则 - = ；(3)设 A ，B ,则2(,)122(x；(4)设 = ，则 = ；(5)设 =21(,)ABOxy(,)xyR(

4、,)xya, = ，则 = .1()xyb,)ab21(x【典型例题 2】如图，在 中， ，且 ，点 满足ABC903ACBMBMA（1）用 、 向量 表 示向量 ；CM（2）求 |3【解答】解：如图建立平面直角坐标系由题意知： ，（1 分）30AB（ ， ） ， （ ， ）设 ，由 得： ，Mxy（ ， ） 3)2xyx(， ， - ， ， （4 分）2(3)21yM（ ， ）（1）设 ，可求出 ，12CAB12,3 （8 分）3M（2） ， （12 分）(,)2|5C【点评】建立坐标系，用向量的代数性，减少了思维含量，增加了代数运算，涉及到平面向量的基本定理。【跟踪练习 2】 （2018宁

5、城县模拟）如图，在矩形 中， ，BC=2，点ABCD2为 的中点，点 在边 上，若 ，则 的值是（ ）EBCFCD2FEFA B1 C D22【解答】解：据题意，分别以 所在直线为 轴，A、 xy，建立如图所示平面直角坐标系，则：设 ；(0)2)(1)ABE， ， ， ， ， 2Fx（ ， ） ,0F4 ；1x ， ， ；2F（ ， ） (2,1)AE(2,)BF B故选：C3. 向量的数量积问题（1） 与 的数量积(或内积)： =| | | ；ababcos（2）投影：| | 是向量 在向量 方向上的投影；cos（3）两向量的夹角公式：( = , = ).122cos|xyaba1)xyb2

6、(,)xy【典型例题 3】如图，边长为 的正方形 的顶点 分别在 轴、 轴正半轴上1ABCD,xy移动，则 的最大值是（ ）OCB2.A21.B.C.D5【解答】解：如图令 ，由于 故OAD1,sin,coODA如图 故,1,2BAx ,cos)2(s)2cos( BB yx故 )cos,in(csOB同理可求得 ，即 ，iC)sinc,(siOC ，(cs,cs) )o,(in21的最大值是 ，2in1OB2故选： A【点评】数量积问题要注意投影概念的使用，利用几何性质会使问题简单很多。【跟踪练习 3】6 （2017 秋 杨浦区校级月考）已知在 中， 是边 上的一个ABC0PAB定点，满足

7、，且对于边 上任意一点 ，恒有 ，则（ ABP410ABP0）2.BA2.C. BCAD.【解答】解：设| |=4，则| |=1，过点 作 的垂线，垂足为 ，ABH在 上任取一点 ，设 ，如图所示；PaH0则由数量积的几何意义可得，,BBCP)1(2 aCP0于是 恒成立，0P整理得 恒成立，0)1(2a只需 即可，于是 ，)(42a 1a因此我们得到 ，即 是 的中点，HBAB 是等腰三角形，即 ACC故选： D64.向量的模模长公式： 或2|a|a【典型例题 4】 （2017 春 辽宁期末）已知向量 ，满足| | ，| |=2，若 ，则 的最小值是（ ）30)3()2(bccA B C D

8、212【 解答】解：根据条件，设 ,设 ，则：)03(),(ba),(yxc3,2()3()( yxyxbca 2xy 的终点在以 为圆心， 为半径的圆上，),(| |的最小值为： .32)03()2(2故选：A【点评】向量模的问题在于公式的运用，很多同学用 ，但最终会忘了开2|a根号，建议一开始就是用 。|a【跟踪练习 4】若非零向量 与向量 的夹角为钝角，| | ，且当 时，221t取最小值 向量 满足 ，则当 取最大值时，| |atb )()(acb等于（ ）A B2 C2 D【解答】解： 22batatb7222)()(ababt当 时， 取最小值 1tt3 ,)(4,22abab解得

9、 , ,cosb = ， = 不妨设 , , )31(a)02(b),(yxc向量 满足 ，ca )3,1(),()( yxb312yx，0)()(2 （*）3)()21(2yxyxbac,令 yxt3当上述直线与（*）相切时， = ，解得，32t取 时， 取最大值此时联立 ，8解得 ， = | |= = 故选：A5.向量的极化恒等式问题(1)向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 .即： （平行四边形模式）41214abACDB(2) （三角形模式）22abAMBC这个公式将向量的加法、减法和数量积融合在一个式子中，备受命题老师的青睐，浙江省考

10、卷从 2008 年开始多年考卷考查到这个知识点。【典型例题 5】如图，线段 长度为 ，点 分别在 非负半轴和 轴非负半AB2BA,xy轴上滑动，以线段 为一边，在第一象限内作矩形 ， ， 为坐标原点，CD1O则 的取值范围是_ODC解： ， ，BCODABA()()2OA=()1BC而设 的中点为 ，则 ，M()2OABM所以 ()2|cos,ACOB = ，而231cos,C,0,2所以 .7,ODAB CMxyO DCAB9【点评】极化恒等式在平行四边形和三角形中的几何意义是关键，寻找中点是突破口。【跟踪练习 5】在 中， 是 的中点， ，则 _-ABCM3,10ABCAC16_解： 2(

11、)()()()MB162596.向量与三角函数结合问题向量与三角内容的结合会从以三角形为载体的三 角 函数问题（几何性质角度）或数量积的形式得出关于角的一个函数问题（代数性质角度） 。【典型例题 6】 已知向量 ，(cos,in)a， ， (cos2,in)b(1,0)c(,1)d（1）求证： ； （2）设 ，当 时，求 的值域)(f【解答】解：（1） ， cos2sincosba cosa ，0)( ccba （2） sind sinco)() dabaf )4(2sinco2 ， ),0(3,)4( 2,cos )1,(4(2 ),f10【点评】本题考查了数量积运算、向量垂直与数量积的关系、两角和的余弦公式、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，把向量的代数性考查的很充分。【跟踪练习 6】函数 ， （ ）的图象如图所示，)sin(2)(xf 2,0（ ）BDAA B C D88282【解答】解：由图可知 ，2,4134TT又 ，32从而 ， ， ，)0,6(A)2,1(B)2,7(D， ，44 82故选：C