1、 题型练 7 大题专项 (五 ) 解析几何综合问题 1.已知椭圆 C:x2+3y2=3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线与椭圆 C交于 A,B两点 ,直线 AE与直线 x=3 交于点 M. (1)求椭圆 C的离心率 ; (2)若 AB 垂直于 x 轴 ,求直线 BM的斜率 ; (3)试判断直线 BM与直线 DE的位置关系 ,并说明理由 . 2.已知椭圆 C:=1 过 A(2,0),B(0,1)两点 . (1)求椭圆 C的方程及离心率 ; (2)设 P为第三象限内一点且在椭圆 C 上 ,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x轴交于点 N.求证 :四边形 ABNM的面积
2、为定值 . 3.(2017全国 ,文 20)设 A,B 为曲线 C:y=上两点 ,A 与 B 的横坐标之和为 4. (1)求直线 AB 的斜率 ; (2)设 M 为曲线 C上一点 ,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行 ,且 AM BM,求直线 AB 的方程 . 4.已知抛物线 C:y2=2px(p0),过焦点且斜率为 1 的直线 m 交抛物线 C于 A,B两点 ,以线段 AB为直径的圆在 y轴上截得的弦长为 2. (1)求抛物线 C 的方程 . (2)过点 P(0,2)的直线 l 交抛物线 C于 F,G 两点 ,交 x轴于点 D,设 =1=2,试问 1+2是否为定值 ?若是 ,求出该定值
3、;若不是 ,请说明理由 . 5.已知椭圆 C:=1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形 ,直线x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心 ,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)设 P为椭圆 C上一点 ,若过点 M(2,0)的直线 l与椭圆 C相交于不同的两点 S和 T,满足 =t(O为坐标原点 ),求实数 t 的取值范围 . 6.已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2:=1(ab0)的一个焦点 ,C1与 C2的公共弦的长为 2. (1)求 C2的方程 ; (2)过点 F 的直线 l与 C1相交于 A,B两点 ,与 C2
4、相交于 C,D 两点 ,且同向 . 若 |AC|=|BD|,求直线 l 的斜率 ; 设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明 :直线 l 绕点 F旋转时 ,MFD 总是钝角三角形 . # 题型练 7 大题专项 (五 ) 解析几何综合问题 1.解 (1)椭圆 C的标准方程为 +y2=1. 所以 a=,b=1,c=. 所以椭圆 C的离心率 e=. (2)因为 AB过点 D(1,0)且垂直于 x轴 , 所以可设 A(1,y1),B(1,-y1). 直线 AE的方程为 y-1=(1-y1)(x-2). 令 x=3,得 M(3,2-y1). 所以直线 BM的斜率 kBM=1. (3)直线
5、BM与直线 DE平行 .证明如下 : 当直线 AB的斜率不存在时 ,由 (2)可知 kBM=1. 又因为直线 DE的斜率 kDE=1, 所以 BM DE. 当直线 AB的斜率存在时 ,设其方程为 y=k(x-1)(k1). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 AE的方程为 y-1=(x-2). 令 x=3,得点 M. 由得 (1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0. 所以 x1+x2=,x1x2=, 直线 BM的斜率 kBM=. 因为 kBM-1= = =0. 所以 kBM=1=kDE,所以 BM DE. 综上可知 ,直线 BM与直线 DE平行 . 2.解 (1)由题意 ,得
6、a=2,b=1,所以椭圆 C的方程为 +y2=1.又 c=,所以离心率 e=. (2)设 P(x0,y0)(x00, 即 m-1时 ,x1,2=2 2. 从而 |AB|=|x1-x2|=4. 由题设知 |AB|=2|MN|,即 4=2(m+1), 解得 m=7. 所以直线 AB的方程为 y=x+7. 4.解 (1)由已知 :直线 m的方程为 y=x-,代入 y2=2px,得 x2-3px+=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段 AB的中点为 , 由已知 ()2+=(2p)2, 解得 p=2或 p=-2(舍去 ), 所以抛物线 C的方程为 y2=4x. (2)设直线 l:y=kx+2(k0),则 D, 联立得 k2x2+4(k-1)x+4=0. 由 0得 k0, k20, 因此 AFM是锐角 ,从而 MFD=180 - AFM是钝角 . 故直线 l绕点 F旋转时 , MFD总是钝角三角形 .
