1、1浅谈韦达定理的应用齐贤学校 匡双霞【趣题引路】韦达，1540 年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父” 。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个 45 次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的 22 个正数解（他舍弃了另外的 22 个负数解） 。消息传开，数
2、学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你了解韦达定理吗?韦达定理：实系数一元二次方程 存在实数解 ，）（ 0acbxa221x，那么 。这是在初中时韦达定理的定义，但对于高中时应acxb-x2121，用就更为广阔，由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积，两端比较系数即得韦达定理，所以韦达定理在复数范围内同样适用。而对于高次方程，韦达定理更有妙用。这里我们只谈谈在初高中时韦达定理的应用
3、 。在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用：1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。4. 一元二次方程的验根。5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。6. 与判别式的综合应用。【中考真题欣赏】例 1 (2001 年河南省)已知关于 x 的方程 4x2+4bx+7b=0 有两个相等的实数根,y 1,y2是关于 y 的方程 y2+(2-b)y+4=0 的两个根,求以 ， 为根的一元1y2二次方程.解析 关于 x 的方程 4x2+4bx+7b=0 有
4、两个相等的实数根, = (4b) 2 -447b=0,即 b2-7b=0.b 1=0, b2=7.当 b=0 时,关于 y 的方程化为 y2+2y+4=0,因=4-16=-120,x20,则即0212()0,.4m2 或 mbc,2b= a + c, b 为正整数,若 a2+b2+c2=84,求 b 的值.解析 依题设,有a+c=2b, a2+b2+c2=84. 可变为(a+c) -2ac=84-b2, 代入,得 ac= , 584ba、c 是关于 x 的一元二次方程 x2-2bx+ =0 的两个不相等的正实2584b数根.2258440,.b即 16b228.又 b 为正整数,故 b=5.点
5、评：韦达定理的逆定理是:如果 x1,x2满足 x1+x2=- ，x 1x2= ,那么 x1x2是bac一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,此解的独特之处在于利用 a+c=2b,将a2+b2+c2=84转变为 ac= ,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.2584b再看看你能解下面的题吗？1、已知方程 5x2+kx6=0 的一个根是 2，求另一根及 k 值。2、已知 x1、x 2是方程 3x2+px+q=0 的两个根，分别根据下列条件求出 p、q 的值。（1）x 1=1，x 2=2；（2）x 1=3，x 2=6；（3）x 1= ，x 2= ；（4）75x1=2+ ，x 2=2 。333、
6、设 x1、x 2是方程 2x2+4x3=0 的两个根，求（x 1+1） （x 2+1）的值。4、设 x1、x 2是方程 2x26x+3=0 的两个根， ，利用根与系数的关系，求下列各式的值。 （1）x 12x2+x1x22；（2） （x 1+ ） （x 2+ ） ；（3） ；（4）21 21x+ ；（5）12 12而在高中数学中，更是把韦达定理的应用扩充到复数的领域，其中在高二第二学期课本 13.6 实系数一元二次方程中有这样一道题：例、已知方程 的两根为 、 ，若 ，求20()xpR1x212x实数 p 的值.分析：要求实数 p 的值，即要利用已知条件 ，从而应考虑 、 为1212实根还是虚
7、根，因此，应对 和 讨论.解：方法一（书上解法）：（1）当 时 ，或， 即 -p204-2， 4xp-x21 ，-p-4- 2221 由 。或， 得 5-pp（2）当 时 ， 即 2p04-2， i-xi-x21 。22221 p-4i-ip-4ip-4- 由 3.-或， 得综上所述， 。p5或现在我们采用韦达定理来解答这道题看看：因为 ，22221111()()44xxxp6所以 或 .3p5这样简单方便，并且可以避免对 与 的讨论.同时把 1 可以拓展到正0实数 m。练习一下：1、若 ；3x2的 两 个 根 ， 求是 一 元 二 次 方 程，2、已知关于 x 的方程 的两个根为 ，且 ，）
8、（ Rm04、 2-求 m 的值。当然韦达定理在解析几何以及高次方程中有着重大作用，比如求弦长问题，函数图像问题等等，这里就不再具体谈了。总而言之，韦达定理常用的几个公式：x12+x22=-（x 1+x2） 22x 1x2， （x 1x 2） 2=（x 1+x2） 24x 1x2， x13+x23=-（x 1+x2） 33x 1x2（x 1+x2） ， ，14 2121，212121 xxx，21222 x（x 1+k） （x 2+k）=x 1x2+（x 1+x2）+k 2， 2121x在方程论中有着广泛的应用，并且 在2121 4xx求弦长经常用到。所以我们常常讲到要了解，懂得，掌握，然后能灵活运用所学知识， 这样才能真正的学好数学。2009 年 5 月
