山东高考理科试题附参考答案.doc

1、 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 (山东 卷 ) 理 科数学 注： 解析 仅代表个人观点 ，错误 在所 难免，谨此就教于各位。 本试卷分第卷和第卷两部分 ,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回 . 注意事项： 1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上 .，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案标号，答案不能答在试卷上。 3. 第卷

2、必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答 ;不能写在试题卷上 ; 如需改动，先画掉原来的答案 ,然后再写上新的答案 ;不能使用涂改液、胶带纸 ,修正带 ,不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案 ,解答题应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 .。 参考公式： 柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积， h 是锥体的高。 锥体的体积公式 V=13Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。 如果事件 A,B 互斥 ,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果 事件 A,B 独立 ,那么 P(AB)=P(A)P(B). 事件 A 在一次试验

3、中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 : ( ) (1 ) ( 0 , 1 , 2 , , )k k n knnP k C p p k n . 第卷 (共 60 分 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合 0,2,Aa , 21,Ba ,若 0 ,1, 2 , 4 ,16AB ,则 a 的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【 解析 】 : 0,2,Aa , 21,Ba , 0 ,1, 2 , 4 ,16AB 2 164aa 4a ,故选 D. 答案

4、 :D 【命题立意】 :本题考查了集合的并集运算 ,并用观察法得到相对应的元素 ,从而求得答案 ,本题属于容易题 . 3.将函数 sin2yx 的图 象向左平移 4 个单位 , 再向上平移 1 个单位 ,所得图象的函数解析式是 ( ). A. cos2yx B. 22cosyx C. )42sin(1 xy D. 22sinyx 3. 【 解析 】 :将函数 sin2yx 的图象向左平移 4 个单位 ,得到函数 sin 2( )4yx即s in ( 2 ) c o s 22y x x 的图象 ,再向上平移 1 个单位 ,所得图象的函数解析式为21 c o s 2 2 s iny x x ,故选

5、 D. 答案 :D 【命题立意】 :本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能 ,学会公式的变形 . 4. 一空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( ). A.2 2 3 B. 4 2 3 C. 232 3 D. 234 3 【 解析 】 :该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 , 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2 ,四棱锥的底面 边长为 2 ，高为 3 ，所以体积为 21 2 32333 所以该几何体的体积为 232 3 . 2 2 侧 (左 )视图 2 2 2 正 (主 )视图 答案 :C 【命题立意】 :本题考查了立体

6、几何中的空间想象能力 , 由三视图能够想象得到空间的立体图 ,并能准确地 计算出 .几何体的体积 . 5. 已知，表示两个不同的平面， m 为平面内的 一条直线，则“ ”是“ m ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【 解析 】 :由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面内的 一条直线 ,m ,则 ,反过来则不一定 .所以“ ”是“ m ”的必要不充分条件 . 答案 :B. 【命题立意】 :本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条 件的概念 . 俯视图 7.设 P 是 ABC 所在平面内的一点， 2BC BA BP ，则（

7、 ） A. 0PA PB B. 0PC PA C. 0PB PC D. 0PA PB PC 【 解析 】 :因为 2BC BA BP ，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应该选 C。 答案： C。 【命题立意】 :本题考查了向量的加法运 算和平行四边形法则， 可以借助图形解答。 .某工厂对一批产品进行了抽样检测 .有图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是 96， 106，样本数据分组为 96， 98）， 98， 100), 100， 102)， 102， 104),104， 106,已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本

8、中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是 ( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 【 解析 】 :产品净重小于 100 克的概率为 (0.050+0.100) 2=0.300, 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为 n , 则 300.036n ,所以 120n ,净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的概率为 (0.100+0.150+0.125) 2=0.75,所以 样本 中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120 0.75=90.故选 A. 答案 :A 【命题立意】 :本题考查了统计与概率的

9、知识 ,读懂频率分布直方图 ,会计算概率以及样本中有关的数据 . 9. 设双曲线 12222 byax 的 一条渐近线与抛物线 y=x2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 45 B. 5 C. 25 D. 5 96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率 /组距 第 8 题图 A B C P 第 7 题图 10. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1( 0),1(lo g 2 xxfxf xx ，则 f（ 2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【 解析

10、】 :由已知得 2( 1) log 2 1f , (0) 0f , (1) (0 ) ( 1) 1f f f , ( 2 ) (1) (0 ) 1f f f , ( 3 ) ( 2 ) (1 ) 1 ( 1 ) 0f f f , ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) 0 ( 1 ) 1f f f , (5 ) ( 4 ) (3) 1f f f , (6 ) (5 ) ( 4 ) 0f f f , 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现 .,所以 f（ 2009） = f（ 5） =1,故选 C. 答案 :C. 【命题立意】 :本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算 . 11.在区间

11、 -1， 1上随机取一个数 x， cos 2x 的值介于 0 到 21 之间的概率为 ( ). A.31 B.2 C.21 D.32 【 解析 】 :在区间 -1， 1上随机取一个数 x,即 1,1x 时 , 222x , 0 cos 12x 区间长度为 1, 而 cos 2x 的值介于 0 到 21 之间的 区间长度为 21 ,所以概率为 21 .故选 C 答案 :C 【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 ,由自变量 x 的取值范围 ,得到函数值 cos 2x 的范围 ,再由长度型几何概型求得 . 12. 设 x， y 满足约束条件0,002063yxyxyx ， 若目标函

12、数 z=ax+by（ a0， b0）的是最大值为 12， 则 23ab 的最小值为 ( ). A. 625 B.38 C. 311 D. 4 【 解析 】 :不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ,当直线 ax+by= z（ a0， b0） 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（ 4,6）时 , 目标函数 z=ax+by（ a0， b0）取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 23ab = 2 3 2 3 1 3 1 3 2 5( ) ( ) 26 6 6 6a b b aa b a b ,故选 A. 答案 :A 【命题立意】 :本题综合地考查了线

13、性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 .要求能准确地画出不等式表示的平面区域 ,并且能够求得目标函数的最值 ,对于形如已知 2a+3b=6,求23ab 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 . 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 【命题立意】 :本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法 ,需要根据绝对值的定义分段去x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 掉绝对值号 ,最后把各种情况综合得出答案 .本题涉及到分类讨论的数学思想 . 14.若函数 f(x)=ax -x-a(a0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范

14、围是 . 【 解析 】 : 设函数 ( 0,xy a a且 1a 和函数 y x a ,则函数 f(x)=ax -x-a(a0 且 a 1)有两个零点 , 就是函数 ( 0,xy a a且 1a 与函数 y x a 有两个交点 ,由图象可知当10 a 时两函数只有一个交点 ,不符合 ,当 1a 时 ,因为函数 ( 1)xy a a的图象过点(0,1),而直线 y x a 所过的点一定在点 (0,1)的上方 ,所以一定有两个交点 .所以实数 a 的取值范围是 1a 答案 : 1a 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 ,隐含着对指数函数的性质的考查 ,根据其底数的不同取值范围

15、而分别画出函数的图象解答 . 15.执行右边的程序 框图，输入的 T= . 【 解析 】 :按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30S,输出 T=30 答案 :30 【命题立意】 :本题主要考查了循环结构的程序框图 ,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束 ,本题中涉及到三个变量 , 注意每个变量的运行结果和执行情况 . 16.已知定义在 R 上的奇函数 )(xf ，满足 ( 4) ( )f x f x ,且在区间 0,2上是增函数

16、 ,若方程 f(x)=m(m0) 在区间 8, 上 有 四 个 不 同 的 根 1 2 3 4, , ,x x x x , 则1 2 3 4 _ .x x x x 【 解析 】 :因为定义在 R 上的奇函数，满足 ( 4) ( )f x f x ,所以 ( 4) ( )f x f x ,所以 , 由 )(xf 为奇函数 ,所以函数图象关于直线 2x 对称且 (0) 0f ,由 ( 4) ( )f x f x 知( 8) ( )f x f x ,所以函数是以 8 为周期的周期函数 ,又因为 )(xf 在区间 0,2上是增函数 ,所以 )(xf 在区间 -2,0上也是增函数 .如图所示 ,那么方程

17、 f(x)=m(m0)在区间 8,8 上有四个不同的根 1 2 3 4, , ,x x x x ,不妨设 1 2 3 4x x x x 由对称性知 1212xx 344xx所以开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束 是 否 1 2 3 4 1 2 4 8x x x x 答案 :-8 【命题立意】 :本题综合考查了函数的奇偶性 ,单调性 , 对称性 ,周期性 ,以及由函数图象解答方程问题 , 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 . 三、解答题：本大题共 6 分，共 74 分。 17.(本小题满分 12 分 )设函数 f(x)=cos(2x

18、+3 )+sin2 x. (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期 . (2) 设 A,B,C 为 ABC 的三个内角，若 cosB=31 ， f( 3C )= 41 ，且 C 为锐角，求 sinA. 解 : （ 1） f(x)=cos(2x+3 )+sin2 x.= 1 c o s 2 1 3c o s 2 c o s s in 2 s in s in 23 3 2 2 2xx x x 所以 函数 f(x)的最大值为 132 ,最小正周期 . （ 2） f( 3C )= 1 3 2sin2 2 3C = 41 ,所以 23sin 32C ,因为 C 为锐角 ,所以 233C ,所以2C

19、,所以 sinA =cosB=31 . 【命题立意】 :本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系 . （ 18）（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB/CD， AB=4, BC=CD=2, AA1 =2, E、 E1 、 F 分别是棱 AD、 AA1 、 AB 的中点。 （ 1） 证明：直线 EE1 /平面 FCC1 ； （ 2） 求二面角 B-FC1 -C 的余弦值。 解法一：（ 1）在直四棱柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 中，取 A1B1的中点 F1， 连

20、接 A1D， C1F1， CF1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD， 所以 CD=/A1F1， A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D， -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 又因为 E、 E1 分别是棱 AD、 AA1 的中点，所以 EE1/A1D， 所以 CF1/EE1，又因为 1EE 平面 FCC1 ， 1CF 平面 FCC1 ， 所以直线 EE1 /平面 FCC1 . （ 2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、 F 是棱 AB 的中点 ,所以 BF=BC=CF, BCF 为

21、正三角形 ,取 CF的中点 O,则 OB CF,又因为直四棱柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 中 ,CC1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F,垂足为 P,连接 BP,则 OPB 为二面角 B-FC1 -C 的一个平面角 , 在 BCF 为正三角形中 , 3OB ,在 Rt CC1F 中 , OPFCC1F,11OP OFCC CF 22122 222OP , 在 Rt OPF 中 , 22 1 1 4322B P O P O B ,272c os7142OPO P BBP ,所以二面角 B-FC1 -C 的余弦值为 77

22、 . 解法二 :（ 1）因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点 , 所以 BF=BC=CF, BCF 为正三角形 , 因为 ABCD 为 等腰梯形 ,所以 BAC= ABC=60 ,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM AB,所以 DM CD, 以 DM 为 x 轴 ,DC 为 y 轴 ,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系 , ,则 D（ 0,0,0） ,A（ 3 ,-1,0） ,F（ 3 ,1,0） ,C（ 0,2,0） , C1 （ 0,2,2 ） ,E （ 32 , 12 ,0 ） ,E1 （ 3 ,-1,1 ） , 所以1 31( , ,1)22EE ,

23、( 3, 1,0)CF , 1 (0,0,2)CC 1 ( 3,1, 2)FC 设平面 CC1F 的法向量为 ( , , )n xyz 则100n CFn CC 所以 300xyz 取 (1, 3,0)n , 则EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 OPEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 1 311 3 1 0 022n E E ,所以 1n EE ,所以直线 EE1 /平面 FCC1 . （ 2） (0,2,0)FB , 设平面 BFC1 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z , 则 11100n FBn FC 所以11

24、1 103 2 0yx y z ,取 1 (2,0, 3)n ,则 1 2 1 3 0 0 3 2nn , 2| | 1 ( 3 ) 2n , 221| | 2 0 ( 3 ) 7n , 所以 11 1 27c os , 7| | | 2 7nnnn nn ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角 ,所以二面角B-FC1 -C 的余弦值为 77 . 【命题立意】 :本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算 .考查空间想象能力和推理运算能力 ,以及应用向量知识解答问题的能力 . (19)(本小题满分 12 分 ) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；

25、在 A 处每投进一球得3 分， 在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25，在 B 处的命中率为 q2 ，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （ 1） 求 q2 的值； （ 2） 求随机变量 的数学期望 E ; （ 3） 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。 解 :（ 1）设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立 ,且P(A)=0.25, ( ) 0.75PA , P(B)= q2 , 2( ) 1P B q . 根据分布列知 : =0 时 22( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 7 5 ( 1 )P A B B P A P B P B q =0.03,所以 21 0.2q ，