江苏省苏州市张家港市高级中学高一期中数学试卷.doc

1、 2015-2016 学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一（上）期中数学试卷 一、填空题（每小题 5分， 14 题，共 70 分，请将正确答案填写在答题卷相应的横线上） 1设全集 A=0， 1， 2， B= 1， 0， 1，则 A B= 2已知 f（ 2x） =6x 1，则 f（ x） = 3已知幂函数 y=f（ x）的图象经过点（ 2， 16），则函数 f（ x）的解析式是 4已知函数 f（ x） = ，则 ff（ ） 的值是 5函数 y= 的定义域是 6设 a=log0.60.9， b=ln0.9， c=20.9，则 a、 b、 c 由小到大的顺序是 7函数 f（ x） = 的递减区间是

2、8已知 lg2=a， lg3=b，用 a， b 表示 log65= 9函数 的值域为 10已知 f（ x）是定义在集合 x|x0上的偶函数， x 0 时 f（ x） =x+ ，则 x 0 时 f（ x）= 11设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P Q=x|xP，且 xQ，如果 P=x|log2x 1， Q=x|x 2| 1，那么 P Q 等于 12若函数 f（ x）是偶函数，且在（ 0， +）内是增函数，又 f（ 3） =0则 xf（ x） 0的解集是 13函数 f（ x） =|x2 2x| a 有四个零点，则实数 a 的取值范围 是 14已知函数 f（ x） = ，若当 t0， 1时，

3、f（ f（ t） 0， 1，则实数t 的取值范围是 二、解答题：（本大题共 6小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15计算： （ 1） （ 2）（ lg5） 2+lg2lg50 16设集合 A=x|y=log2（ x 1） ， B=y|y= x2+2x 2， xR （ 1）求集合 A， B； （ 2） 若集合 C=x|2x+a 0，且满足 B C=C，求实数 a 的取值范围 17某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为 0.5 万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入） 0.25 万元市场对此产品的年需求量为 500 台，销售的收入函数为（万元）（ 0x

4、5）其中 x 是产品售出的数量（单位：百台） （ 1）把利润表示为年产量的函数； （ 2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ 18已知函数 f（ x） =x2 2ax+5（ a 1） （ 1）若 f（ x）的定义 域和值域均是 1， a，求实数 a 的值； （ 2）若 f（ x）在区间（ ， 2上是减函数，且对任意的 x1， a+1，总有 f（ x） 0，求实数 a 的取值范围 19已知定义域为 R 的函数 f（ x） = 是奇函数 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）判断函数的单调性并证明； （ 3）若对任意的 tR，不等式 f（ t2 2t） +f（ 2t2 k） 0 恒成立，求 k 的

5、取值范围 20对于定义域为 D 的函数 y=f（ x），如果存在区间 m， nD，同时满足： f（ x）在 m， n内是单调函数； 当定义域是 m， n时， f（ x）的值域也是 m， n 则称 m， n是该函数的 “和谐区间 ” （ 1）证明： 0， 1是函数 y=f（ x） =x2 的一个 “和谐区间 ” （ 2）求证：函数 不存在 “和谐区间 ” （ 3）已知：函数 （ aR， a0）有 “和谐区间 ”m， n，当 a 变化时，求出 n m 的最大值 2015-2016 学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一（上）期中 数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每小题 5分， 14 题，共

6、 70 分，请将正确答案填写在答题卷相应的横线上） 1设全集 A=0， 1， 2， B= 1， 0， 1，则 A B= 1， 0， 1， 2 【考点】 并集及其运算 【分析】 直接利用并集运算得答案 【解答】 解： A=0， 1， 2， B= 1， 0， 1， 则 A B=0， 1， 2 1， 0， 1= 1， 0， 1， 2 故答案为： 1， 0， 1， 2 2已知 f（ 2x） =6x 1，则 f（ x） = 3x 1 【考点】 函数解析式的求解及 常用方法 【分析】 利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别 【解答】 解：由 f（

7、2x） =6x 1， 得到 f（ 2x） =3（ 2x ） =3（ 2x） 1 故 f（ x） =3x 1 故答案为： 3x 1 3已知幂函数 y=f（ x）的图象经过点（ 2， 16），则函数 f（ x）的解析式是 f（ x） =x4 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【分析】 由已知得 2a=16，解得 a=4，由此求出 f（ x） =x4 【解答】 解： 幂函数 y=f（ x） =xa的图象经过点（ 2， 16）， 2a=16，解得 a=4， f（ x） =x4 故答案为： f（ x） =x4 4已知函数 f（ x） = ，则 ff（ ） 的值是 【考点】 分段函数的解析式求

8、法及其图象的作法；函数的值 【分析】 先求 ， ，故代入 x 0 时的解析式；求出 = 2，再求值即可 【解答】 解： ， 故答案为： 5函数 y= 的定义域是 （ ， 3 【考点】 函数的值域 【分析】 根据对数函数单调性和二次根式的意义，求得范围 【解答】 解：由题意得 2x 5 0，且 log0.5（ 2x 5） 0=log0.51， 即 x 且， 2x 51， 解得 x3， 故答案为：（ ， 3 6设 a=log0.60.9， b=ln0.9， c=20.9，则 a、 b、 c 由小到大的顺序是 b a c 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数的单调性即可得出 【解答】

9、解： 0 a=log0.60.9 log0.60.6=1， b=ln0.9 0， c=20.9 1， b a c 故答案为： b a c 7函数 f（ x） = 的递减区间是 （ ， 3 【考点】 函数的单调性及单调区间 【分析】 令 t=x2+2x 30，求得函数的定义域，且 f（ x） = ，本题即求函数 t 在定义域内的减区间，结合二次函数 t=x2+2x 3 的性质可得 t 在定义域内的减区间 【解答】 解：令 t=x2+2x 30，可得 x 3，或 x1，故函数的定义域为（ ， 3 1，+），且 f（ x） = ， 故本题即求函数 t 在定义域内的减区间 结合二次函数 t=x2+2x

10、 3 的性质可得 t 在定义域内的减区间为（ ， 3， 故答案为：（ ， 3 8已知 lg2=a， lg3=b，用 a， b 表示 log65= 【考点】 对数的运算性质 【分析】 利用换底公式将 log65 用 lg2 与 lg3 表示出来，再换成用字母 a， b 表示即可得 【解答】 解： log65= ， 又由已知 lg2=a， lg3=b， 故 log65= ， 故答案为 9函数 的值域为 （ ， 1 【考点】 函数的值域 【分析】 先确定函数的定义域，再考查函数在定义域内的单调性，根据函数的单调性来确定函数的值域 【解答】 解：函数 的定义域是（ ， 1，且在此定义域内是增函数， x

11、=1 时，函数有最大值为 1， x 时，函数值 y ， 函数 的值域是（ ， 1 故答案为：（ ， 1 10已知 f（ x）是定义在集合 x|x0上的偶函数， x 0 时 f（ x） =x+ ，则 x 0 时 f（ x）= x 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由偶函数的性质及对称性得到 x 0 时， f（ x） =（ x） + ，由此能求出结果 【解答】 解： f（ x）是定义在集合 x|x0上的偶函数， x 0 时， f（ x） =x+ ， 由偶函数的性质得： x 0 时， f（ x） =f（ x） =（ x） + = x 故答案为： 11设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P Q=

12、x|xP，且 xQ，如果 P=x|log2x 1， Q=x|x 2| 1，那么 P Q 等于 （ 0， 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据对数函数的定义域及单调性求出集合 P 中的不等式的解集，求出集合 Q 中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新 定义即可求出 P Q 【解答】 解：由集合 P 中的不等式 log2x 1=log22， 根据 2 1 得到对数函数为增函数及对数函数的定义域， 得到 0 x 2，所以集合 P=（ 0， 2）； 集合 Q 中的不等式 |x 2| 1 可化为： ，解得 1 x 3，所以集合 Q=（ 1， 3）， 则 P Q=（ 0， 1 故答案为：

13、（ 0， 1 12若函数 f（ x）是偶函数，且在（ 0， +）内是增函数，又 f（ 3） =0则 xf（ x） 0的解集是 （ ， 3） （ 0， 3） 【考点】 奇偶性 与单调性的综合 【分析】 先利用 f（ x）是偶函数单调性在对称区间上相反，分析出函数的单调性，结合 f（3） =0，分析出函数在各个区间上的符号，进而得到 xf（ x） 0 的解集 【解答】 解： 函数 f（ x）是偶函数，且在（ 0， +）内是增函数， f（ x）在（ ， 0）内是减函数 又 f（ 3） =f（ 3） =0 f（ x） 0 的解集是（ 3， 3）， f（ x） 0 的解集是（ ， 3），（ 3， +）

14、xf（ x） 0 的解集为（ ， 3） （ 0， 3） 故答案为：（ ， 3） （ 0， 3） 13函数 f（ x） =|x2 2x| a 有四个零点，则实数 a 的取值范围是 （ 0， 1） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到 a 的范围 【解答】 解：令 f（ x） =|x2 2x| a=0， 得 a=|x2 2x|， 作出 y=|x2 2x|与 y=a 的图象， 要使函数 f（ x） =|x2 2x| a 有四个零点， 则 y=|x2 2x|与 y=a 的图象有四个不同的交点， 所以 0 a 1， 故答案为：（ 0， 1

15、） 14已知函 数 f（ x） = ，若当 t0， 1时， f（ f（ t） 0， 1，则实数t 的取值范围是 log3 ， 1 【考点】 分段函数的应用 【分析】 通过 t 的范围，求出 f（ t）的表达式，判断 f（ t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出 t 的范围即可 【解答】 解：因为 t0， 1，所以 f（ t） =3t1， 3， 又函数 f（ x） = ， 所以 f（ f（ t） =3（不成立）或 f（ f（ t） = 3t， 因为 f（ f（ t） 0， 1， 所以 0 3t1，即 3t3， 解得： log3 t1，又 t0， 1， 所以实数 t 的取值范围 log3

16、 ， 1 故答案为： log3 ， 1 二、解答题：（本大题共 6小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15计算： （ 1） （ 2）（ lg5） 2+lg2lg50 【考点】 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 【分析】 （ 1）利用指数与对数的运算法则即可得出； （ 2）利用对数的运算法则、 lg2+lg5=1 即可得出 【解答】 解：（ 1）原式 = +3+1 =4 +1+3+1 =8 （ 2）原式 =lg25+lg2（ 1+lg5） =lg5（ lg5+lg2） +lg2 =lg5+lg2 =1 16设集合 A=x|y=log2（ x 1） ， B=y|y

17、= x2+2x 2， xR （ 1）求集合 A， B； （ 2）若集合 C=x|2x+a 0，且满足 B C=C，求实数 a 的取值范围 【考点】 对数函数的定义域；并集及其运算；函数的值域 【分析】 （ 1）集合 A 即函数 y=log2（ x 1）定义域， B 即 y= x2+2x 2， xR 的值域 （ 2）先求出集合 C，由 B C=C 可得 C， 1，解不等式得到实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） A=x|y=log2（ x 1） =x|（ x 1） 0=（ 1， +）， B=y|y= x2+2x 2， xR=y|y=（ x 1） 2 1， xR=（ ， 1 （ 2）集合

18、C=x|2x+a 0=x|x ， C=C， BC， ， 实数 a 的取值范围（ ， 2） 17某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为 0.5 万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入） 0.25 万元市场对此产品的年需求量为 500 台，销售的收入函数为（万元）（ 0x5）其中 x 是产品售出的数量（单位：百台） （ 1）把利润表示为年产量的函数； （ 2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R（ x）与其成本 C（ x）之差，由题意，当 x5时，产品能够全部售出，当 x 5 时，

19、只能销售 500 台，由此能把利润表示为年产量的函数 （ 2）当 0x5时， ，当 （百台）时， ymax=10.78125（万元）；当 x 5（百台）时， y 12 0.255=10.75（万元）由此能求出年产量是多少时，工厂所得利润最大 【解答】 解：（ 1）利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R（ x）与其成本 C（ x）之差， 由题意，当 x5时，产品能够全部售出，当 x 5 时，只能销售 500 台，所以， 整理，得 ， （ 2）当 0x5时， ， 当 （百台）时， ymax=10.78125（万元）； 当 x 5（百台）时， y 12 0.255=10.75（万元）

20、综上所述，当生产 475 台时，工厂所得利润最大 18已知函数 f（ x） =x2 2ax+5（ a 1） （ 1）若 f（ x）的定义域和值域均是 1， a，求实数 a 的值； （ 2）若 f（ x）在区间（ ， 2上是减函数，且对任意的 x1， a+1，总有 f（ x） 0，求实数 a 的取值范围 【考点】 二次 函数的性质 【分析】 （ 1）由 f（ x）的对称轴是 x=a 知函数在 1， a递减，根据定义域和值域均为 1， a，列出方程组即可求得 a 值； （ 2）由 f（ x）在区间（ ， 2上是减函数得 a2，由函数在区间 1， a+1上总有 f（ x） 0，可得 ，解得 a 的取

21、值范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =（ x a） 2+5 a2（ a 1）， f（ x）在 1， a上是减函数， 又定义域和值域均为 1， a， ，即 ，解得 a=2 （ 2） f（ x）在区间（ ， 2上是减函数， a2， 又 对任意的 x1， a+1，总有 f（ x） 0， ，即 解得： a3， 综上所述， a3 19已知定义域为 R 的函数 f（ x） = 是奇函数 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）判断函数的单调 性并证明； （ 3）若对任意的 tR，不等式 f（ t2 2t） +f（ 2t2 k） 0 恒成立，求 k 的取值范围 【考点】 函数单调性的性质；函数单调

22、性的判断与证明 【分析】 （ 1）由 f（ x）为 R 上的奇函数得 f（ 0） =0， f（ 1） = f（ 1），解出方程可得 a，b 值； （ 2）由（ 1）知 f（ x） = = ，利用单调性定义可作出判断； （ 3）由 f（ x）的奇偶性可得， f（ t2 2t） +f（ 2t2 k） 0 等价于 f（ t2 2t） f（ 2t2 k）=f（ k 2t2），根据单调性可去掉符号 “f”，转化为函数最值解决即可； 【解答】 解：（ 1）因为 f（ x）为 R 上的奇函数， 所以 f（ 0） =0，即 =0，解得 b=1， 由 f（ 1） = f（ 1），得 ，解得 a=2， 所以 a=

23、2， b=1， 即有 f（ x） = 为奇函数， 故 a=2， b=1； （ 2） f（ x）为 R 上的减函数，证明如下： 由（ 1）知 f（ x） = = ， 设 x1 x2， 则 f（ x1） f（ x2） =（ ）（ ） = ， 因为 x1 x2，所以 0， ， +1 0， 所以 f（ x1） f（ x2） 0，即 f（ x1） f（ x2）， 所以 f（ x）为减函数； （ 3）因为 f（ x）为奇函数，所以 f（ t2 2t） +f（ 2t2 k） 0 可化为 f（ t2 2t） f（ 2t2 k） =f（ k 2t2）， 又由（ 2）知 f（ x）为减函数，所以 t2 2t k 2t2，即 3t2 2t k 恒成立， 而 3t2 2t=3 ， 所以 k 20对于定义域为 D 的函数 y=f（ x），如果存在区间 m， nD，同时满足： f（ x）在 m， n内是单调函数； 当定义域是 m， n时， f（ x）的值域也是 m， n 则称 m， n是该函数的 “和谐区间 ” （ 1）证明： 0， 1是函数 y=f（ x） =x2 的一个 “和谐区间 ” （ 2）求证：函数 不存在 “和谐区间 ” （ 3）已 知：函数 （ aR， a0）有 “和谐区间 ”m， n，当 a 变化时，求出 n m 的最大值