江苏苏北四市高三第二次调研测试数学.doc

1、 苏北四市 2016-2017 学年度高三年级第二次调研测试 数学 I 试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1、 已知集合 2 , 0 , 2 , 3AB ，则 AB 2、已知复数 z 满足 (1 ) 2i z i，其中 i 为虚数单位，则 z 的模为 3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下 4 个 分数的方差为 4、根据如图所示的伪代码 ，则输出 S 的值为 5、从 1,2,3,4,5,6 这六个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的和能被 3 整除的概率 为 6、 若抛物线 2 8yx 的焦点恰好是双曲线 2

2、22 1( 0)3xy aa 的右焦点，则实数 a 的值为 7、已知圆锥的底面直径与高都是 2 ，则该圆锥的侧面积为 8、 若函数 ( ) s i n ( ) ( 0 )6f x x 的最小正周期为 15 ，则 1()3f 的值为 9、已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 2 3 32 3 , 2 3S a S a ，则公比 q 的值为 10、已知函数 ()fx是定义 R 在上的奇函数，当 0x 时， ( ) 2 3xfx，则不等式 ( ) 5fx 的解集为 3 4 4 2 4 6 5 2 8 0S 1I While 5I 1II S S I End Whlie Print S

3、 11、若实数 ,xy满足 13 3(0 )2xy x x ，则 313xy 的最小值为 12、已知非零向量 ,ab满足 a b a b ，则 a 与 2ab 夹角的余弦值为 13、已知 ,AB是圆 221 :1C x y上的动点， 3AB ， P 是圆 222 : ( 3 ) ( 4 ) 1C x y 上的动点，则 PA PB 的取值范围为 14、 已知函数32si n , 1() 9 2 5 , 1xxfx x x x a x ，若函数 ()fx的 图象与直线 yx 有三 个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出必要的文字说明、证明

4、 或演算步骤） 15、在 ABC 中 ，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc 已知 2 c o s ( c o s c o s )A b C c B a （ 1） 求角 A 的值； （ 2） 若 3cos 5B ，求 sin( )BC 的值 16、如图，在四棱锥 E ABCD 中， 平面 EAB 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， EA EB ，点 ,MN分别是 ,AECD 的中点 求证： （ 1）直线 MN 平面 EBC ； （ 2）直线 EA 平面 EBC 17、如图，已知 ,AB两镇分别位于东西湖岸 MN 的 A 处和湖中小岛的 B 处，点 C 在 A 的 正西方向 1km 处

5、， 3ta n ,44B A N B C N 现计划铺设一条电缆联通 ,AB两镇，有 两种铺设方案：沿线段 AB 在水下铺设；在湖岸 MN 上选一点 P ，先沿线段 AP 在地 下铺设，再沿线段 PB 在水下铺设，预算地下、水 下的电缆铺设费用分别为 2 万元 km 、 4 万元 km （ 1）求 ,AB两镇间的距离； （ 2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？ 18、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的离心率为 22 ，且右焦点 F 到左准线的距离为 62 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设 A 为椭圆 C 的左顶点， P 为椭圆

6、C 上位于 x 轴上方的点，直线 PA 交 y 轴于点 M ，过点 F 作 MF 的垂线，交 y 轴于点 N （）当直线的 PA 斜率为 12 时，求 FMN 的外接圆的方程； （）设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q ，求 APQ 的面积的最大值 19、已知函数 2( ) , ( ) l n ,2 Rxf x a x g x x a x ae （ 1）解关于 ()Rxx 的不等式 ( ) 0fx ； （ 2）证明： ( ) ( )f x g x ； （ 3）是否存在常数 ,ab，使得 ( ) ( )f x ax b g x 对任意的 0x 恒成立？若存在，求 出 ,ab的值；若不存在，请说

7、明理由 20、已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 11, ( 1 ) ( 1 ) 6 ( )n n na a a a S n ， Nn （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若对于 Nn ，都有 (3 1)nS n n 成立，求实数 a 取值范围； （ 3）当 2a 时，将数列 na 中的部分项按原来的顺序构成数列 nb ，且 12ba ，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列 nb 苏北四市 2016-2017 学年度高三年级 第二次调研测试 数学 II(附加题 ) 21 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则

8、按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.【选修 4-1:几何证明选讲】（本小题满分 10 分 ) 如图， AB 为半圆 O 的直径， D 为弧 BC 的中点， E 为 BC 的中点， 求证： AB BC=2AD BD B【选修 4-2:矩阵与变换】（本小题满分 10 分） 已知矩阵 A= 的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为 a= ， 求实数 a， b 的值 . C.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线 l： 2 sin（一 4 ） =m（ m R），圆 C

9、 的参数方程为 （ t 为参数）当圆心 C 到直线 l 的距离为 2 时，求 m 的值。 D【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知 a， b,c 为正实数， 的最小值为 m，解关于 x 的 不等式 |x+l|- 2x ，所以 116nnaa+-=， 3 分 所以 21 6 ( 1 ) 6 6ka a k k a- = + - = + -， 2 5 +6 ( 1) 6 1ka k k= - = -， *k N ， 故 *3 3 , , ,3 1 , , .n n a n na n n n NN为 奇 数为 偶 数 + - ?= -? 5 分 （ 2）当 n 为奇数时， 1 (

10、 3 2 ) ( 3 3 )6nS n a n n= + - + -， 由 (3 1)nS n n + 得， 23 3 21nna n +恒成立， 令 23 3 2()1nnfn n+= +，则 23 9 4( 1 ) ( ) 0( 2 ) ( 1 )nnf n f n + - = +， 所以 (1) 4af = 8 分 当 n 为偶数时， 1 3 (3 + 1)6nS n n a n= ? -， 由 (3 1)nS n n + 得， 3( 1)an + 恒成立， 所以 9a 又 1 0aa= ，所以实数 a 的取值范围是 (0,4 10 分 （ 3）当 2a= 时，若 n 为奇数，则 31n

11、an=-，所以 31nan=- 解法 1： 令等比数列 nb 的公比 *4 ( )mqmN=?，则 1 ( 1)1 54n m nnb b q -= = ? 设 ( 1)k mn=-，因为 21 411 4 4 4 3kk - -+ + + + =， 所以 ( 1 ) 2 15 4 5 3 (1 4 4 4 ) 1 m n k-? ? + + + +， 213 5 (1 4 4 + 4 ) 2 1k -= + + + + -， 14 分 因为 215 (1 4 4 + 4 ) 2k -+ + + +为正整数， 所以数列 nb 是数列 na 中包含的无穷等比数列， 因为公比 *4 ( )mqmN

12、=?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列 nb 有无数个 16 分 解法 2： 设22 2 23 1( 3 )kb a k k = = -，所以公比 2315kq -= 因为等比数列 nb 的各项为整数，所以 q 为整数， 取 *2 5 2( )k m m N= + ?，则 31qm=+，故 15 (3 1)nnbm-=? ， 由 13 1 5 (3 1)nnkm - = ? 得， 11 5 ( 3 1 ) 1 ( )3 nnk m n N-*= + + ?， 而当 2n 时， 1 2 21 5 ( 3 1 ) ( 3 1 ) 5 ( 3 1 )3 n n nnnk k

13、m m m m- - - = + - + = +， 即 21 5 (3 1) nnnk k m m -= + +， 14 分 又因为 1 2k= ， 25 (3 1)nmm -+ 都是正整数，所以 nk 也都是正整数， 所以数列 nb 是数列 na 中包含的无穷等比数列， 因为公比 *3 1( )q m m N= + ? 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列 nb 有无数个 16 分 数学 (附加题 ) 参考答案与评分标准 21 选做题 A 因为 D 为弧 BC 的中点，所以 DBC DAB ， DC DB ， 因为 AB 为半圆 O 的直径 ，所以 90ADB ， 又

14、E 为 BC 的中点 ，所以 EC EB ，所以 DE BC ， 所以 ABD BDE ， 所以 2AB BD BDAD BE BC，所以 2AB BC AD BD 10 分 B由条件知， 2A，即 1 2 221 1 1ab ，即 2422ab ， 6 分 所以 2 4,2 2,ab 解得 2,4.ab所以 a ， b 的值分别为 2 ， 4 10 分 C直线 l 的直角坐标方程为 0x y m ， 圆 C 的普通方 程为 22( 1) ( 2) 9xy ， 5 分 圆心 C 到直线 l 的距离 |1 ( 2) | 22 m ，解得 1m 或 5m 10 分 D 因为 a ， b ， 0c ，所以 33 3 3 3 3 31 1 1 1 1 12 7 3 2 7a b c a b ca b c a b c 3 27abcabc 32 2 7 1 8abcabc ，当且仅当 3 13abc 时，取“ ”， A B C D E O （第 21(A)题）