广东省广州市五校联考高二上期中文数试题.doc

1、 2016 2017学年上学期期中五校联考试卷 高二数学（文科） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 | 1 0A x x ， 2, 1,0,1B ，则 ()ABR 等于（ ） A 2, 1 B 2 C 1,0,1 D 0,1 【答案】 A 【解析】因为集合 |1A x x ，所以 |1A x xR ， 则 ( ) 2, 1AB R 故选 A 2已知命题 :pxR ， 22 1 0x ，则 p 是（ ） A xR ， 22 1 0x B xR ， 22 1 0x C xR ， 22 1 0x D xR ， 22 1 0x 【答案】 D 【解析 】由题意 xR

2、 ， 22 1 0x 的否定是 xR ， 22 1 0x ， 故选 D 3设某大学的女生体重 y （单位： kg ）与身高 x （单位： cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 ( , )( 1, 2, , )iix y i n ，用最小二乘法建立的回归方程为 0.85 85.71yx，则下列结论中不正确的是（ ） A y 与 x 有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心 (, )xy C若该大学某女生身高增加 1cm ，则其体重约增加 0.85kg D若该大学某女生身高为 170cm ，则可断定其体重必为 58.79kg 【答案】 D 【解析】解：对于 A ， 0.85 0 ，所以

3、y 与 x 具有正的线性相关关系，故正确； 对于 B ，回归直线过样本点的中心 (, )xy ，故正确； 对于 C ， 回归方程为 0.85 85.71yx， 该大学某女生身高增加 1cm ，则其体重约增加 0.85kg ，故正确； 对于 D ， 170cmx 时， 0 .8 5 1 7 0 8 5 .7 1 5 8 .7 9y ，但这是预测值，不可断定其体重为 58.79kg ，故不正确 故选 D 4设 ， 是两个不同的平面， l 是一条直线，下列命题中： 若 l ， ，则 l ； 若 l ， ，则 l ； 若 l ， ，则 l ； 若 l ， ，则 l 其中正确命题的个数是（ ） A 1

4、B 2 C 3 D 4 【答案】 A 【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理 和判定定理对四个命题分别分析选择 【解答】解：对于 ，若 l ， ，则 l 或 l ，故 错误； 对于 ，若 l ， ，则 l 或 l ，故 错误； 对于 ，若 l ， ，则 l ，正确； 对于 ，若 l ， ，则 l 与 的位置关系不确定，故 错误 故选 A 5已知两条直线 2y ax和 3 ( 2) 1 0x a y 互相平行，则 a 等于（ ） A 1或 3 B 1 或 3 C 1或 3 D 1 或 3 【答案】 A 【解析】两条直线 2y ax和 3 ( 2) 1 0x a y 互相平行， 所以

5、123 2 1a a ， 解得 3a 或 1a ， 故选 A 6已知 为第一象限角，设 ( 3, sin )a ， (cos ,3)b ，且 ab ，则 一定为（ ） A ()3 kkZ B 2 ()6 kkZ C 2 ()3 kkZ D ()6 kkZ 【答案】 B 【解析】 ( 3, sin )a ， (cos ,3)b ， ab ， 3 c o s 3 s in 0ab ， 即 3tan3，而 为第一 象限角， 2 ()6kk Z， 故选 B 7已知数列 na 为等比数列， nS 是它的前 n 项和，若 2 3 12a a a ，且 4a 与 72a 的等差中项为 54 ，则 5S（ ）

6、 A 35 B 33 C 31 D 29 【答案】 C 【解析】 22 3 1 1 12a a a q a q a ， 4 2a ， 34 7 4 4 52 2 2 4a a a a q ， 12q ， 41 3 16aa q， 55216 12 31112S 故选 C 8若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，底面是正三角形，则它的侧视图的面积为（ ） A 32B 34 C 34D 32 【答案】 B 【解析】由题意，此物体的侧视图如图， 侧视图VB A根据三视图间的关系可得侧视图中，底边是正三角形的高，底面三角形是边长为 1的三角形， 所以 32AB，侧视图的高是棱锥的高： 3 ， 1 1

7、3 332 2 2 4VABS A B h 9已知 a ， b ， c 为集合 1,2,3,4,5A 中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数 a ，则输出的数 5a 的概率是（ ） 否a= ca= b是a b ?开始结束输入 a ,b ,c输出 aa c ?是否A 15 B 25 C 35 D 45 【答案】 C 【解析】由算法可知输出的 a 是 a 、 b 、 c 中最大的一个数 ， 若输出的数为 5 ，则这三个数中必须要有 5 从集合 1,2,3,4,5A 中选三个不同的数共有 10 种取法，即 123、 124、 125、 134、 135、 145、 234 、

8、235、 245、 345 满足条件的 6 种， 所求概率为 35 故选 C 10已知实数 x ， y 满足约束条件 1 0,4 0,xyxyym，若目标函数 2z x y的最大值与最小值的差为 2 ，则实数 m 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 12 【答案】 C 【解析】本题主要考查线性规划 根据题中约束条件作可行域如图阴影区域所示， B 4 m,m( )A m 1, m( )y = m+ 4y = my = x + 1xyO由图可知，在 B 点时目标函数 2z x y值最大， 由 4yxym 得 (4 , )B mm ， 则 max 28z x y m ； 在 A 点时目标函数

9、2z x y值最小， 由 1yxym 得 ( 1, )Am m ， 则 m in 2 3 2z x y m ， 则 m ax m in 1 0 4 2z z m ， 解得 2m 故选 C 11函数 ( ) sinf x x 在区间 (0,10) 上可找到 n 个不同数 1x ， 2x ， ， nx ，使得12 ()( ) ( ) nnfxf x f xx x x ，则 n 的最大值等于（ ） A 8 B 9 C 10 D 11 【答案】 C 【解析】设 12 ()( ) ( ) nnfxf x f x kx x x ， 172152132112927252328 7 6 5 4 3 2 9 1

10、9210 1 1211211 xy则条件等价为 ()f x kx 的根的 个数， 作出函数 ()fx和 y kx 的图象， 由图象可知 y kx 与函数 ()fx最多有 10 个交点， 即 n 的最大值为 10 ， 故选 C 12已知 奇函数 4()f x x tx （ t 为常数）和函数 1()2xg x a，若对1 1,12x ， 2 1,0x ，使得 12( ) ( )f x g x ，则 a 实数的取值范围是（ ） A ( ,4 B ( ,3 C 4, ) D 3, ) 【答案】 B 【解析】解：因为 ()fx为奇函数，所以 0t ， 所以1 1,12x 时， 17( ) 5, 2fx

11、 ， 因为 2 1,0x ，所以 ( ) 1 , 2 g x a a ， 由1 1,12x ， 2 1,0x ，使得 12( ) ( )f x g x 得： 52a ， 所以 3a ， 故选 B 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13如果角 的终边过点 (4 sin 30 , 4 cos 30 ) ，则 sin _ 【答案】 32【解析】 3sin co s 3 02 ， 故答案为： 32 14如图是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为 _ 甲 乙3 3889912 079【答案】 45 【解析】是被污

12、损的数字为 x ，则 09x 且 xN ， 甲的平均成绩为 1 ( 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 ) 9 05x 甲， 【注意有文字】 1 ( 8 3 8 3 8 7 9 9 9 0 ) 9 05xx 乙 ， 【注意有文字】 解得 8x ，故 x 的可能值有 8 个， 即甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 8410 5 15设 13log5a， 5log9b ， 0.315c ， a ， b ， c 的大小关系（用 “ ”连接）是 _ 【答案】 a c b 【解析】解：因为 13log 5 0a， 5log 9 1b， 0.31015c ， 所以 a c b 16已知点 (, )P

13、xy 是直线 4( 0)y kx k 上的一个动点， PA ， PB 是圆 22: 2 0C x y y 的两条切线， A ， B 是切点，若四边形 PACB 的面积的最小值为 2 ，则实数 k 的值为 _ 【答案】 2 【解析】 k x + y + 4 = 0CBAPxyO圆 22: 2 0C x y y 的圆心 (0,1) ，半径是 1r ， 由圆的性质知： 2 PBCPACBSS四 边 形 ，四边形 PACB 的最小面积是 2 ， 【注意有文字】 PBCS 的最小值 11 2S rd （ d 是切线长）， 2d 最 小 值 ， 【注意有文字】 圆心到直线的距离就是 PC 的最小值， 22

14、 251 2 51 k ， 0k ， 2k 故答 案为： 2 三、解答题（本大题共 6个小题，共 70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 已知 ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 2 2 2b c a bc （ 1）求角 A 的大小 （ 2 ）若 1b ， ABC 的面积为 334，求 c 【答案】见解析 【解析】（ 1）在 ABC 中， 2 2 2 2 cosb c a bc A ， 又 2 2 2b c a bc ， 1cos 2A ， 0 A， 3A 综上所述： 3A （ 2 ）由 1 3 3 3s i

15、n2 4 4S b c A b c ，得 3bc ， 1b ， 3c 综上所述： 3c 18（本小题满分 10 分） 已知各项为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，并且满足： nS ， na ， 2 成等差数列 （ 1）求数列 na 的通项公式 （ 2 ）若 nnc na ，求数列 nc 的前 n 项和 nT 【答案】见解析 【解析】解：（ 1） 2 ， na ， nS 成等差数列， 22nnaS， 1n ， 1122aa，计算得出 1 2a 当 2n 时， 1122nnaS， 122n n na a a，化为 12nnaa ， 数列 na 成等 比数列，首项为 2 ，公比为 2 ，

16、2nna （ 2 ） 2nnnc n a n ， 数列 nc 的前 n 项和 222 2 2 3 2 2 nnTn ， 2 3 12 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnT n n ， 2 3 1 1 12 ( 2 1 )2 2 2 2 2 2 ( 1 ) 2 221nn n n nnT n n n ， 1( 1) 2 2nnTn 19（本小题满分 12 分） 某校高二文科分四个班，各班人数恰好成等差数列，高二数学调研测试后，对四个文科班的学生试卷按每班人数进行分层抽样，对测试成绩进行统计，人数最少的班抽取了 22 人，抽取的所有学生成绩分为 6 组： 70,80) ， 80,90) ， 90

17、,100) ， 100,110) ， 110,120) ， 120,130) ，得到如图所示的频率分布直方图，其中第六组分数段的人数为 5 人 （ 1）求 a 的值，并求出各班抽取的学生数各为多少人？ （ 2 ）在抽取的学生中，任取一名学生，求分数不小于 90 分的概率（视频率为概率） （ 3 ）估计高二文科四个班数学成绩的平均分 a0.050.150.200.250.300.350.4013070 80 90 100 110 120 分数频率【答案】见解析 【解析】解：（ 1）由频率分布条形图知，抽取的学生总数为 5 1000.05 人 各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为 d ， 由

18、 4 22 6 100d ，解得 2d 各班被抽取的学生人数分别是 22 人， 24 人， 26 人， 28 人 （ 2 ）在抽取的学生中，任取一名学生，则分数大小于 90 分的概率为0 . 3 5 0 . 2 5 0 . 1 0 . 0 5 0 . 7 5 （ 3 ） 7 5 0 . 0 5 8 5 0 . 2 0 9 5 0 . 3 5 1 0 5 0 . 2 5 1 1 5 0 . 1 0 1 2 5 0 . 0 5 9 8 ， 平均成绩为 98 分 20（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA 平面 ABCD ， PA AB ，点 E

19、 是 PD 的中点，四面体 E ACD 的体积为 163 ECBAPD（ 1）求证： PB 平面 ACE （ 2 ）若四面体 E ACD 的体积为 23 求 AB 的长 【答案】见解析 【解析】（ 1）证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 EO ， ABCD 是正方形， 点 O 是 BD 的中点， 又 点 E 是 PD 的中点， EO 是 DPB 的中位线， PB EO ， 又 EO 平面 ACE ， PB 平面 ACE ， PB 平面 ACE （ 2 ）取 AD 的中点 H ，连接 EH ， 点 E 是 PD 的中点， EH PA ， 又 PA 平面 ABCD ， EH 平面 ABC

20、D 设 AB x ，则 PA AD CD x ，且 1122EH PA x， 所以 31 1 1 1 1 1 23 3 2 6 2 1 2 3E A C D A C DV S E H A D C D E H x x x x ， 解得 2x ， 故 AB 的长为 2 21（本小题满分 12 分） 已知 M 的半径为 1，圆心 M 的坐标为 ( ,0)m ，其中 24m OA ， OB 为该圆的两条切线， O 为坐标原点， A ， B 为切点， A 在第一象限， B 在第四象限 （ 1）若 2m 时，求切线 OA ， OB 的斜率 （ 2 ）若 4m 时，求 AMB 外接圆的标准方程 （ 3 ）当 M 点在 x 轴上运动时，将 MAMB 表示成 m 的函数 ()m ，并求函数 ()m 的最小值 【答案】见解析 【解析】解：（ 1） 2m 时，圆 M 为 ： 22( 2) 1xy 由题意设过 O 点，圆 M 的切线方程为 y kx ，（ k 不存在不成立），