湖北省黄冈中学高三上期末考试数学试卷.doc

1、 湖北省黄冈中学 2013 年秋季高三数学（文）期末考试 考试时间： 2014 年 1 月 20 日下午 14： 30 16： 30 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4页。全卷满分 150分，考试时间 120分钟 祝考试顺利 第卷（选择题，共 50分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 2| 5 6 0A x x x ， |2B x x，则 RA C B =（ ） A 1,2 B 1,2 C 2,6 D 2,6 2. 已知回归直线的斜率的估计值是 1.2 ，样本点的中心为 4,5

2、，则回归直线方程是（ ） A 1.2 4yx B 1.2 5yx C 1.2 0.2yx D 0.95 1.2yx 3已知向量 1,2a ， ,2bx，且 a a b，则实数 x 等于（ ） A 4 B 4 C 0 D 9 4已知数列 na 的前 n 项和 221nS n n t ，则“ 1t ”是“数列 na 为等差数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A 48 B 56 C 64 D 72 内实数6在如图所示的程序框图中，若输出 49S ，则判断框p 的取值范围是（ ） A 17,1

3、8 B 17,18 C 16,17 D 16,17 7已知函数 ( ) sin( )32mf x x 在 0, 上有两个零 点，则实数 m 的取值范围为（ ） A 3,2 B 3,2 C 3,2 D 3,2 第 5 题图 第 6 题图 8过双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的右顶点 A 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,BC，若 ,ABC 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ） A 3 B 5 C 10 D 13 9已知 (2,1)A ， (1, 2)B ， 31,55C，动点 ( , )Pab 满足 02OP OA 且 02OP O

4、B ，则点 P 到点 C的距离大于 14 的概率为（ ） A 51 64 B 564 C 116 D 16 10设函数 2( ) 2 1 lnf x x x a x 有两个极值点 12,xx，且 12xx ，则（ ） A2 1 2ln 2() 4fx B2 1 2ln 2() 4fx C2 1 2ln 2() 4fx D2 1 2ln 2() 4fx 第卷（非选择题，共 100分） 二、 填空题：本大题共 7小题，每小题 5分，共 35分，请将答案填在答题卡对应题号的 位置上 . 11在复平面内，复数 103ii 对应的点的 坐标 为 _ 12统计某学校高三年级某班 40 名学生的数学期末考试

5、成绩， 分数均在 40至 100 之间，得到的频率分布直方图如图所示 则图中 a 的值 为_ 13若存在 xR ，使 13x a x 成立，则实数 a 的取值 范 围 是_ 14已知 ()fx是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，且当 01x时，12( ) log (1 )f x x，则 2011()4f =_ 15.已知圆的方程为 22 6 8 0x y x y ，设该圆过点 3,5 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ，则四边形ABCD 的面积为 _ 16.钝角三角形的三边长分别为 , 1, 2a a a，其最大角不超过 120 ，则 a 的取值范围是 _ 17如图，有一个形如六边形

6、的点阵，它的中心是一个点（ 算第 1 层 ），第 2 层每边有两第 12 题图 个点，第 3 层每边有三个点，依次类推 （ 1） 试问第 n 层 2n N n且 的点数为 _个； （ 2） 如果一个六边形点阵共有 169 个点，那么它一共有 _层 三、解答解：本大题共 5 个小题，共 65 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 18设函数 ()f x m n，其中向量 2cos ,1mx ， cos , 3 sin 2n x x ， xR （ 1）求 ()fx的单调递增区间； （ 2）在 ABC 中， ,abc分别是角 ,ABC 的对边，已知 ( ) 2, 1f A b， ABC 的面

7、积为 32 ，求 c 的值 19.设正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 3 4a ， 2 3S （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若2 2 2 2 22lo g lo gnnnb aa ，令数列 nb 的前 n 项和为 nT 证明： 1nT 20已知在梯形 ABCD 中， /AB CD ， 6, 3AB CD， E 为 AB 的中点， F 为 CD 上靠近点 D 的三等分点，且 EF AB ， 2EF ，现将梯形沿着 EF 翻折 ，使得平面 BCFE 平面 AEFD ，连接 BD 、 BA 和 CD ，如图所示 （ 1） 求三棱锥 E ABD 的体积； 第 17 题图

8、第 20 题图 （ 2） 在 BD 上是否存在一点 P ，使得 /CP 平面 AEFD ？如果存在，求 DP 的长；如果不存在，请说明理由 21已知函数 () 1ax x ， a 为常数 （ 1）若 ( ) ln ( )f x x x，且 92a ，求函数 ()fx的单调区间； （ 2）若 ( ) ln ( )g x x x，且对任意 12,xx 0,2 ， 12xx ，都有 2121( ) ( ) 1g x g xxx ， 求 a 的取值范围 22 如图，椭圆 221 : 1( 0)xyC a bab 的离心率为 32， x 轴被曲线 22 :C y x b截得的线段长等于 1C 的长半轴长

9、 . （ 1）求 1C ， 2C 的方程； （ 2）设 2C 与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 l 与 2C 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 1C 相交与 D,E （ i）证 明： MA MB ； (ii)记 MAB, MDE 的面积分别是 12,SS.问：是否存在直线 l ,使得21SS =3217 ?请说明理由 第 22 题图 湖北省黄冈中学 2013 年秋季高三数学 （文） 期末考试参考答案（附评分细则） 一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C C C B C A D 二、填空题 11 1,3 12 0.03 13 2,

10、4 14 2 15 206 16 3,3217 (1) 61n (2)8 1 1,6A ， 2,2B ， , 2 2 ,RCB ，则 2,6RA C B 2样本点的中心一定在回归直线上 3 1 ,4a b x ，由 a a b得 1 8 0x，解得： 9x 4两个条件互为充要条件 5 1 4 6 2 4 5 6 4V 6 1 1 1 1 1 12 3 3 4 1 1 2 2 2nS n n n n n ，令 49nS得 16n 所以实数 p 的取值范围是 16,17 7令 ( ) 0fx 得 2sin( )3mx，即 2sin( )3yx与直线 ym 的图像在 0, 上有两个交点，数形结合可知

11、 m 的取值范围是 3,2 8直线方程为 y x a ，由 y x abyxa 解得 2C ax ab ，由 y x abyxa 解得 2B ax ab 由题意可知： 222aaaa b a b即 2()a a b a b 得 3ba ，所以 22 10c a be aa 9动点 ( , )Pab 满足的不等式组为 0 2 20 2 2abab ，画出可 行域可知 P 的运动区域为以 31,55C为中心且边长为 255 的正方形，而点 P 到点 C 的距离小于或等于 14 的区域是以 31,55C为圆心且半径为 14 的圆以 及圆的内 部，所以2 222 5 154 5164255P 10 (

12、)fx的定义域为 0, ，求导得 2 22() x x afxx，因为 ()fx有两个极值点 12,xx， 所以 12,xx是方程 22 2 0x x a 的两根，又 12xx ，且 121xx，所以21 12 x又 22222a x x，所以 2 22 2 2 2 21 2 2 lnf x x x x x ， 令 2 2( ) 1 2 2 lng t t t t t 1 12 t， 2 1 2 ln 0g t t t 所以 ()gt 在 1,12上为增函数，所以 1 1 2 ln 224g t g ，所以2 1 2 2() 4lnfx 11 1 0 31 0 1 0 3 0 133 1 0

13、1 0iiii ii ，所以该复数对应点的坐标为 1,3 12由 0 .0 0 5 0 .0 1 2 0 .0 2 0 .0 2 5 1 0 1a 解得 0.03a 13只需 m in13x a x 成立即可，而 11x a x a 所以 13a 即 3 1 3a 解得 24a 14122 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 3 15 0 2 l o g 24 4 4 4 4f f f f 15圆的标准方程为 223 4 25xy ，过点 3,5 的最长弦为过圆心的直径 10AC ，最短弦为与圆心 3,4 和点 3,5 连 线 垂 直 的 弦 ， 222 2 2 5 1 4 6B D

14、r d ， 而 显 然 AC BD ，所以1= 2 0 62S A C B D 16由题意可得 22212121 02 2 1a a aa a aaa 解得 3 32 a 17观察图形，可以看出 ，第一层是 1 个点，其余各层的点数都是 6 的倍数且倍数比层数少 1，所以：（ 1）第 n层的点数为 6 1 ( 2)nn； （ 2） n 层六边形点阵的总点数为 1 6 1 2 1n = 1 3 1nn 令 1 3 1 169nn 解得 7n （舍去）或 8n 所以 8n 三、解答题 18解： （ 1） 2( ) 2 c o s 3 sin 2f x x x= cos 2 3 sin 2 1xx=

15、 2sin 26x +1 2分 令 - 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z 4 分 解得 - 2 ,3 6 6k x k k Z 故 ()fx的单调递增区间为 -,36k k k Z 6 分注：若没写 kZ ，扣一分 （ 2）由 ( ) 2 sin 2 1 26f A A 得 1sin 262A 7分而 0,A ，所以 132,6 6 6A ，所以 52 66A 得 3A 10 分 又 1 sin2ABCS bc A ，所以 2 3 2sin 312ABCSc bA 12 分 19解： （ 1）由题意可得 21114 3aqa aq 解得 1 12aq 4 分所以 12nna 6 分

16、（ 2） 2 1 2 12 2 2 2 2 2 22 2 2 8l o g l o g l o g 2 l o g 2 2 1 2 1n nnnnb a a n n 分= 112 1 2 1nn 10 分 所以 1 1 1 1 11 3 3 5 2 1 2 1nT nn = 11 21n 11 分 因为 1 021n ，所以 1nT 12 分 20. 21 解： （ 1） 2221 ( 2 ) 1( ) ( 1 ) ( 1 )a x a xfx x x x x ， -2 分 92a ，令 ( ) 0fx ，得 2x ，或 12x ， -3 分 函数 ()fx的单调增区间为 1(0, )2 ，

17、(2, ) -4 分 单 调减区间为 1,22-5 分 注：两个单调增区间，错一个扣 1 分，错两个扣 2 分 （ 2） 2121( ) ( ) 1g x g xxx ， 2121( ) ( ) 10g x g xxx ， 2 2 1 121( ) ( ) 0g x x g x xxx ， -7 分 设 ( ) ( )h x g x x，依题意， ()hx 在 0,2 上是减函数 -8 分 当 12x时， ( ) ln 1ah x x xx ，21( ) 1( 1)ahx xx ， 令 ( ) 0hx ，得： 2 22( 1 ) 1( 1 ) 3 3xa x x xxx 对 1,2x 恒成立，

18、 设 2 1( ) 3 3m x x x x ，则21( ) 2 3m x x x ， 12x， 21( ) 2 3 0m x x x ， ()mx 在 1,2 上是增函数，则当 2x 时， ()mx 有最大值为 272 ， 272a -11 分 当 01x时， ( ) ln 1ah x x xx ，21( ) 1( 1)ahx xx ， 令 ( ) 0hx ，得： 2 22( 1 ) 1( 1 ) 1xa x x xxx ， 设 2 1( ) 1t x x x x ，则21( ) 2 1 0t x x x ， ()tx在 (0,1) 上是增函数， ( ) (1) 0t x t， 0a -13

19、 分 综上所述， 272a -14 分 22 解： （ 1）由题意知 32ce a ，从而 2ab ，又 2 ba ，解得 2, 1ab。 故 1C ， 2C 的方程分别为 2 221, 14x y y x -4 分 （ 2）（ i）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k ，则直线 l 的方程为 y kx . 由2 1y kxyx 得 2 10x kx ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 12,xx是上述方程的两个实根， 于是 1 2 1 2,1x x k x x -5 分 又点 M 的坐标为 (0, 1) ，所以 1 2 1 21 2 1 21 1 (

20、 1 ) ( 1 )M A M B y y k x k xkk x x x x 2 221 2 1 212( ) 1 1 11k x x k x x kkxx -8 分 故 MA MB ，得证 （ ii）设直线的斜率为 1k ，则直线的方程为 1 1y kx，由 1211y kxyx 解得 01xy 或 121 1xkyk ，则点 A 的坐标为 211( , 1)kk 又直线 MB 的斜率为11k ，同理可得点 B 的坐标为 21111( , 1)kk. 于是 22 11 1 1 21 1 111 1 1 1| | | | 1 | | 1 | | .2 2 2 | |kS M A M B k k k k k -9 分 由 12214 4 0y k xxy 得 2211(1 4 ) 8 0k x k x ， 解得 01xy 或12121218144114kxkkyk ，则点 D 的坐标为 211228 4 1( , )1 4 1 4kk； 又直线的斜率为11k ，同理可得点 E 的坐标 2112284( , )44kk