湖北黄冈市高三期末数学.doc

1、 黄冈市 2017 年元月高三年级调研考试 理科试题 2017 年元月 9 日 第卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1.设复数 121 , 1z i z i ，其中 i是虚数单位，则 12zz 的模为 A. 14 B. 2 C. 12 D. 1 2.下列说法正确的是 A. “若 1a ，则 2 1a ”的否命题是“若 1a ，则 2 1a ” B. 在 ABC 中，“ AB ” 是“ 22sin sinAB ”必要不充分条件 C. “若 tan 3 ，则 3 ”是真命题 D. 0 ,0x 使

2、得 0034xx 成立 3.我国古代数学典籍 九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果 n A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 4.下列四个图中，函数 ln 11xy x 的图象可能是 5.设实数 ,xy满足 22202yxxyx ，则 13yx 的取值范围是 A. 1,5 B. 1,15C. 11,53 D. 1,13 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 S为 S R r l（注：圆台侧面积公式为） A. 17 3

3、 17 B. 20 5 17 C.22 D. 17 5 17 7.已知 ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，且 0OA AB AC ，则向量 CA 在向量 CB方向上的投影为 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 8.在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，若 12AB BB ，则 1AB 与 1BC 所成角的大小为 A. 6 B. 3 C.512 D.2 9.已知函数 si n 2 c o s 0y x x 的图象关于直线 1x 对称，则sin2 A. 35 B. 35 C. 45 D. 45 10.已知函数 fx是定义在 R 上的偶函数 , 1fx 为奇函数， 00f ,当 0,

4、1x 时， 2logf x x ，则在区间 8,9 内满足方程 12 2f x f 的实数 x 为 A. 172 B. 658 C. 334 D.678 11.如图，给定由 10 个点（任意相邻两点距离为 1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 12.已知函数 ln ln ,1 xf x x f xx 在 0xx 处取得最大值，以下各式中： 00f x x 00f x x 00f x x 0 12fx 0 12fx 正确的序号是 A. B. C. D. 第卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 4 小题

5、，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 设 函 数 2, 12, 1xxfx x ， 则 满 足 1 10xf x 的 x 取 值 范 围为 . 14.多项式 623a b c 的展开式中 23abc 的系数为 .（用数字作答） 15.有一个电动玩具，它有一个 96 的长方形（单位： cm）和一个半径为 1cm 的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为 A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点 A 出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 . 16.设数列 na 满足 122, 6aa，且 2122n n na a a ，若

6、 x 表示不超过 x 的最大整数，则1 2 2 0 1 7201 7 201 7 201 7a a a . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17.（本题满分 10 分） 已知函数 2 1 , 1 .f x x g x a x （ 1）若关于 x 的方程 f x g x 只有一个实数解，求实数 a 的取值范围； （ 2）若当 xR 时，不等式 f x G X 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 18.（本题满分 12 分） 函数 s in 0 ,2f x x 的部分图像如图所示，将y f x 的图象向右平移 4 个单位长度后得到函数

7、y g x 的图象 . （ 1）求函数 y g x 的解析式； （ 2）在 ABC 中，角 A,B,C 满足 22 sin 123AB gC ，且其外接圆的半径 R=2，求 ABC 的面积的最大值 . 19.（本题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n项和 11 22nnnSa ， n 为正整数 . （ 1）令 2nnnba ，求证：数列 nb 为等差数列，并求出数列 na 的通项公式； （ 2）令121 ,n n n nnc a T c c cn ，求 nT . 20.（本题满分 12 分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为

8、基准定价，具体划分标准如下表： 从本市随机抽取了 10 户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图： （ 1）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望； （ 2）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10 户，若抽到 n 户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出 n 的值 . 21.（本题满分 12 分）如图，在各棱长均为 2 的三棱柱 1 1 1ABC ABC中，侧面 11AACC 底面 ABC ， 1 60 .AAC （ 1）求侧棱 1AA 与平面 1ABC 所成角的正弦值的大小； （ 2）已知点 D

9、 满足 BD BA BC，在直线 1AA 上是否存在点 P,使 DP/平面 1ABC ？若存在，请确定点 P 的位置，若不存在，请说明理由 . 22.（本题满分 12 分）已知函数 2ln 2af x x x x x a a R 在定义域内有两个不同的极值点 . （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）记两个极值点为 12,xx，且 12xx ，已知 0 ，若不等式 12x x e恒成立，求 的取值范围 . 一、选择题 1-12 DCACB DBDDB CA 二、填空题： 13. 14. -6480 15. 16.2016 三：解答题 17.解：（）方程 |f（ x） |=g（ x），即 |

10、x2 1|=a|x 1|，变形得 |x 1|（ |x+1| a） =0，显然， x=1 已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程 |x+1|=a 有且仅有一个等于 1的解或无解， a 0 5分 （）当 x R时，不等式 f（ x） g（ x）恒成立，即（ x2 1） a|x 1|（ *）对 x R恒成立， 当 x=1时，（ *）显然成立，此时 a R； 当 x 1时，（ *）可变形为 a ， 令 （ x） = = 因为当 x 1 时， （ x） 2，当 x 1 时， （ x） 2，所以 （ x） 2，故此时 a 2 综合，得所求实数 a的取值范围是 a 2 10分 18.（）由图知

11、，解得 ，即 由于 ，因此 3分 即函数 的解析式为 6分 （） ，即 ，所以 或 1（舍）， 8分 由正弦定理得 ，解得 由余弦定理得 ， （当且仅当 a=b等号成立） 的面积最大值为 . 12分 19.解：（ I）在 中，令 n=1，可得 ，即 当 时， ， . 又 数列 是首项和公差均为 1的等差数列 . 于是 . 6分 (II) 由（ I ）得 ，所以由 -得 12分 20.解：（ 1）由茎叶图可知抽取的 10户中用水量为一阶的有 2户，二阶的有 6户， 三阶的有 2 户。 第二阶梯水量 的户数 X 的可能取值为 0,1,2,3 1分 ， ， 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P

12、 5 分 EX= 6分 (2)设 Y 为从全市抽取的 10 户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得 Y B , 所以 ，其中 8分 设 10分 若 ，则 ， ； 若 ，则 ， 。 所以当 或 ， 可能最大， 所以 的取值为 6。 12分 21.解：（ 1)侧面 底面 ，作 于点 ， 平面 又 ，且各棱长都相等， ， ， 2 分 故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， 4分 设平面 的法向量为 ， 则 ,解得 由 而侧棱 与平面 所成角，即是向量 与平面 的法向量所成锐角的余角， 侧棱 与平面 所成角的正弦值的大小为 6分 （ 2） ，而 又 ，点 的坐标为

13、假设存在点 符合题意，则点 的坐标可设为 ， ， 为平面 的法向量， 由 ，得 10分 又 平面 ，故存在点 ，使 ，其坐标为 ， 即恰好为 点 12分 22.解：（）由题意知，函数 f（ x）的定义域为（ 0， +），方程 f （ x） =0 在（ 0， +）有两个不同根； 即方程 lnx ax=0在（ 0， +）有两个不同根； （解法一）转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax的图象在（ 0， +）上有两个不同交点， 如右图 可见，若令过原点且切于函数 y=lnx图象的直线斜率为 k，只须 0 a k 令切点 A（ x0， lnx0）， 故 ，又 ， 故 ，解得， x0=e， 故， 故 4

14、分 （解法二）转化为函数 与函数 y=a的图象在（ 0， +）上有两个不同交点 又 ， 即 0 x e 时， g（ x） 0， x e 时， g（ x） 0， 故 g（ x）在（ 0， e）上单调增，在（ e， +）上单调减 故 g（ x）极大 =g（ e） = ； 又 g（ x）有且只有一个零点是 1，且在 x 0时， g（ x），在在 x +时， g（ x）0， 故 g（ x）的草图如右图， 可见，要想函数 与函数 y=a的图象在（ 0， +）上有两个不同交点， 只须 4分 （解法三） 令 g（ x） =lnx ax，从而转化为函数 g（ x）有两个不同零点， 而 （ x 0）， 若 a

15、0，可见 g（ x） 0在（ 0， +）上恒成立，所以 g（ x）在（ 0， +）单调增， 此时 g（ x）不可能有两个不同零点 若 a 0，在 时， g（ x） 0，在 时， g（ x） 0， 所以 g （ x ）在 上单调增，在 上单调减，从而= ， 又因为在 x 0时， g（ x），在在 x +时， g（ x）， 于是只须： g（ x）极大 0，即 ，所以 综上所述， 4分 （）因为 等价于 1+ lnx1+ lnx2 由（）可知 x1， x2分别是方程 lnx ax=0的两个根， 即 lnx1=ax1， lnx2=ax2 所以原式等价于 1+ ax1+ ax2=a（ x1+ x2），因为 0， 0 x1 x2， 所以原式等价于 又由 lnx1=ax1， lnx2=ax2作差得， ，即 所以原式等价于 ， 因为 0 x1 x2，原式恒成立，即 恒成立