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黑龙江省哈尔滨师大附中高三期中数学.doc

1、 2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三(上)期中 数学试卷(理科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1复数 的虚部( ) A i B i C 1 D 1 2已知集合 ,则 AB=( ) A( 1, +) B 1, +) C( , 0 ( 1, +) D 0, 1 3已知函数 f( x)是奇函数,且当 x 0 时, f( x) =x2+ ,则 f( 1) =( ) A 2 B 0 C 1 D 2 4在区间 0, 上随机取一个数 x,使 的概率为( ) A B C D 5若 | + |=| |=2

2、| |,则向量 + 与 的夹角为( ) A B C D 6如果对于任意实数 x, x表示不超过 x 的最大整数例如 3.27=3,0.6=0那么 “x=y”是 “|x y| 1”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7二项式( x2 ) 11 的展开式中,系数最大的项为( ) A第五项 B第六项 C第七项 D第六和第七项 8根据如图所示程序框图,若输入 m=42, n=30,则输出 m 的值为( ) A 0 B 3 C 6 D 12 9数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1=3Sn( n 1),则 a6=( ) A 3 4

3、4 B 3 44+1 C 44 D 44+1 10若 ( , )且 3cos2=4sin( ),则 sin2的值为( ) A B C D 11身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( ) A 24 种 B 48 种 C 36 种 D 28 种 12已知函数 f( x)的导函数 f( x) =2+sinx,且 f( 0) = 1,数列 an是以 为公差的等差数列,若 f( a2) +f( a3) +f( a4) =3,则 =( ) A 2016 B 2015 C 2014 D 2013 二、填空题(本大题共

4、4 小题,每小题 5 分,共 20 分将答案填在答题卡相应的位置上) 13将高三( 1)班参加体检的 36 名学生,编号为: 1, 2, 3, , 36,若采用系统 抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知样本中含有编号为 6 号、 24 号、 33 号的学生,则样本中剩余一名学生的编号是 14已知 ,则 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|= 15袋子中装有大小相同的 6 个小球, 2 红 4 白,现从中有放回的随机摸球 3 次,每次摸出1 个小球,则至少有 2 次摸出白球的概率为 16已知 x, y R,满足 x2+2xy+4y2=6,则 z=x2+4y2 的取值范围为 三、解答题(本

5、大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17( 12 分) ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,向量 m =( a, c), n =( 1 2cosA, 2cosC 1), m n ( )若 b=5,求 a+c 值; ( )若 ,且角 A 是 ABC 中最大内角,求角 A 的大小 18( 12 分)中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于 2016 年 7 月 14 日在山东威海开赛,种子选手 A 与非种子选手 B1, B2, B3 分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计,A 获胜的概率分别为 ,且各场比赛互不影响 ( )若 A

6、 至少获胜两场的概率大于 ,则 A 入选征战里约奥运会的最终名单,否则不予入选,问 A 是否会入选最终的名单? ( )求 A 获胜场数 X 的分布列和数学期望 19( 12 分)已知各项为正数的 数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 ( )求证: an为等差数列,并求数列 an的通项公式; ( )设 ,求证: 20( 12 分)已知函数 f( x) =x 2sinx ( )求函数 f( x)在 上的最值; ( )若存在 ,使得不等式 f( x) ax 成立,求实数 a 的取值范围 21( 12 分)已知函数 ,其中 a, b, c R ( )若 a=b=1,求函数 f( x)的单调区间;

7、( )若 a=0,且当 x 0 时, f( x) 1 总成立,求实数 b 的取值范围; ( )若 a 0, b=0,若 f( x)存在两个极值点 x1, x2,求证; f( x1) +f( x2) e 选作题 22( 10 分)已知函数 f( x) =|x a| 2 ( )若 a=1,求不等式 f( x) +|2x 3| 0 的解集; ( )若关于 x 的不等式 f( x) |x 3|恒成立,求实数 a 的取值范围 选作题 23( )已知 x2+y2=1,求 2x+3y 的取值范围; ( )已知 a2+b2+c2 2a 2b 2c=0,求证: 2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三

8、(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1复数 的虚部( ) A i B i C 1 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【专题】 转化思想;数系的扩充和复数 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解:复数 = =1 i 的虚部为 1 故选: D 【点评】 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 2已知集合 ,则 AB=( ) A( 1, +) B 1, +) C( , 0 ( 1, +) D 0, 1

9、【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题;函数思想;定义法;集合 【分析】 先分别求出集合 A 和 B,由此能求出 AB 【解答】 解: 集合 , A=x|x 0 或 x 1, B=y|y 1, AB=( 1, +) 故选: A 【点评】 本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集性质的合理运用 3已知函数 f( x)是奇函数,且当 x 0 时, f( x) =x2+ ,则 f( 1) =( ) A 2 B 0 C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由奇函数定义得, f( 1) = f( 1),根据 x 0 的解析式,求出 f( 1),

10、从而得到f( 1) 【解答】 解: f( x)是定义在 R 上的奇函数, f( x) = f( x), f( 1) = f( 1), 又当 x 0 时, f( x) =x2+ , f( 1) =12+1=2, f( 1) = 2, 故选: A 【点评】 本题考查函数的奇偶性及运用,主要是奇函数的定义及运用,解题时要注意自变量的范围,正确应用解析式求函数值,本题属于基础题 4在区间 0, 上随机取一个数 x,使 的概率为( ) A B C D 【考点】 几何概型 【专题】 计算题;方程思想;演绎法;概率与统计 【分析】 先求出不等式 对应的解集,结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解:

11、 0 x , , x ,区间长度为 , 则对应的概率 P= = , 故选: B 【点评】 本题主要考查几何概型的概率的计算,根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键 5若 | + |=| |=2| |,则向量 + 与 的夹角为( ) A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【 分析】 作 , ,以 OA, OB 为邻边作平行四边形 OACB,则 = 由 | +|=| |=2| |,可得四边形 OACB 为矩形,利用 = 即可得出 【解答】 解:作 , ,以 OA, OB 为邻边作平行四边形 OACB, 则 = | + |=| |=2| |, 四边形 OACB

12、 为矩形, = = , 向量 + 与 的夹角为 故选: B 【点评】 本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 6如果对于任意实数 x, x表示不超过 x的最大整数例如 3.27=3, 0.6=0那么 “x=y”是 “|x y| 1”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 充要条件 【专题】 阅读型 【分析】 先根据 x的定义可知, x=y|x y| 1,而取 x=1.9, y=2.1,此时满足 |xy|=0.2 1,但 x y,根据若 pq 为真

13、命题且 qp 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件进行判定即可 【解答】 解: x=y 1 x y 1 即 |x y| 1 而取 x=1.9, y=2.1,此时 |x y|=0.2 1,而 x=1, y=2, x y “x=y”是 “|x y| 1”的充分而不必要条件 故选 A 【点评】 判断充要条件的方法是: 若 pq 为真命题且 qp 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; 若 pq 为假命题且 qp 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; 若 pq 为真命题且 qp 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; 若 pq 为假命题且 qp 为假

14、命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命 题 q 所表示的范围,再根据 “谁大谁必要,谁小谁充分 ”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系 7二项式( x2 ) 11 的展开式中,系数最大的项为( ) A第五项 B第六项 C第七项 D第六和第七项 【考点】 二项式系数的性质 【专题】 二项式定理 【分析】 在二项展开式的通项公式中,根据二项式的展式的通项公式为 Tr+1=x22 3r,可得系数最大的项 【解答】 解:二项式( x2 ) 11 的展式的通项公式为 Tr+1= x22 2r( 1) rx r = x22 3r, 故当 r=6 时,展开式的系数 =

15、最大, 故选: C 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属 于中档题 8根据如图所示程序框图,若输入 m=42, n=30,则输出 m 的值为( ) A 0 B 3 C 6 D 12 【考点】 程序框图 【专题】 计算题;操作型;算法和程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 【解答】 解:第一次执行循环体后, r=12, m=30, n=12,不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体后, r=6, m=12, n=

16、6,不满足退出循环的条件; 第三次执行循环体后, r=0, m=6, n=0,满足退出循环的条件; 故输出的 m 值为 6, 故选: C; 【点评】 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答 9数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1=3Sn( n 1),则 a6=( ) A 3 44 B 3 44+1 C 44 D 44+1 【考点】 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和 【专题】 计算题 【分析】 根据已知的 an+1=3Sn,当 n 大于等于 2 时得到 an=3Sn 1,两者相减,根据 Sn Sn1=an,得到数列的第

17、n+1 项等于第 n 项的 4 倍( n 大于等于 2),所以得到此数列除去第 1 项,从第 2 项开始,为首项是第 2 项,公比为 4 的等比数列,由 a1=1, an+1=3Sn,令 n=1,即可求出第 2 项的值,写出 2 项以后各项的通项公式,把 n=6 代入通项公式即可求出第 6 项的值 【解答】 解:由 an+1=3Sn,得到 an=3Sn 1( n 2), 两式相减得: an+1 an=3( Sn Sn 1) =3an, 则 an+1=4an( n 2),又 a1=1, a2=3S1=3a1=3, 得到此数列除去 第一项后,为首项是 3,公比为 4 的等比数列, 所以 an=a2

18、qn 2=3 4n 2( n 2) 则 a6=3 44 故选 A 【点评】 此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式,是一道基础题 10若 ( , )且 3cos2=4sin( ),则 sin2的值为( ) A B C D 【考点】 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数 【专题】 三角函数的求值 【分析】 由条件化简可得 3( cos+sin) =2 ,平方可得 1+sin2= ,从而解得 sin2的值 【解答】 解: ( , ),且 3cos2=4sin( ), 3( cos2 sin2) =4( cos sin), 化简可得: 3( cos+sin) =2

19、, 平方可得 1+sin2= ,解得: sin2= , 故答案为: C 【点评】 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题 11身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( ) A 24 种 B 48 种 C 36 种 D 28 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【专题】 排列组合 【分析】 由题意知先使五个人的全排列,共有 A55 种结果,去掉相同颜色衣服的人相邻的情况,穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况,得到结果 【解答】 解:由题意 知先使五个人的全排列,共有 A55=120 种结果 穿

20、红色相邻或穿黄色相邻两种情况,有 2A22A44=96 种, 穿红色相邻且穿黄色也相邻情况,有 A22A22A33=24 种, 故:穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是 120 96+24=48, 故选: B 【点评】 本题是一个简单计数问题,在解题时注意应用排除法,从正面来解题时情况比较复杂,所以可以写出所有的结果,再把不合题意的去掉,属于基础题 12( 2016上饶二模)已知函数 f( x)的导函数 f( x) =2+sinx,且 f( 0) = 1,数列 an是以 为公差的等差数列,若 f( a2) +f( a3) +f( a4) =3,则 =( ) A 2016 B 2015 C 201

21、4 D 2013 【考点】 等差数列的通项公式;导数的运算 【专题】 方程思想;转化思想;导数的综合应用;等差数列与等比数列 【分析】 函数 f( x)的导函数 f( x) =2+sinx,可设 f( x) =2x cosx+c,利用 f( 0) = 1,可得: f( x) =2x cosx由数列 an是以 为公差的等差数列,可得 an=a2+( n 2) 由f( a2) +f( a3) +f( a4) =3,化简可得 6a2 = 利用单调性可得 a2,即可得出 【解答】 解: 函数 f( x)的导函数 f( x) =2+sinx, 可设 f( x) =2x cosx+c, f( 0) = 1

22、, 1+c= 1,可得 c=0 f( x) =2x cosx 数列 an是以 为公差的等差数列, an=a1+( n 1) , f( a2) +f( a3) +f( a4) =3, 2( a2+a3+a4)( cosa2+cosa3+cosa4) =3, 6a2+ cosa2 =3, 6a2 = 令 g( x) =6x cos , 则 g( x) =6+sin 在 R 上单调递增, 又 =0 a2= 则 = =2015 故选: B 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共

23、20 分将答案填在答题卡相应的位置上) 13将高三( 1)班参加体检的 36 名学生,编号为: 1, 2, 3, , 36,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知样本中含有编号为 6 号、 24 号、 33 号的学生 ,则样本中剩余一名学生的编号是 15 【考点】 系统抽样方法 【专题】 计算题;整体思想;定义法;概率与统计 【分析】 根据系统抽样的定义,求出样本间隔即可 【解答】 解:样本间距为 36 4=9, 则另外一个编号为 6+9=15, 故答案为: 15 【点评】 本题主要考查系统抽样的应用,求出样本间隔是解决本题的关键 14已知 ,则 |a0|+|a1|+|a2|+|

24、a9|= 512 【考点】 二项式定理的应用 【专题】 转化思想;综合法;二项式定 理 【分析】 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|,即( 1+x) 9 展开式的各项系数和,令 x=1,可得( 1+x) 9展开式的各项系数和 【解答】 解:已知 ,则 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|,即( 1+x) 9 展开式的各项系数和, 令 x=1,可得( 1+x) 9 展开式的各项系数和为 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=29=512, 故答案为: 512 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用,求展开式的系数和常用的方法是赋值法,属于基础题 15袋子中装有大小相同的 6 个小球, 2 红 4 白,现从中有放回的随机摸球 3 次,每次摸出1 个小球,则至少有 2 次摸出白球的概率为 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【专题】 对应思想;转化法;概率与统计 【分析】 每次摸到红球的概率都是 ,摸到白球的概率都是 ,由此利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出至少有 2 次摸出白球的概 率

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