1、1选用合理参数解直线与圆锥曲线综合题直线与圆锥曲线综合题一般通过直线方程与圆锥曲线方程的联立得到一个关于 或x的方程，利用判别式和根与系数的关系求解，但是利用向量或者三角函数有时也很简单，y其中利用向量已经成为近年的考查热点，我们首先通过一个题目的三种解法了解三种方法一般过程.引例：已知椭圆 上一动点 关于 轴的对称点为 ，点 的坐标为2:143xyCQxPD，直线 交椭圆 于点 ，求证：直线 经过定点，并求定点的坐标.(4,0)PDFF一、三种解法：解法一（设 法）： 设 ，则 ，设 ，显然直线 有斜率，k1(,)Pxy1(,)xy2(,)xyP设直线 的方程为 ，代入 并整理得：PD(4)
2、ykx2:43C.由题意必有 ，222(34)610k0于是由根与系数关系得： ， 22121364,3kkxx直线 方程为 ，当 ， QF212()yx210yx令 有 ，0y21()xy把 代入整理得：12(4),(4)kkx，再将218x22121364,3kkx代入上式化简得 .所以直线 过定点 .QF(,0)当 时， ，直线 即 轴，也过定点 .210yx210yx(1,0)综上直线 过定点 .QF(,)2解法二（设 法）：设 ，则 ，设 ，直线 与 轴交点为1(,)Pxy1(,)Qxy2(,)FxyQFx，(,0)Mm则 ， ，12(4,)(4,)DxyFxy112(,)(,)Mx
3、myxmy设 ， （由图知 ） ，PQ则有 ，即1212()xym12124()23()xym又 ， 在 上，1(,)Pxy2(,)Fxy2:43xyC所以 ，22241(5)63xy得： ，2(5)62222(4)()14x，注意到 ，21(4)()(1)x上式化简为 ，即 ，242530x由 知 ，于是 即 ，(),4(3)1m这样我们有 ，2147(8)5309xxm得 ，(7)8(9)()即 ，注意到 ，所以 .101m即直线 过定点 .QF(,)解法三（设 法）：设2cos,3in),(2cos,3in),(2cos,3in),PQF设直线 与 轴交点为 ，又 ，x(,0Mm4,D3
4、显然 所在直线有斜率，,PFD于是 ，即 ，3sin03sin02co42co4sinsi2co4c即 ，sisi(si)即 ，n()2nco2即 ，sicossin显然 ，否则 重合，于是 ，n02,PFcos2cs由 三点共线得：,QFM3sin03in02cosm，于是当 时，sinsi2cocmsi，(siosin)2incos2cos1s即直线 过定点 .QF(1,0)当 时， ，直线 即 轴，也过定点 .sin21yQFx(1,0)综上直线 过定点 .(,0)二、三种解法的比较：仔细分析题意，可以发现，题目的条件有三个点在曲线上（考虑到 的对称，实,PQ际上可以看作只有两个点在曲线
5、上） ，有两个三点共线，现在把三种解法中对于点在曲线上和三点共线的转化作一次比较，我们希望从这个比较中看到它们的优点与缺点，并进一步研究面对具体问题应该如何选择简单的方法，请看下表：三个点 ,PQF在2:143xyC的转化三点共线,PFD与 三点共线的转QM化方法比较4设k法2(4),1.3yx12122(4),().ykxx点的横坐标转化为方程的根，利用根与系数关系可得与 的关系，化简目12,xk标十分明确，但是注意没有斜率和斜率为零的情况，这是解决直线与圆锥曲线的一般方法.设法212,43.xy12124(),.xym利用 可以消去12y得 与 的关系，2,x化简的目标需要仔细分析，明确消
6、去哪个未知数，但是由于化简使用了平方差公式，使得计算比较简单，而且避开了有关斜率的讨论，这是向量法的优越性.设法(2cos,3in),(,i).PQF3sin03sin0,2co42co4ii.ssm 的关系直接化为12x,y的关系，利用三角恒等变换寻求 的更加简明的,关系，直接求得 的值，但m容易忽视讨论，三角恒等变形也是一个难点.三、在一个具体的问题中，如何选用这三种方法呢？下面结合具体的例子谈谈一般规律：1、当题目条件与结论涉及交点个数，长度，倾斜角与斜率等问题时，一般选用设 法k这个一般方法：例题 1：过抛物线 的焦点 作弦 ，且 ，直线 与椭圆24yxFAB|8AB交与两个不同的点，
7、求直线 倾斜角 的取值范围.23xy解：由已知得 ，设直线 的方程为 .(1,0)F(1)ykx由 得： .2(4ykx222()0kxx显然 ， ，0222()416()k5所以 ，解得 .2241| 8|kAB21k由 得： ，显然 ，2(1)3ykx22(3)40kx23)0k，解得 .42226()8()k2所以 ，即 ，又 ，所以 .1|3k1|tan|30,)23,)(,442、当题目条件与结论涉诸点共线或者线段之比时，一般选用设 法：例题 2：已知椭圆 ，过右焦点 作直线 交椭圆 于 两点，交2:15xCyFlC,AB轴于 点， 在 之间，求 的值. yM,BF,A|MBA解：设
8、 ，则 ， ，其中12,F1OF21OMFB为坐标原点，设 ，由于 ，所以 ， ，O0(,)y(,0)012(,)yA022(,)y把 代入椭圆 得： ，去分母整理012(,)A2:5xCy22011()()5得： ，同理可得 ，所以 是方程22105y2201y2,的两个根，所以012.结合图形可知， ，所以12|,MABF 12| 0.MAF3、遇到求曲线上的点与直线的距离的最值问题、范围问题时，选用设 法比较简单：例题 3：求椭圆 上的点与直线 距离的最大值.2:196xyC:10lxy解：设 椭圆 上任意一点，(cos,4in)P2:96xy到直线 的距离是 ，10xy|3cos4in10|5sin()10|22d6当 时， ，sin()1max|3cos4in10|5|122d所以椭圆 上的点到椭圆 距离的最大值为 .Cl对于同一个题目，不同的方法计算量可能相差很大，因此要注意选用合理的方法.
