高考数学临门一脚热身模拟.doc

1、 2 2 主视图 2 4 左视图 俯视图 （第 5 题图） I 1 S 0 While I m S S+I I I+3 End while Print S End 09 年高考数学 临门一脚 热身模拟 (2009,6， 3) 必做题部分 一、填空题： 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应的位置上 1、 已知集合 M y|y x2， x R， N y|y2 2， y Z，则 M N _ 2、 已知 na 是等差数列， 466aa，其前 5 项和 5 10S ，则其公差 d 3、 若直线 062 yax 和直线 0)1()1( 2 ayaax 垂直，则

2、a 的值是 4、 为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机 测量了其中 100 株树木的底部周长（单位：） . 根据所得数据画出的样本频率分布直方图（如图）， 那么在这片树木中，底部周长小于 110 的株 树大约是 （第 4 题） 5、 已知 一个空间几何体的三视图如图所示， 根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个 几何体的 体 积是 6、 下面求 1+4+7+10+ +2008 的值的伪代码中， 正整数 m 的最大值为 7、 5、设 A 是满足不等式组 40 40 yx的区域， B 是满足不等式组444yxyx 的区域；区域 A 内的点 P 的坐标为 yx, ，当 Ryx , 时，则

3、DP 的概率为 0.04 0.02 0.01 频率 /组距 O 80 90 100 110 120 130 周长（） 8、 正三棱锥 P ABC 的高 PO=4，斜高为 25，经过 PO 的中点且平行于底面的截面的面积为 _. 9、 已知 1 1 4sin cos 3aa，则 a2sin = 10、 设点 O 为坐标原点 ,给定一个点 A(4,3),而点 B(x,0)在 x 轴的正半轴上 ,g(x)表示线段AB 的长 ,则 OAB 中两边长的比值)(xgx的最大值为 _ 11、 )(xf 是定义在 ),0( 的非负可导函数 ,且满足 0)()( xfxxf ,对任意的正数 a,b,若 ab 则

4、 )(),( bbfaaf 的大小关系为 _ 12、 已知 0xy ，则xyyx 2121 的最小值为 _ 13、 在 OAB 中 , C 为线段 AB 上靠近 A 的一个三等分点， ,若 00 OBA ， OA OB a，则 ABOC 的值为 _. 14、 已知函数 1( ) 2xfx 定义在 R 上 .若 ()fx可以表示为一个偶函数 ()gx 与一个奇函数()hx 之和，设 ()hx t ， 2( ) ( 2 ) 2 ( ) 1 ( )p t g x m h x m m m R， 则 ()pt 的解析式为 _. 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明 ,

5、证明过程或演算步骤 , 请把答案写在答题纸的指定区域内 .） 15、 (本小题满分 14 分 )如图，在四棱锥 ABCDP 中，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60BAD， N 是 PB 中点，过 A 、 N 、 D三点的平面交 PC 于 M (1)求证： /DP ANC平 面 ； (2)求证： M 是 PC 中点； (3)求证：平面 PBC 平面 ADMN D A B C P M N 16、 (本小题满分 14 分 ) 已知函数 2( ) s i n ( ) s i n ( ) 2 c o s6 6 2 xf x x x ，其中 是

6、使 ()fx能在 3x 处取得最大值时的最小正整数 ( )求 的值； ( )设 ABC 的三边 ,abc满足 2b ac 且边 b 所对的角 的取值集合为 A ，当 xA 时，求 ()fx的值域 17、 (本小题满分 14 分 ) 为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体 .假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成： 罩内该种气体的体积比保护罩的容积少 0.5 立方米，且每立方米气体费用 1 千元； 需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为 2 立方米时，支付的保 险费用为 8 千元 . （ ）求博物馆支付总费用 y 与保护罩容积 V 之

7、间的函数关系式； （ ）求博物馆支付总费用的最小值； （ ）如果要求保护罩可以选择正四棱锥或者正四棱柱形状，且保护罩底面（不计厚度）正方形边长不得少于 1.1 米，高规定为 2 米 . 当博物馆需支付的总费用不超过 8 千元时，求保护罩底面积的最小值（可能用到的数据： 8.5 2.87 ，结果保留一位小数） 18、 (本小题满分 16 分 ) 已知线段 23CD ， CD 的中点为 O ，动点 A 满足 2AC AD a（ a 为正常数） （ 1）求动点 A 所在的曲线方程； （ 2）若存在点 A ，使 AC AD ，试求 a 的取值范围； （ 3）若 2a ，动点 B 满足 4BC BD，且

8、 AO OB ，试求 AOB 面积的最大值和最小值 A B D E F C O 19、 (本小题满分 16 分 ) 设函数 ),)()()()( Rcbacxbxaxxf （） 若 cba , 互不相等，且 )()( / bfaf ，求证 cba , 成等差数列 ; （） 若 ba ，过两点 )0,(),0,( ba 的中点作与 x 轴垂直的直线，此直线与 )(xfy 的图象交于点 P，求证：函数 )(xfy 在点 P 处的切线过点（ c,0） ; （） 若 c=0, ba , 1,0 ax 时， 22)( axf 恒成立，求 a 的取值范围 . 20、 (本小题满分 16 分 ) 已知有穷数

9、列 na 共有 2k 项（整数 2k ），首项 1 2a ，设该数列的前 n 项和为 nS ，且1 2 ( 1 , 2 , 3 , , 2 1 ) .1nn aS n ka 其中常数 1.a 求 na 的通项公式； 若 2212ka ，数列 nb 满足2 1 21 l o g ( ) , ( 1 , 2 , 3 , , 2 ) ,nnb a a a n kn求证： 12nb； 若中数列 nb 满足不等式：1 2 2 1 23 3 3 3 42 2 2 2kkb b b b ，求 k 的最大值。 附加题部分 21. （选做题）本大题包括 A， B， C， D 共 4 小题，请从这 4 题中选做

10、2 小题 . 每小题 10分，共 20 分请在答题卡上准确填涂题目标记 . 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 4 1：几何证明选讲 如图， AB 是 O 的直径，弦 BD、 CA 的延长线 相交于点 E， EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证： DEA DFA?. 【 证明 】 连结 AD， 因为 AB 为圆的直径，所以 ADB=90， A B C D P A1 B1 D1 C1 x y z 又 EF AB， EFA=90，所以 A、 D、 E、 F 四点共圆 . 所以 DEA= DFA. 10 分 B. 选修 4 2： 矩阵与变换 已知 1 0 4 31 2 4 1

11、 B, 求矩阵 B. 【解】 设 ,abcdB则 1 0 1 2 2 2aba c b d B， 5 分 故4 , 4 ,3 , 3 , 4 3 .2 4 , 4 , 4 22 1 , 2 .aabba c cb d d 解 得 故 B 10 分 C. 选修 4 4： 坐标系与参数方程 . 在平面直角坐标系 xOy 中， 动圆 2 2 28 c o s 6 s i n 7 c o s 8 0x y x y + - - + + =（ q R） 的 圆心为 ( , )Px y ，求 2xy- 的取值范围 . 【 解 】由题设得 4cos , 3sinxy = = qq（ q 为参数， q R） .

12、 5 分 于是 2 8 c o s 3 s i n 7 3 c o s ( )xy ， 所以 73 2 73xy . 10 分 D 选修 4 5： 不等式证明选讲 已知 函数 ( ) 1 2f x x x= - + -. 若不等式 ()a b a b a f x+ + - 对 a0, a、 bR 恒成立， 求实数 x 的范围 . 【 解 】 由 ()a b a b a f x+ + - |且 a0 得 | | | | ()|a b a b fxa . 又因为 | | | | | | 2| | | |a b a b a b a baa ， 则有 2 ()fx . 5 分 解不等式 1 2 2xx

13、 得 15.22x 10 分 22. 必做题 , 本小题 10 分解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 如图，在底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 是侧棱 1CC 上 的一点， CPm . （ 1）试确定 m，使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60； （ 2）在线段 11AC 上是否存在一个定点 Q ，使得对任意的 m， 1DQ AP，并证明你的结论 . 【解】 （）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)， C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D

14、1(0,0,2). 所以 1( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) ,B D B B ( 1 ,1 , ) , ( 1 ,1 , 0 ) .A P m A C 又由 110 , 0A C B D A C B B A C D D 1知 为 平 面 BB的一个法向量 . 设 AP 与 11BDD B面 所成的角为 ， 则 2| 2sin c o s 2 | | | | 22A P A CA P A C m = 32 ， 解得 63m . 故当 63m 时， 直线 AP 与平面 11BDDB 所成角 为 60. 5 分 （）若在 11AC 上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 x

15、， 则 1( ,1 , 2 ) , ( ,1 , 0 )Q x x D Q x x . 依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP. 等价于 11 10 ( 1 ) 0 2D Q A P A P D Q x x x 即 Q 为 11AC 的中点时，满足题设的要求 . 10 分 23 必做题 , 本小题 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰 箱的台数 是一个随机变量，它的 分布列为： 1( ) ( 1, 2 , , 1 2 )12P i ix = = = L ；设每售出一台电冰箱，电器商获利 300 元

16、. 如销售不出，则每台每月需花保 管 费 100 元 . 问电器商每月初购进多少台 电冰箱才能使 月平均收益最大？ 【 解 】 设 x 为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑 1 12x 的情况 . 设电器商每月的收益为 y 元， 则 y 是随机变量 的函数，且 3 0 0 , ( ) ,3 0 0 1 0 0 ( ) , ( ) .xxy xx 4 分 于是 电器商每月获益的平均数 ,即为数学期望 1 1 2 13 0 0 ( ) 3 0 0 1 0 0 ( 1 ) xxE y x P P P x P+= + + + + - -L 22 3 0 0 1 0 0 ( 2 )xP 1(

17、 1) 3 0 0 1 0 0 xxP L ( 1 ) ( 1 )113 0 ( 1 2 1 ) 3 0 0 1 0 0 1 2 1 2 2 2x x x xxx 225 ( 2 38 )3 xx . 8 分 因为 *xN , 所以 当 9 10xx=或 时 , 数学期望 最大 . 答： 电器商每月初购进 9 台或 10 台电冰箱 , 收益最大 ，最大收益 为 1500 元 . 10 分 必答题 参考答案 1.0， 1 2、 12 ； 3、 0a 或 23a ； 4、 7000； 5、 4； 6、 2011； 7. 21 8. 33 9. 34 10. 35 11. )()( bbfaaf 1

18、2. 22 13. 32a 14. 22( ) 2 1p t t m t m m 15. 证明：（ 1）连结 BD ， AC ，设 OACBD ，连结 NO ABCD 是的菱形 O 是 BD 中点， 又 N 是 PB 中点 NOPD/ 又 A N CPDA N CNO 平面平面 , ANCPD 平面/ 4 分 （ 2）依题意有 /AD BC /BC 平面 ADMN 而平面 PBC 平面 ADMN MN /BC MN /AD MN （或证 AD 平面 PBC ） /MN BC 又 N 是 PB 中点 M 是 PC 中点 8 分 （ 3）取 AD 中点 E，连结 PE ,BE ,BD ,如右图 A

19、BCD 为边长 为 2 的菱形，且 60BAD ABD 为等边三角形，又 E 为 AD 的中点 BE AD 又 PE AD AD 面 PBE AD PB 又 PA AB ， N 为 PB 的中点 AN PB PB 平面 ADMN 而 PB 平面 PBC 平面 PBC 平面 ADMN 14 分 16 解： ( ) 3 1 3 1( ) s in c o s s in c o s ( 1 c o s )2 2 2 2f x x x x x x 312 ( s in c o s ) 1 2 s in ( ) 12 2 6x x x 2 分 由题意得 23 6 2k ， Zk ，得 62k， Zk 当

20、 0k 时，最小正整数 的值为 2，故 2 6 分 D A B C P M N ( )因 acb 2 且 c o s2222 accab 则 21c o s2 acca 当且仅当 acca ， ca 时，等号成立 则 21cos ，又因 ),0( ，则 30 ，即 30| xxA 10 分 由 知： ( ) 2 s in ( 2 ) 16f x x 因 30 x ，则 26 6 2x ， 1 sin (4 ) 126x 2 ( ) 1fx ，故函数 )(xf 的值域为 ( 2,1 14 分 17.解： （ 1） 5001 6 00 01 0 001 6 00 0501 0 00 VVV).(V

21、y（或 5.016VVy）（ 5.0V ） （ 2） 750050016 0001000 VVy当且仅当VV 160001000 ，即 V=4 立方米时不等式取得等号 所以，博物馆支付总费用的最小值为 7500 元 （ 3）解法 1：由题意得不等式： 85.016 VV当 保护 罩为 正四 棱锥形 状时 ， SV32， 代入 整理得 ： 0144514 2 SS ， 解得53.88 333518 3335122.4 S； 当 保 护 罩 为 正 四 棱 柱 形 状 时 ， SV 2 ， 代 入 整 理 得 ： 016174 2 SS ，解得84.24 25.85.84 25.85.841.1

22、S 又底面正方形面积最小不得少于 21.11.11.1 ，所以，底面正方形的面积最小可取 1.4 平方米 解法 2. 解 方 程 500V160001000V8000 ，即 0165.82 VV 得 两 个 根 为686.5,814.2 21 VV 由于函数 500160 00100 0 VVy在 4,0( 上递减，在 ),4 上递增，所以当 1VV 时，总费用超过 8000 元，所以 V 取得最小值 1V 由于保护罩的高固定为 2 米，所以对于相等体积的正四棱锥与正四棱柱，正四棱柱的底面积是正四棱锥底面积的31 所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小，41281421 .hVS m2 .

23、又底面正方形面积最小不得少于 21.11.11.1 ， 4.121.1 ，所以，底面正方形的面积最小可取 1.4 平方米 18解：（ 1）以 O 为圆心， CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系 若 2 2 3AC AD a ，即 03a ，动点 A 所在的曲线不存在； 若 2 2 3AC AD a ，即 3a ，动点 A 所在的曲线方程为 0( 3 3 )yx ； 若 2 2 3AC AD a ，即 3a ，动点 A 所在的曲线方程为 2213xyaa . 4 分（ 2）由（ 1）知 3a ，要存在点 A ，使 AC AD ， 则以 O 为圆心， 3OC 为半径的圆与椭圆有公共点。故 233a

24、，所以 2 6a 所以 a 的取值范围是 36a . 8 分 （ 3）当 2a 时，其曲线方程为椭圆 2 2 14x y 由条件知 ,AB两点均在椭圆 2 2 14x y上，且 AO OB 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， OA 的斜率为 k ( 0)k ，则 OA 的方程为 y kx ， OB 的方程为 1yxk 解方程组 22 14y kxx y 得 21 2414x k ， 21 2414ky k 同理可求得 222 24 4kx k ， 22 24 4y k 10 分 AOB 面积 2 12211112S k x xk = 2222(1 )2 (1 4 )(

25、4)kkk 12 分 令 21 ( 1)k t t 则 222122 994 9 9 4tStt tt 令 229 9 1 1 2 5( ) 4 9 ( ) ( 1 )24g t tt t t 所以 254 ( )4gt，即 4 15 S 14 分 当 0k 时，可求得 1S ,故 4 15 S，故 S 的最小值为 45，最大值为 1. 16 分 19.解：（） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x b x c x a x c x b x a 若 ( ) ( )f a f c ，则 ( ) ( ) ( ) ( )a b a c c a c b ac a b b c

26、即 2a c b ,abc成等差数列 4 分 （）依题意 2( ) ( 2 ),28()a b a b c a bP 2222 2 2 2 2 2 2()4( )a b a b a b c b a a b b a a b cabkf 切线 22 () ()42( ) ( 2 ): 8 a b a bxa b c a bly 令 0y 得 2 22c a b a bx ，即 xc 切线过点 (,0)c . 8 分 （） 0,c a b，则 2( ) ( )f x x x a 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 3 )f x x a x x a x a x a 0a 时： 3(0, )ax

27、时， ( ) 0fx ，此时 2( ) ( )f x x x a为增 函数； 3( , )axa 时， ( ) 0fx ，此时 2( ) ( )f x x x a为减函数； ( , 1)x a a时， ( ) 0fx ，此时 2( ) ( )f x x x a为增函数 . 而 34 , ( 1 ) 13 2 7()aa f a af ，依题意有322422721aaaa 2721 a 10 分 0a 时： ()xf 在 (0,| | 1)a 时， 2m a x 1 (1 ) (1 2 )( ) | ( )x a a aff 22(1 )(1 2 )2 aaa 即 326 5 1 04 aaa

28、（） 记 326 5 1( ) 4 aaU a a ，则 22 11 2 5 1 2 ( ) 2 02( ) 1 2 aaU a a ()Ua为 R 上的增函数，而 (0) 1U ， 0a 时， 326 5 1 0( ) 4 aaU a a 恒成立，（）无解 . 综上， 2721 a 为所求 . 16 分 20解： 1122211nnnnnaaSS 时， 两式相减得 1122,11n n n nn n n n nnna a a aS S a a a aaaa a a （ 3 分） 当 1n 时 21 1 22 2 , 2 ,1aa S a aa 则，数列 na 的通项公式为 12.nnaa （ 5 分） 把数列 na 的通项公式代入数列 nb 的通项公式，可得 2 1 22 1 2 2 21l o g ( )1( l o g l o g l o g )1 2 4 2 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 1 2 1 2 11 ( 1 ) 22 2 111.21nnnb a a ana a ankn k k knnnnknk （ 8 分） 1 2 , 1 2 .nn k b （ 11 分） 数列 nb 单调递增，且13 1 1 3 10 , 0 ,2 2 1 2 2 2 1 2kkkkbb 则原不等式左边即为