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1、 09 年高考数学 复习 权威预测 题 专题一 集合、函数、复数、常用逻辑用语及导数的应用 【预测 1】已知集合 22| 2 3 0 , | 0A x x x B x x ax b ， A B R ， | 3 4A B x x ，则 sin cosa x b x 的最小值是 分析： 根据条件求出 ,ab的值，则函数 sin cosa x b x 的最小值为 22ab。 解析： | 1 3A x x x 或 ， A B R ， | 3 4A B x x ， 如图所示，借助于数轴可以看出， | 1 4B x x ， 1 4 3 , 1 4 4ab ，故函数 sin cosa x b x 的最小值为

2、 5 点评： 进行集合运算时可以借助于数轴或韦恩图，将集合问题以“形”的形式直观地表示出来，这是进行集合运算的一种基本思想。 【预测 2】集合 | 0 , | sin c o s , ,4M z z N y y x x x M 则 MN 分析： 集合 N 实际上是定义域为 M 时函数 sin cosy x x的值域 解析： 因为 2 sin 1 , 24yx ，故 MN 点评： 解决集合 问题的关键是搞清楚集合所表示的问题的意义。 【预测 3】如图所示，设点 A 是单位圆上的定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P 所经过的 AP 的长为 l ，弦 AP 的长为 d ，

3、则函数 d f l 的图象大致是 解析： 函数在 0, 上 的解析式为 2 2 21 1 2 1 1 c o s 2 2 c o s 4 s i n2ld l l ；在 ,2上的解析式为 2 2 c o s 2 2 s i n 2ldl ，故函数的解析式为 2sin2ld ，故答案为 【预测 4】 设函数 1, , 1f x n x n n ， nN ，函数 2logg x x ，则方程 f x g x 中实数根的个数是 -1 3 4 2 2 o o o o 2 2 2 2 2 2 解析： 解法一 详细画出 fx和 gx的图象，如下图所示，从图中不难看出方程 f x g x 有三个零点，故答案

4、为 3 解法二 当 0n 时， 1, 0 ,1 ,f x x 则 2 1lo g 1 0 ,12xx ； 当 1n 时， 0, 1, 2f x x，则 2lo g 0 1 1, 2xx ； 当 2n 时， 1, 2, 3f x x，则 2lo g 1 2 2 , 3xx ； 当 3n 时， 2, 3, 4f x x，则 2log 2 4 3 , 4xx ； 当 4n 时， 3, 4, 5f x x，则 2lo g 3 8 4 , 5xx 由此下去以后不再有根，所以答案为 3. 点评： 数形结合既是一种数学思想 ,又是一种解决具体问题的工具 ,它在高考应试中，具有十分重要的作用。 【预测 5】设

5、 ,ab R 且 2,a 若定义在区间 ,bb 内的函数 1lg 12axfx x 是奇函数，则 ab 的取值范围是 分析： 先根据奇函数的概念，求出 a 的值，进而再求出函数的表达式，再求出表达式的定义域，从而根据含 b 的定义域是其子集求出结果。 解析： 0f x f x 得 2221 114axx 2240ax ，从而 2a ， 12lg 12xfx x 从而12012xx 得 1122x ， 11,22bb ， 10 2b 故 32 2ab 【预测 6】设 i 为虚数单位，若 1 2 5 c o s s in ,z i i R 则 cos 的值为 1213 【预测 7】直线 y x b

6、 与圆 2220x y x 有公共点的一个充要条件是 1 2,1 2 【预测 8】命题 : 2 0 , 0 1;p m n 命题 :q 关于 x 的方程 2 0x mx n有两个小于 1 的正根，则 p 是 q 的 必要不充分 条件 【预测 9】已知命题“ 1* 1: , 1 2 nnp n N a n ”若该命题为真，则实数 a 的取值范围是 0 1 2 3 4 5 6 x y 3 2 1 -1 【预测 10】下列有关命题的说法错误的是 命题“若 2 3 2 0 , 1x x x 则”逆否命题为“若 1x ， 则 2 3 2 0xx ”; “ 1x ”是“ 2 3 2 0xx ”的充分不必要

7、条件； 对于命题 :p ,xR 使得 2 10xx ，则 :,p x R 均有 2 1 0;xx 若 pq 为假命题，则 p 、 q 为匀命题。 【预测 11】设函数 2 21 l n 1 , .f x x m x h x x x a （ 1） 当 0a 时， f x h x 在 0, 上恒成立，求实数的取值范围； （ 2） 当 2m 时，若函数 k x f x h x在 0,2 上恰有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围； （ 3） 是否存在常数 m ，使函数 fx和函数 hx在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。 解析： （ 1） f x h x 1

8、1 l n 1 0l n 1 xx m x m x ，记 x 1ln1xx，则 f x h x 在 0, 上恒成立等价于 maxmx ， 2ln 1 1ln 1 xx x ；当 0, 1xe时， 0,x 当 1,xe 时， 0,x 故 x 在 1xe 取得极小值，也是最小值，即 m a x 1x e e ，故 me ； （ 2） 函数 k x f x h x在 0,2 上恰有两个不同的零点等价于方程 1 2 ln 1x x a 在 0,2 上恰有两个相异实根，令 1 2 l n 1 ,g x x x 则 1xgx x ，当 0,1x 时， 0gx ，当 1,2x 时， 0gx ， 故 gx在

9、0,1 上是减函数，在 1,2 上是增函数，故 m in 1 2 2 ln 2g x g ，且 0 1, 2 3 2 ln 3gg ，因为 02gg ，所以 12g a g ，即可以使方程 在 0,2 上恰有两个相异实根，即 2 2 ln 2 , 3 2 ln 3a （ 3） 存在 12m 满足题意 22121 11 xmmf x x xx ，函数 fx的定义域是 1, ，若 0, 0,m f x函数fx在 1, 上单调递增，当 0, 0,m f x得 22 1 0xm ，解得 1 2mx 或1 2mx （舍去）故 0m 时函数 fx的单调递增区间是 1, ，单调递减区间是1, 1 2m ，而

10、函数 hx在 1, 上的单调减区间是 11, 2 ，单调递增区间是 1,2 ，故只需 1122m ，解得 12m ，即当 12m 时，函数 fx和 hx在其公共定义域上具有相同的单凋性。 【预测 12】已知函数 1 lnxf x xax （ 1） 若函数 fx在 1, 为增函数，求正实数 a 的取值范围； （ 2） 当 1a 时，求 fx在 1,22上的最大值和最小值； （ 3） 当 1a 时，求证对大于 1 的任意正整数 1 1 1 1, ln .234nn n 解析： （ 1） 利用 0fx 在 1, 恒成立得 10ax 在 1, 恒成立，从而得 1a ； （ 2） 用导数方法得 fx在区

11、间 1,22最大值为 1 ln2 ，最小值为 0 （ 3） 当 1a 时，由（ 1）时，函数 1 lnxf x xx在 1, 上是增函数，当 1n 时，令 1nx n ，则 1x ，故 10f x f，则 1 11 l n l n 01 1 11nn n nnfnn n n nn 即 1ln 1nnn 故21ln12 ， 31ln23 ， , 1ln 1nnn ，相中得 2 3 4 1 1 1 1l n l n l n l n1 2 3 1 2 3 4nnn 从而得 2 3 4 2 3l n l n l n l n l n l n1 2 3 1 1 2 1nn n 即 1 1 1 1ln 23

12、4n n 成立 【预测 13】设函数 3 2 221f x x m x m x m （其中 2m ）的图象在 2x 处的切线与直线5 12yx 平行。 （ 1） 求 m 的值和该切线方程；（ 2） 求函数 fx的单调区间；（ 3）证明：对任意的 12, 0,1xx ，有 12 4 .27f x f x 解析：（ 1） 本小题属常规问题 5 10y x x （ 2） 1m 时，增区间是 1,13，减区间是 1,3 和 1, （ 3） 等价转化为 12 m a x m i n 427f x f x f x f x 专题二 解 析 几 何 【预测 1】 已知抛物线 2 4yx 上两个动点 B、 C

13、和点 A（ 1， 2），且 90BAC，则动直线 BC 必过定点 5, 2 【预测 2】已知直线 12: 3 1 0 , : 2 0 ,l x y l m x y 两条直线分别和 x 轴、 y 轴所围成的四边形有外接圆，则实数 m 的值是 3 【预测 3】设 m 为实数，若 222 5 0, | 3 0 | 2 50xyx y x x ym x y ，则 m 的取值范围是 40 3m 【预测 4】已知直线 1ax by与圆 224xy有交点，且交点为“整点”（即交 点的横坐标、纵坐标均为整数），则满足条件的有序数对 ,ab 的个数为 8 【预测 5】如图所示，设 P 是椭圆 2 2:13xCy

14、上的一点，点 A、 B、 D 分别为点 P 关于 x 轴、 y 轴和原点的对称点，点 Q 为椭圆上异于点 P 的另一点，且 0,PD PQ DQ 与 BA 的交点为 M ，当点 P 沿着椭圆 C 运动时，设直线 PQ 与 DQ 的斜率分别为 ,PQ DQkK，求证： PQ DQkk 的值为定值。 解析： 设 1 1 2 2 1 1, , , , 0P x y Q x y x y ，则 1 1 1 1 1, , , , , ,A x y B x y D x y 依题意，得2 211 13x y 2 222 13x y 由 - 得 2 1 2 12 1 2 113y y y yx x x x 又2

15、 1 2 12 1 2 113P Q D Q y y y ykk x x x x 为定值 专题三 立体几何初步 【预测 1】已知三条不重合的直线 ,mnl 两个不重合的平面 和 ，则下列命题中，逆否命题不成立的是 当 ,mn时，右 /mn，则 / ; 当 b 时，若 b ，则 ； 当 , , ,mn 若 nm ，则 n ； 当 m 且 n 时，若 /nm， 则 /mn。 【预测 2】四棱锥 P-ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是 D，其三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的表面积为 222a 【预测 3】 如图，已知边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1， M

16、在 A1B1 上， A1M 13 ，点 P 在底面 A1B1C1D1上，点 P 到 AD 的距离与点 P 到 M 的距离的平方差为定值 a （ a 为常数），则点 P 的轨迹为 抛物线 提示： 以 A1B1 为 X 轴，以 A1D1为 Y 轴建立坐标系来解决问题 【预测 4】 设 ,abc是任意的非零空间向量，且相互不共线，则下列命题： 0;a b c c a b ;a b a b b c a c a b 不与 c 垂直； 223 2 3 2 9 4 .a b a b a b 其中真命题的序号是 【预测 5】 在正三角形 ABC 中， D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 AC 的中点， G

17、、 H、 M 分别为 DE、 FC、EF 的中点，将 ABC 沿 DE、 EF、 DF 折成三棱锥 P DEF，如图所示，则异面直线 PG 与 MN 所成角的大小为 6 aA C B D aaC1 第 6 小题图 A B C D A1 B1 D1 E O 第 5 小题图 P D E F H M G P 1B1C1DA B C D 1AM 【预测 6】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是棱 BC 的中点 . (1) 求证 :BD1/平面 C1DE； (2) 试在棱 CC1上求一点 P,使得平面 A1B1P平面 C1DE. 专题四 三角函数与平面向量 【预测 1】将函数 2 c o

18、s 3 s in 32y x x的图象沿向量 ,0ah 平移，可以得到 sin3yx 的图象，其中 h 12 【预测 2】设两个向量 12,ee满足 12| | 2,| | 1ee， 12,ee的夹角为 60 ，若向量 1227te e 与向量 12e te的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围为 1 4 1 4 17 , ,2 2 2 【预测 3】 如果 3 3 7 7s i n c o s s i n c o s ，且 0,2 ，那么 的取值范围是 5,44点评 ： 该题设计新颖 ,意在考察函数思想 ,注意 ,函数 37y x x是增函 数 . 【预测 4】 若平面向量 a 满足 2 , 2

19、 1 ,1 3 2 ,aa 则 3, 4a 的最小值是 41 【预测 5】在三角形 ABC 中， ,abc分别是是角 A、 B、 C 的对边，且 2 172 c o s c o s 22 2 4BC A （ 1）求 A 的度数； 60A （ 2）若 3 , 3 ( ),a b c b c 求 b 和 c 的值。 【预测 6】已知向量 2 c o s , 2 , 2 , 2 s i nab （ 1）若 ab ，求 的取值集合； |4 k k z （ 2）求 ab 的最大值及相应的 的取值集合。 2 2 2 , 4 k k z 专题五 数列、不等式 【预测 1】已知数列 na 的前 n 项和 nS

20、 满足 2lo g 1 1nSn ，则数列 na 的通项公式为 3, 12 , 2nnna n 【预测 2】已知数列 na 中， 211 3 10 , , ,2 8 2n n na a a 则数列 na 是 单调递增 数列（填单调递增或单调递减） 【预测 3】关于数列有下列四个命题 若 , , ,abcd 成等比数列，则 ,a b b c c d 也成等比数列； 若 na 既是等差数列，也是等比数列，则 na 为常数列； 若数列 na 的前 n 和为 nS ，且 1nnS a a R ，则数列 na 既是等差数列，也是等比数列； 若数列 na 为等差数列，且公差不为零，则 数列 na 中不含有

21、 mna a m n。 其中正确命题的序号是 【预测 4】已知等差数列 na 的前 n 和为 nS ，若 1, ,m m N且 21 1 2 10 , 3 8m m m ma a a S ，则m 10 【预测 5】 对正整数 n ，设抛物线 2 2 2 1y n x，过点 2 ,0Pn 任作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点，则数列 21nnOA OBn的前项 n 和公式为 1nn 【预测 6】 已知等差数列 na 的前 n 和为 nS ，且有 1 1 12 , 3 5 3 2n n n na S a a S n （ 1） 求数列 na 的通项公式； （ 2） 若 21nnb n a， 求数

22、列 nb 的前 n 和 nT ； （ 3） 若 2l g 2 l g 0 1nnnnc t t a t ，且数列 nc 中的每一项总小于它后面的项，求实数 t 的取值范围。 解析： （ 1） 22 nna ； （ 2） 212 2 3 2 nnTn ； （ 3 ） l g 2 l g l g 2 l gn n nnc t n n t nt t ， 111 , lg lgn n nnnc c t t t t ， 0 1 , l g 1 l g , l g 0 , 1t n t t n t t n t n ，则 nt ，1 1 1, , 011 2 21nn N tnn 【预测 7】设数列 na

23、的前 n 和为 nS ，已知 1 1 , 2 1 1 , 2 , 3 , 4nna S n a n n n （ 1）求证：数列 na 为等差数列，并分别写出 na 和 nS 关于 n 的表达式； （ 2）设数列11nnaa的前 n 和为 nT ，证明： 1154nT； （ 3） 是否存在自然数 n ，使得 2321 1 2 0 0 9 ?23 nSSSSn n 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 解析：（ 1） 24 3, 2nna n S n n ； （ 2）1 2 2 3 3 4 11 1 1 1 14 1 4nnnnT a a a a a a a a n ， nT 单调递增，故1

24、1,5nTT所以 1154nT。 （ 3） 由 22nS n n得 21ns nn 则 232 11 2 3nns s ss nn 22 1nn 21 3 5 7 2 1 1nn 21n，令 2 1 2009n 得 1005n 所以存在满足条件的自然数 1005n 【预测 8】设等比数列 na 的前 n 和为 nS ，首项 1 1a ，公比 1 , 01qf （ 1） 证明： 1nnSa ； （ 2） 若数列 nb 满足： *111 , , 22 nnb b f b n N n ，求数列 nb 的通项公式； （ 3） 记 11, 1nn nca b ， 数列 nc 的前 n 和为 nT ，求证

25、：当 2n 时， 2 2 4nT。 解析：（ 1） 1 11 111 11nnnna q qsqq ， 又 1111 1nnaa ， 1nnSa （ 2） 11111, 1 ,11 nnn n nbfb b b b 即 1nb是首项为11 2b ，公差为 1 的等差数列 1 2 1 1,n nnb 即 11nb n （ 3） 当 1 时， 111 1 1,122nnn n n na c a nb ， 211 1 11 2 32 2 2nnTn ， 231 1 1 1 11 2 32 2 2 2 2nn 由 - 得2 3 11 1 1 1 1 112 2 2 2 2 2nnnTn = 11212

26、2nnn ， 211 1 1 14 1 2 4 42 2 2 2n n n nnT n n ，又 数列 nT 是单调递增的，故当 2n时， 2 2,nTT即当 2n 时， 24nT 【预测 9】已知等差数列 na 满足： 113 4 0n n n na a a a （ 1） 是否存在常数 ，使得 11 ?n n n na a a a 请对你的结论作出正确的解 释或 证明； （ 2） 当 1 1a 时，求数列 na 的通项公式； （ 3） 若 2009a 是数列 na 中的最小项，求首项 1a 的取值范围。 解析： （ 1）存在； 证明如下：因为 11n n n na a a a 2111 1

27、0n n n na a a a 与 113 4 0n n n na a a a 比较，得213114解得 2 ， 此时 113 4 0n n n na a a a 1122n n n na a a a （ 2） 由（ 1）知 ( 2 ) ( 2 ) 2 2n n n na a a a 由于 2a （否则，如 2a ， 由递推式可以知道 1 2nnaa ，进而可以知道 1 2a ）故有111 122nnaa ，故数列 12na首项为11 11a ，公差为 1 的等差数列，故 1 1 1 1 ,1n nna 所以 12na n 。 （ 3） 由（ 2 ）知，112112na na ，易知函数 *1f x n Nna 在