1、 高二上期末考试模拟试题十七 数 学 (测试时间: 120 分钟 满分 150 分) 一 选择题 1. 中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率 3e ,一条准线方程为 3 6 0x的双曲线方程是( ) ( A) 22134xy ( B) 22153yx ( C) 22124xy ( D) 22142yx 2已知 (0,5)A 、 (0, 5)B , 2PA PB a,当 4a 和 5a 时, P 的轨迹分别是( ) ( A)双曲线和一条直线 ( B)双曲线和两条射线 ( C)双曲线的一支和一条直线 ( D)双曲线的一支和一条射线 3若方程 22121xymm表示双曲线,则 m 的取值范围是( )
2、( A) 21m ( B) 2m 或 1m ( C) 2m 且 1m ( D) mR 4( 2005 福建高考)已知 1F 、 2F 是双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的两焦点,以线段 12FF为边作正三角形 12MFF ,若边 1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( ) ( A) 4 2 3 ( B) 31 ( C) 312 ( D) 31 5设 P 是双曲线 19222 yax 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 1,023 Fyx 、 F2分别是双曲线的左、右焦点,若 3| 1 PF ,则 | 2PF ( ) A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 6
3、与曲线 14924 22 yx 共焦点,而与曲线 16436 22 yx 共渐近线的双曲线方程为( ) A 1916 22 xy B 1916 22 yx C 1169 22 xy D 1169 22 yx 7若椭圆 )1(122 mymx 与双曲线 )0(122 nynx 有相同的焦点 F1、 F2, P 是两曲线的一个交点,则 21PFF 的面积是( ) A 4 B 2 C 1 D 128以坐标轴为对称轴,以 30xy为渐近线且过点 ( 3, 6) 的双曲线的准线方程是( ) ( A) 922x ( B) 372y ( C) 22y ( D) 72x 9(湖南卷)已知双曲线22ax 22b
4、y 1( a 0, b 0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A, OAF 的面积为 22a ( O 为原点),则两条渐近线的夹 角为( ) A 30 B 45 C 60 D 90 10 (全国卷 II)已知双曲线 22163xy的焦点为 1F 、 2F ,点 M 在双曲线上且 1MF x 轴,则1F 到直线 2FM 的距离为 (C ) (A) 365(B) 566(C) 65(D) 5611已知双曲线 22154xy,若将该双曲线绕着它的右焦点逆时针旋转 90 后,所得双曲线的一条准线方程是( ) ( A) 43y ( B) 43y ( C) 163y ( D) 163y 12 直线
5、 10xy 与实轴在 y 轴上的双曲线 22 ( 0)x y m m 的交点在以原点为中心、边长为 2 且各边分别平行于坐标轴的正方形的内部,则 m 的取值范围是( ) ( A) 01m ( B) 0m ( C) 10m ( D) 1m 二 填空题 13已知 12,FF是双曲线 22116 9xy的两焦点,过点 2F 的直线交双曲线于点 ,AB,若| | 5,AB 则 11| | | |AF BF 等于 14若曲线 154 22 ayax 的焦点为定点,则焦点坐标是 15设椭圆 22162xy和双曲线 2 2 13x y的公共焦点为 12,FF P 是两曲线的一个公共点,则 12cos FPF
6、 等于 16直线 y x b与双曲线 2221xy相交于 ,AB两点,若以 AB 的直径的圆过原点,则 b 的值为 ; 三 解答题 17已知双曲线的中心在原点,焦点 1F 、 2F 在 x 轴上,离心率 35e ,且过点 47(4, )3A ( 1)求此双曲线方程 ( 2)若圆过此双曲线的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,求圆心到双曲线中心的距离 . 18已知双曲线方程为 2 2 19x y,过左焦点作倾斜角为 6 的直线交双曲线于 A、 B 两点 ( 1)求弦 AB 的长 ( 2)求左焦点 F1 到 AB 中点 M 的长。 19给定双曲线 22 12yx ,是否存在被点 (1,1)P
7、平分的弦?若存在,求出弦所在的直线方程;若不存在,请说明理由。 20设双曲线 2 22:1xCya ( 0)a与直线 :1l x y相交于两个不同的点 ,AB. ( 1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 . ( 2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P ,且 512PA PB ,求 a 的值 . 21 A、 B、 C 是我军三个炮兵阵地, A 在 B 的正东方向相距 6 千米, C 在 B 的北 30西方向 ,相距 4 千米 ,P 为敌炮阵地 .某时刻 ,A 发现敌炮阵地的某信号 ,由于 B、 C 比 A 距 P 更远,因此, 4 秒后, B、 C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每
8、秒 1 千米) .若从 A 炮击敌阵地 P,求炮击的方位角 . 22 (2005重庆卷 ) 已知 中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0),右顶点为 )0,3( 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: 2kxy 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 2 OBOA (其中 O 为原点 ),求 k 的取值范围。 参考答案 一、 选择题 CDADC ACCDC AC 二、 填空题 13 21 14 (0, 3) 15 13 16 2b 三、解答题 17解:( 1) 2 2 2222 259c a be aa , 43ab . 可设双曲线方程为 22 ( 0)9 1
9、6xy 点 47(4, )3A 在双曲线上, 16 16 7 19 9 16 因此双曲线方程是 2219 16xy. (2)显然 ,焦点与顶点是相对同一支的焦点和顶点 ,设为 (3,0)A , (5,0)F , 则圆心在直线 4x 上,代入双曲线方程得 2 7 169y 圆心到双曲线中心的距离为 22 7 1 61 6 1 693xy 18 解: a=3,b=1,c= 10 , ABl : y=31(x 10 )即 x= 3 y 10 . 将其代入 x2 9y2 9=0.得 6y2+2 30 y 1=0,y1 y2= 306 , My 3012 . |AB| 212 361 ( 3 ) 2yy
10、 |F1M|= 2)1(1|kyy FM = 3012 31 = 306 . 19 解:假设存在这样的弦 AB ,设 11( , )Ax y 、 22( , )Bx y ,则 1 2 1 22 , 2x x y y 由题意由 221122xyxy (1)(2)( 1) ( 2)得 1 2 1 2 1 2 1 22 ( ) ( ) ( ) ( )x x x x y y y y 1212 2AByyk xx 于是弦 AB 所在的直线方程为 1 2( 1)yx ,即 2 1 0xy ,将其代入双曲线方程,整理得 22 4 3 0.xx 1 6 4 2 3 8 0 ,说明此时直线与双曲线无公共点,矛盾
11、 故不存在这样的弦。 20解:( I)由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组 .1,1222yxyax 有两个不同的实数解 .消去 y 并整理得 ( 1 a2) x2+2a2x 2a2=0. .120.0)1(84 .01 224 2 aaaaa a 且解得所以 双曲线的离心率 ).,2()2,26(226,120.11122的取值范围为即离心率且且eeeaaaaae( II)设 )1,0(),(),( 12211 PyxByxA ).1,(125)1,(,125 2211 yxyxPBPA .125 21 xx 由此得 由于 x1, x2 都是方程的根,且 1 a2 0, .1317
12、,0602 8 912,.12125,1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以21 解 .以线段 AB 的中点为原点,正东方向为 x 轴的正方 向建立直角坐标系,则)32,5()0,3()0,3( CBA 依题意 4 PAPB P 在以 A、 B 为焦点的双曲线的右支上 .这里 5,3,2 2 bca .其方程为 )0(154 22 xyx 又 PPCPB 又在线段 AB 的垂直平分线上 073 yx 由方程组204507322 yxyx 解得 35 )(8yx 负值舍去 即 35,8P 由于 3APk ,可知 P在北 30东方向 . 22. 解:()设双曲线方程
13、为 221xyab ).0,0( ba 由已知得 .1,2,2,3 2222 bbaca 得再由 故双曲线 C 的方程为 .13 22 yx (将 得代入 132 22 yxkxy .0926)31( 22 kxxk 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 22221 3 0 ,(6 2 ) 3 6 ( 1 3 ) 3 6 ( 1 ) 0 .kk k k 即 .131 22 kk 且 设 ),(),( BBAA yxByxA ,则 226 2 9, , 2 2 ,1 3 1 3A B A B A B A Bkx x x x O A O B x x y ykk 由 得而 2( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 2 ( ) 2A B A B A B A B A B A Bx x y y x x k x k x k x x k x x 222 2 29 6 2 3 7( 1 ) 2 2 .1 3 1 3 3 1kkkkk k k 于是 223 7 3 92 , 0 ,3 1 3 1kk 即 解 此 不 等 式 得.331 2 k 由、 得 .131 2k 故 k 的取值范围为 33( 1, ) ( ,1). O
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