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“对数平均数不等式”应用举隅江苏省姜堰中学 张圣官(225500)已知为两不等的正实数,我们称为的“对数平均数”它与的“几何平均数”及“算术平均数”之间有如下不等关系:证明:不妨设先证,即证, 令,设, 则,所以在递减,而,因此当时,恒成立,即成立 再证,即证, 令, 则,所以在递增,而,因此当时,恒成立,即成立 该不等式本身的证明乃通过构造函数,借助于导数作为工具,利用函数单调性而得在处理某些与指数、对数相关的不等式问题时,可以尝试应用它来帮助思考分析 例1 已知函数(1)当时,求过点的曲线的切线方程;(2)当存在两个不同零点时,求证: 分析:第(1)题易得切线方程为;第(2)题中我们先要探究:当存在两个不同零点时,需要具备什么条件,又能推得什么结论?转化为研究曲线和直线,当直线与曲线相切时,设切点为,则切线方程为,因此这样当存在两个不同零点时,必有进一步思考,要证明,可转化为证明,或等思路 方法
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