1、1南开大学 2005 年数学分析考研试题1.计算二重积分 ，其中 .2DIxyd2,:1xyRy2.设 为由方程组 确定的隐函数，求 .ux,0,ufzghxydux3.求极限 .22211lim44nnn 4.求证 在 上连续.0sitfxd0,5.判断级数 的敛散性.11!2!nen6.设函数 在 上连续可导，且 ，fx,0f（1）求证 在 上一致收敛；1nf1,（2）设 ，求证 在 上连续可导.1nxSxfSx1,7.设 ， 在全平面 上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周 ,Py,Q2RC有 ，求证 .,0Cxdxy QPxy8.设 在 上两次可导， ， ，f0,a0fffa1f并且对任
2、何 ，有 .设 ，,x1fx,2,xgaa（1）求证 ；fg（2）求证存在 ,使得 ；（3）求证 .0xa00fxg2a9.设 和 在区间 内有定义，对任何 ，f b0,xb有 ， (1)求证 在 内连续;000xfgxf(2) 在 内左导数、右导数存在。,a2南开大学 2005 年数学分析考研试题的解答1、解 .D 0xy由 于 关 于 轴 对 称 ， 被 积 函 数 关 于 成 奇 函 数 ， 所 以 该 积 分 为2、解 ，zfyfdux其中 由 求出，xzy, 0xzhyggx。,xzxyyhgyzg3、解 原式. 1102012limarcsin|644()nkdxx4、证明 设 ，
3、 ，(,)sinaxtt,bxtt显然对任意 ， 一致有界，0M0|()|sin|2Mad对每 ， 在上 单调， ，),(1,txt(,)10(,)bxtt且当 时， 一致趋于 0，t(,b根据狄利克雷判别法，得 在 上一致收敛，0sintdx),(又 在 上连续，txsin(,),)(,)故 在 上连续。0sitfd5.解法 1 由泰勒公式 ，)!1(!21!nee则 ，0()!(!()!n而后者 收敛，则原级数收敛。1()!ne解法 2 利用 ,得0!k3原式 111!()!()!nknkj，所以原级数收敛。1(!)!jj6、证明 由于函数 在 上连续可导，且 ， 在 上连续，fx1, 0
4、ffx1,且有界，设 ；|M由拉格朗日中值定理， 211|()|()0|()|,xxMfffnnnn而 收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数 一致收敛。21n1()nxf因为 所以 一致收敛,22|()|,xMfn211()()nnxff于是可以逐项求导，且 ,它是连续的，故 连续可导.21()()nsf )(xs7、证明 用反证法：假设存在 ，有 ，),(0yx0),(0yPxQ不妨设 ，由连续函数的局部保号性，知道存在 的一个邻域),(0yxPQ ),(0yx，U当 时，有 ，(,)xy0),(yx则存在一个圆周 ， ，这与已知条件矛盾。0CU()0DQPPddxyA所以结论得证。8、证明 当
5、时， ，20ax()(0)()fxfffx时， ，a2()faxa综上，成立 ；xg用反证法，若对任意的 ，有 ，)( ),0()fxg则在 时， 不存在，矛盾。所以在 ,使得 ；2ax)xf 0a00fxg4由（1） 、 （2）知， 在 上， ，但 与 不恒等，)3(0,a)(xgf()fgx所以 ，00()()afxdgx，故 。12f29、证明 （1）对任意 ，由题设条件，得1313,(,)xabx， ，3222()()fxfg2212()()ffgx从而得到，32122()()fxfffx即 ，于是 在 上是凸函数，3221()()ffffx()fx,ba由此而来，成立 ，313221
6、()()ffffxff进而 ，关于 是单调递增的，关于 是单调递增的。00 0()(,()fxFxx0（2）对任意固定 ，任取0(,)ab1244012,(,)abx则有 ，4100 20()()fxffxffxf则 ，关于 单调递增，且有下界，于是存在右极限，00 0()(,()fFx即 存在，同理可证 存在，由极限的保不等式性，可得 。)0f 0f 00()fxf于是 在 内右导数存在， 在 内左导数存在，且 。()fx,ba()fx,ba()ff(3)对任意 , ,3124，31321424() ()fxffxffxffxfffx从而有521()()fxff f 于是有 ，2121|ffLx即得 在 上是 Lipschitz 连续的,从而 在 上是连续,x,fx故可得知 在 内连续.fI当 有端点时， 在断点处未必连续.Ix（注： 在 上未必有界。()g,ba例如 ， ，在 上是无界的。 ）ln(0,1)fx1()gxfx(0,)例 1 设 ，显然此函数在 上是凸函数 ,2,f,但是 在 上无最小值， 在 处不连续.fx0,1fx0例 2 设 ， ，,x在 上是凸函数，且有下界，fx,但是 在 上无最小值.10,x
