1、智浪教育-普惠英才文库2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,ab=a( a+b) +b, 已知a2.5=28.5，则实数a的值是 。【答案】4， 1322、在三角形ABC中， ，其中a,b是大于1的整22b1,aABCA数，则b-a= 。【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。【答案】50,944、已知关于x的方程 有实根，并且所4322()()0xkxk有实根的乘积为2，则所有实根的平方和为 。【答案】55、如图，直角三角形ABC中, AC=1 ，
2、 BC=2，P为斜边AB上一动点。 PE BC， PFCA，则线段 EF长的最小值为 。【答案】 256、设a ， b是方程 的两个根，c ， d是方26810x程 的两个根，则(a+ c )( b + c)( a d)( b d)的值 2810x。【答案】2772FECBAP智浪教育-普惠英才文库7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。【答案】 132k8方程xyz=2009的所有整数解有 组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD ， ABC= 78，BCD=162。
3、设AD,BC延长线交于E ，则AEB= 。【答案】2110、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=BCD= 90，AB=BC=10，点M在BC 上，使得ADM是正三角形，则 ABM与DCM的面积和是 。【答案】 3015二、（本题15分）如图，ABC 中ACB =90，点D 在CA上，使得CD=1, AD=3，并且BDC=3 BAC，求BC 的长。解：设BC=x，则 ，21BDxAB CDEMCDA BCBAD E智浪教育-普惠英才文库，如图，作 ABD平分线BE，则 ,因此216ABx BDEA:。3DE由角平分线定理可知 。3DEBEBA因此 ，解得229116xx41Cx三、（本题15分）
4、求所有满足下列条件的四位数 ，abcd其中数字c可以是0。2()abcd解：设 ,，则 ，故,xyd21()xy有整数解，由于10 x 100，故y0。因此22(1)()是完全平方数，04(509)xyyy可设 ，故 ，0 50- t50+ t之和为100，259t (t而且其中有11的倍数，只能有50t= 1或50 t=45，相应得到y=1,25，代入解得 因此 。823,15xxyy9801,253abcd四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。解：由于 这14个合数都2222222,357,13,9,317,
5、43小于2009且两两互质，因此n15。而n= 15时，我们取 15个不超过2009的互质合数 的最小1215,a素因子 ，则必有一个素数47，不失一般性设 ，由1215,p 47p于 是合数 的最小素因子，因此 ，矛盾。因此，5a2154709ap任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。智浪教育-普惠英才文库五、（本题15分）若两个实数a,b,使得, 与 都是有理数，称2ab2数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数，使得(a ， b)是和谐的；证明：若(a ， b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；证明：若(a ， b)是和谐的，且 是有理数，则a,b都是有理数；解：不难验证 是和谐的。1(,2,)a由已知 是有理数， 是有理2)(1tbababs数，因此 ，解得 是有理数，当然b=sa也1ta2ts是有理数。若 ，则 是有理数，因此 也是有理数。20abab2()ab若 ，由已知 是有理数， 也是有理2221xabay数，因此 ，故 是有理数，因此 也是有21ybx2ybx2()b理数。
