1、智浪教育-普惠英才文库0初中数学竞赛辅导资料(30)概念的分类甲内容提要1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时,按照某一个标准把它分成几个小类,能更明确这一概念所反映的一切对象的范围,且能明确各类概念之间的区别与联系。2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准,把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类,也可用角的大小分类;又如整数可按符号性质分为正、负、零,也可以按除以模 m 的余数分类。分别表示如下:整数 整数 整数 整数不零正 整 数 奇 数偶 数 231余除 以 余除 以 整 除能 被 3421余除 以 余除 以 余除 以 整 除能 被3.
2、 一种概念所分成的各类概念应既不违漏,又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类,并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如 正整数按下列分类是正确的正整数 正整数1合 数 正 偶 数正 奇 数如果只分为质数和合数,则外延总和比正整数的外延小;如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大,因此都不对。又如等腰三角形的定义是:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类 应是分成两类:不等边三角形和等腰三角形, 而不能是三类:(不等边,等腰,等边)如果这样,三边相等的三角形将落入两类(等腰,等边) ,所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4.
3、二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形 平面内两条直线位置等 腰 三 角 形不 等 边 三 角 形 不 相 交相 交智浪教育-普惠英才文库1实数可分为:非负实数和负实数;四边形可分为:平行四边形和非平行四边形等等。5. 从属关系的概念(上下位概念)是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如:等边三角形从属于等腰三角形,而等腰三角形又从属于三角形又如:代数式包含有理式和无理式,有理式包含整式和分式,整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下:6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥,互不相容。由同一种概念分成的各
4、类概念之间的关系是并列关系的概念(同位概念) 。例如:偶数和奇数;有理式和无理式;直角三角形、钝角三角形和锐角三角形,它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。 一种概念用不同的标准分类,所得的各类概念之间的关系 可能就有交叉关系的概念。例如:正数和整数是交叉关系的概念,既是正数又是整数的数叫做正整数;等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念,外延重叠的部分,叫做等腰直角三角形。图示如下:三角形 等腰三角形等边三角形代数式有理式整式单项式智浪教育-普惠英才文库2乙例题 30例 1.把一元一次不等式 axb (a,b 是实数,x 是未知数)的
5、解的集合分类。解:把实数 a,b 按正,负,零分类,得不等式解的集合如下:axb 的解集 不baabxba00且例 2.一个等腰三角形的周长是 15cm,底边与腰长的差为 3cm,求这个三角形的各边长。解:设底边长为 xcm,则腰长是 cm2-15x当腰比底大时是 x=3 x=3 6 -2-15x当腰比底小时是 x =3 x=7 =4x答(略)例 3.化简 ( 2 2)1()(xyx1解:要使 有意义,必须且只需 x+10,即 x11x( 2 x+12 x12)()(1x当1x1 时,原式(x1)+x10当 x1 时, 原式x 1x12x2化去分母根式时,要乘以 ,当 x=y 时,不能进行。故
6、y当 x=y 时 yxx智浪教育-普惠英才文库3当 xy 时 yx1xy例 4.设 a,b,c 是三个互不相等的正整数求证:a 3bab 3,b3cbc 3,ca3ca 3 三个数中,至少有一个能被 10 整除(1986 年全国初中数学联赛题)分析:1025,只要证明三个数中,至少有一个含 2 和 5 质因数即可,含 2,可把 a,b,c 分为奇数和偶数两类;含 5,则要按除以 5 的余数分类。解: a 3bab 3=ab(a+b)(a-b) , b3cbc 3=bc(b+c)(b-c), ca3ca 3=ca(c+a)(c-a) 不论 a,b,c 三个数中有 1 个是偶数,或 3 个都是奇数
7、(奇 奇偶),三个代数式所表示的数都是偶数,即含有质因数 2; a,b,c 除以 5 的余数只有 0,1,2,3,4 五种。若有 1 个余数是 0,则三个代数式所表示的数中必有 1 个含质数5; 若有 2 个余数相同,则它们的差的个位数字是 0,也含有质因数5;若既没有同余数又没有余数 0,那么在 4 个余数 1,2,3,4 中任取 3 个,必有 2 个的和是 5,即 a+b,b+c,c+a 中有 1 个含质因数 5。综上所述 a 3bab 3,b3cbc 3,ca3ca 3 三个数中,至少有一个能被10 整除。丙练习 301. 把下列概念分类(一种或几种) 实数 有理式 小于平角的角 平面内
8、点与直线位置2. 把一元一次方程 ax=b (a,b 是实数)的解分类。3. 用二分法把下列概念分类(任举一例) 整数 方程 角 直角三角形 四边形 4. 指出下列概念分类的错误平面内两直线的位置关系 有理数垂 直相 交平 行 0负 数正 数智浪教育-普惠英才文库4一元方程 一 元 三 次一 元 二 次一 元 一 次5. 解方程和不等式 4 12x2x2x6. 化简: 1a7. 已知等腰三角形的一个外角等于 150 ,求各内角的度数。8. 已知方程 无解,求 a 的值。02xa(1987 年泉州市初二数学双基赛题)9. 第一组 5 人,第二组 m 人,从第一组调几人到第二组,使第二组人数等于第一组人数的 2 倍? (1987 年泉州市初二数学双基赛题)10. x 取什么值时,x 2 3x 的值是正数?11. 有 n 个整数其积为 n,其和是 0。即 0321nnaa求证:n 是 4 的倍数12. 对任意两个整数 a 和 b.,试证明:a+b,a-b,ab 三个数中至少有 1 个能被 3 整除 13. 关于 x 的方程 ax+2 有根且只有负根,则 a 的取值范围是 _ (1988 年泉州市初二数学双基赛题)14 试证每个大于 6 的自然数 n 都可以表示为两个大于 1 且互质的自然数的 和 提示:按奇数和偶数分类(1995 年全国初中数学联赛题)