1、一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、已知集合 , ,则 ( )|10Ax2|0BxRACB. . . .0,)B(,5C(,D5,)2、若实数 满足 ( 为虚数单位) ,则 ( )a2iia. . . .A1B123、甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ,且两人是否获得一等奖相互独立,则两人中恰有一个人获234得一等奖的概率是( ). . . .A4BC57D124、若 ,则 的值为( )1sin()632cos(). . . .1393795、上海浦东新区
2、2008 年生产总值约 3151 亿元人民币,如果从此浦东新区生产总值的年增长率为 ,求浦东新区最早哪一年的生产总值超过 8000 亿元人民币?0.5%某同学为解答这个问题设计了一个程序框图,如图 1,但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了,则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是( ). . . .AabBabC()nabDnab6、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,如图 2,描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是( ).消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米A. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
3、B.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 C. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车D更省油7、平行四边形 中, , , ,点 在边 上,则ABCD21AD1BMCD的最大值为( )M. . . .231028、函数 在区间 内是增函数,则( )()sin)(,)fx(,)4. . . .A4B2fx的 周 期 为 C4的 最 大 值 为 D3()04f9、已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上,DACO, ,若三棱锥 体积的最大值为 2,则球 的表面积2B2DABO为( ). . . .A895312910、已知双曲线 的右焦点
4、为 ,右顶点为 ,过 作21(0,)xyab(,0)FcAF的垂线与双曲线交于 两点,过 分别作 的垂线,两垂线交于FBC、 B、 ACB、点 ,若 到直线 的距离小于 ,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( Dc). . A(,1)(,)(1,0),. .C2D2()11、如图 3,画出的是某四棱锥的三视图,网格纸上小正方形的边长为 1,则该几何体的体积为( ). . . .A5B6C5035312、已知 都是定义域为 的连续函数。已知:()fxg、 R满足:当 时, 恒成立; 都()g0()0xxR有 . 满足: 都有 ;当()xf (3)()ff时, .若关于 的不等式 对3,x3()fx
5、x2()gfxa恒成立,则 的取值范围是( )2,a. . . .ARB133,42C0,1D(,01,)二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。13、 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 . 5()2xa14、已知椭圆 的左右焦点是 ,设 是椭圆上一点,21(0)yab12F、 P在 上的投影的大小恰好为 ,且它们的夹角为 ,则椭圆的离心率 为 . 12FP1P6e15、若平面区域 夹在两条平行直线之间,则当这两条平行直线间的302xy距离最短时,它们的斜率是 . 16、在 中, 且 , 边上的中线长为 ,则 的ABC621sincoCB7ABC面积是 .三、解答题:解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和为 , ,且 , .nanS12a1()(1)nnSnN(1) 求证:数列 为等差数列,并求数列 的通项公式;nna(2) 设 ,求数列 的前 项和 .13()nnbaAnbnT18、 (本小题满分 12 分)如图 4,多面体 中,平面 为正方形,ABCDEFABCD, , ,二面角 的余2AB35E弦值为 ,且 .5/EFBD(1) 证明: ACE平 面 平 面(2) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .19、 (本小题满分 12 分)某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量 与尺
7、寸()yg之间近似满足关系式 ( 为大于 0 的常数).按照某项指标测定,()xmbycxA、当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品. 现随机抽取 6 件合格产品,测(,)97e得数据如下:尺寸 ()x38 48 58 68 78 88质量 yg16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比 x0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290(1) 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件,记 为取到优等品的件数,试求随机变量 的分布列和期望;(2) 根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:61(ln)iiixyA61(ln)iix61
8、(ln)iiy621(ln)iix75.3 24.6 18.3 101.4(i)根据所给统计量,求 关于 的回归方程;yx(ii)已知优等品的收益 (单位:千元)与 的关系为 ,则当zxy, 20.3zyx优等品的尺寸 为何值时,收益 的预报值最大?x附:对于样本 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘(,)1,2)ivun ubvaA估计公式分别为: , , .1122()nnii iii iivuvub aubv2718e20、 (本小题满分 12 分)已知抛物线 的焦点为 ,直线 交 于 两点.2:(0)CxpyFlCAB、(1) 若直线 过焦点 ,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 ,求证
9、:点lFBxOM的轨迹为 的准线;M(2) 若直线 的斜率为 1,是否存在抛物线 ,使得 的斜率之积、,且 的面积为 16,若存在,求 的方程;若不存在,说2OABkA明理由.21、 (本小题满分 12 分)已知函数 ,其中 .22()lnfxxa0a(1) 设 是 的导函数,讨论 的单调性;gf ()gx(2) 证明:存在 ,使得 恒成立,且 在区间 内有(0,1)f()0fx(1,)唯一解.22、 (本小题满分 10 分)选修 :坐标系与参数方程4在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 . 以坐标xOy1C2cos()inxy为 参 数原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
10、的极坐标方程为2C.4cos(1) 求曲线 的极坐标方程;1C(2) 射线 与曲线 , 分别交于 , 两点(异于原点 ) ,定点(0)31C2ABO,求 的面积.,)MAB23、 (本小题满分 10 分)选修 :不等式选讲45已知函数 ()2fxa(1) 若 ,求不等式 的解集;1()30fx(2) 关于 的不等式 有解,求实数 的取值范围.x a理科数学参考答案及评分标准第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B D B B D A C D B
11、 C D第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。题号 13 14 15 16答案 4031或213说明:15 题只答一个数不给分(即得 0 分)三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 12 分)(1)法一: nN, 21()nnS 1S -2 分又 12a 数列 nS是首项为 2,公差为 1 的等差数列 -3 分 2(1)n,即: 2nS -4 分当 时, 1nnaS, 当 n时, 1 N, 2n -6 分法二: 1()()nQ,(S即 1
12、(1)naS故 2()(2)n-得: 1(1)na化简得: -2 分21又由可知 ,即S21是首项为 2,公差为 2 的等差数列, -3 分na-4 分1()n, -5 分nS1()(1)Q是首项为 2,公差为 1 的等差数列. -6 分n(2)法一:解:由()得: 13()2nnb设数列 13n的前 项和分别为 A,则 312n-7 分记 ()2c,数列 nc的前 项和为 nB当 kN时, 21(21)4kk,则 2k当 1)n时, Bc ,()B -11分32,1(),nkTN-12 分法二:由(1)知 13()2nnb设 , 23()()46(1)2nnA 则 24 - 得 -8 分2
13、11()()nn (1)()nnn -10 分(1)2nA又 , -11 分01(3)133()2nnnnB , -12()2)nS分法三:由(1)知:由(1)知 13()2nnb-8 分1()2()2)(nnQ32()nAL(3)5(7)12(1) -10 分121n又 ,-11 分0 (3)33(1)2nnnnB -12 分(1)2)nSA18(本小题满分 12 分)(1)证明: D, 3E, 5,由勾股定理得: ADE -1 分又正方形 ABC中 ,2 分且 E, 面 C -3 分DC面、 D面 ,平面 平面 E -4 分(注:第(1)只有一种证明方法,必须前面两个线线垂直 ADE和AC
14、都出现,下面的 3、4 分才能给分,只写一个,本题只给 1 分。 上面一个垂直各占 1 分。 )(2)解:由()知 EC是二面角 AC的平面角 5 分作 O于 ,则 cos1ODE, 2O 由平面 B平面 ,平面 B平面 , 面ED得:面 A -6 分 (第 6 分给在 OE=2 上,如果后面 E 的坐标写对,也可给这 1 分)如图,建立空间直角坐标系,则 (2,10)、 (,)B、 (0,1)D、 (0,2) (2,1)AEEF的一个方向向量 2 -7 分设面 A的一个法向量 (,)nxyz,则 20nxyzDB, 8 分取 x,得: -9 分)3,((注:其他法向量坐标可按比例正确给,比如
15、 之类,也是正确的))23,1(又面 EDC一个法向量为: (1,0)m -10 分 27cos,n-11 分设面 AEF与面 C所成二面角为 ,由 为锐角得: 217cos,nm-12 分(注:最后需要根据条件作答案为“正值”的说明,只算法向量答案,不做文字说明,扣 1 分。 )(第(2)问解法 2) ( )7 分DBEF/ )0,2(B设面 A的一个法向量 nxyz,则 8 分02xFnzy令 ,得 , 9 分 (后面步骤相同)2x)3,((第(2)问解法 3)以 D 点建系的解法,求出来的法向量与以上建系的坐标一样。(第(2)问解法 4:几何法)连结 BD,延长 CB 至 G,使得 GB
16、=BC=2 , 连结 GA 并延长交 CD 的延长线于 H,连结 EH过 C 作 的延长线于点 K,连结 BK 5 分HEKB 为 CG 中点,AB/CD A 为 GH 中点, HD=CD=4BD/GH GH/EF, H、A、G、E、F 共面 6 分由(1)知 又 D面BHBCKGKC面 为所求二面角的一个平面角 8 分KC 而132EOHCRtOEt 9 分 10 分 13742GK 11 分172KGCGHK 为锐角 面 AEF与面 DCGKC所成二面角的锐角余弦值为 12 分17219(本小题满分 12 分)(1)解:由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间 ,97e内,即0.32,.8yx则随机抽取的 6 件合格产品中,有 3 件为优等品,3 件为非优等品 -1 分现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件,则取到优等品的件数 -0,123-2 分, , (算对两个给 1 分)0361()2CP12369()0CP, -3 分1369()036()2的分布列为123P1209209010-4 分-5 分193()02E(2)解:对 ( )两边取自然对数得 ,bycx,0lnlnycbx令 ,得 ,且 , -6 分ln,liiivuubva( )根据所给统计量及最小二乘估计公式有,-7 分1 2275.34618.0.710542niivb
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