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1. 证明：的充要条件是.证明：若，则，故成立. 反之，若，则，又，若，则，若，则.总有.故，从而有。 证毕2. 证明.证明：，从而，故，从而，所以.另一方面，必有，故，从而，所以.综合上两个包含式得. 证毕3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9.证明：定理4中的（3）：若（），则.证：若，则对任意的，有，所以（）成立知，故，这说明.定理4中的（4）：.证：若，则有，使 .反过来，若则或者.不妨设，则有使.故.综上所述有.定理6中第二式.证：，则，故存在 ，所以从而有.反过来，若，则使，故，从而. 证毕定理9：若集合序列单调上升，即（相应地）对一切都成立，则 （相应地）.证明：若对成立，则.故从定理8知另一方面，令，从对成立知.故定理8表明故.4. 证明的充要条件是.证：充分性 若，则必要性 若，而则存在.所以即所以这与矛盾，所以.4. 设,求.又如果,问是什么.解
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