2009年北京高级中学中等学校招生考试数学试卷.DOC

1、2009 年北京高级中学中等学校招生考试数学试卷学校 姓名 准考证号考生须知1.本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。2.在试着和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1.7 的相反数是A. B. C. D.177172.改革开放以来，我国国内生产总值由 1978 年

2、的 3645 亿元增长到 2008 年的 300670 亿元。将 300670 用科学记数法表示应为A. B. C. D.60.3153.0143.061430.6713.若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A.圆柱 B.正方体 C.球 D.圆锥4.若一个正多边形的一个外角是 40，则这个正多边形的边数是A.10 B.9 C.8 D.65.某班共有 41 名同学，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请 1 名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是A. B. C. D.0416.某班派 9 名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：这组数据

3、的众数和中位数分别是67,51,370,596A B C D,57,617.把 分解因式，结果正确的是32xyA. B. C D22xy2xy2xy8.如图，C 为O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交O 于 D、E两点，且ACD=45，DFAB 于点 F,EGAB 于点 G,当点 C 在AB 上运动时，设 AF= ，DE= ，下列中图象中，能表示 与 的函数关系式的图象大致是主视图 左视图 俯视图BFGEOACD二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9.不等式 的解集是 .325x10.如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，E 为 上一点，ABC若CEA= ，则ABD= .

4、811.若把代数式 化为 的形式，其中 为23x2xmk,mk常数，则 = .mk12.如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 落在 MN 上，落点记为 A，折痕交 AD 于点 E,若 M、N 分别是 AD、BC 边的中点，则 AN= ; 若 M、N 分别是 AD、BC 边的上距 DC最近的 n 等分点（ ,且 n 为整数） ，则 AN= （用2含有 n 的式子表示）三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）13.计算：10920614.解分式方程： 612x15.已知：如图，在ABC 中，ACB= ， 于点

5、90CDABD,点 E 在 AC 上，CE=BC,过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F .求证：AB=FC16.已知 ，求 的值2514x2211xx17.如图，A、B 两点在函数 的图象上.0my（1）求 的值及直线 AB 的解析式；（2）如果一个点的m横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。18.列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008 年 10 月 11日到 2009 年 2 月 28 日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为 1696 万人次，

6、地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次.在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？四、解答题（本题共 20 分，第 19 题 5 分，第 20 题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 4 分）19.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B= ,C= ,90AD=1,BC=4,E 为 AB 中点，EFDC 交 BC 于点 F,求 EF 的长. ANMB CA DEDA BC EDABE CFFEB CDA20.已知：如图，在ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点的O 交 BC 于点 G,交A

7、B 于点 F,FB 恰为O 的直径 .（1）求证：AE 与O 相切；（2）当 BC=4,cosC= 时，求O 的半径. 1321.在每年年初召开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况。以下是根据 20042008 年度报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分.请根据以上信息解答下列问题：表 1 20042008 年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位：亿元）年份 2004 2005 2006 2007 2008教育实际投入与预算的差值 6.7 5.7 14.6 7.3（1）请在表 1 的空格内填入 2004 年市财政教育实际投

8、入与预算的差值；（2）求 20042008 年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数；（3）已知 2009 年北京市财政教育预算是 141.7 亿元.在此基础上，如果 2009 年北京市财政教育实际投入按照（2）中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元？22.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图 1 所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图 2 所示的方法分割后，将三角形纸片绕 AB 的中点 O 旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形 DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有 5 个形状、大小相同的

9、矩形纸片，排列形式如图 3 所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图 3 中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可） ；（2）如图 4，在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边AB、BC 、CD、DA 的中点，分别连结 AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行四边形FGMBECOMNPQ 请在图 4 中探究平行四边形 MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分）23.已知关于 的一元二次方程 有实数x2410xk根， 为正整数.k（

10、1）求 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函x数 的图象向下平移 8 个单位，求平移后241yxk的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 轴x下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时， 的取值范1yxbkb围. 24.在 中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 得到ABD 90线段 EF(如图 1)（1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（P 1 不与 C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转 得到

11、线段 EC1.判断直线 FC1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 得90到线段 EC2.判断直线 C1C2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若 AD=6,tanB= ,AE=1,在的条件下，设 CP1= ，S = ，求 与 之间的43x1PFCAyx函数关系式，并写出自变量 的取值范围.x25.如图，在平面直角坐标系 中， 三个机战的坐标分别为xOyABC， ， ，延长 AC 到点 D,使 CD= ,过点 D 作 DEAB 交6,0A,B0,43C12ACBC 的延

12、长线于点 E.（1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 将四ykxb边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 与 y 轴的交ykxb点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）2009 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3

13、 4 5 6 7 8答案 D B A B C B D A二、填空题题号 9 10 11 12答案 1x 28 32（ ，且 为整数）1n2 n三、解答题13解：1029|5|06514解：去分母，得 (2)6()(2)xxx解得 1x经检验， 是原方程的解原方程的解是 ED BCEA15证明： 于点 ，FEAC 90B， 90B 又 于点 ，D AF在 和 中，C EB， ， A F C16解： 2(1)2(1)xx22xx51当 时，24x原式 ()517解：（1）由图象可知，函数 （ ）的图象经过点 ，myx0(16)A，可得 6m设直线 的解析式为 ABkb ， 两点在函数 的图象上，(

14、1)， ()， yx 解得6.kb， 17.kb，直线 的解析式为 AByx（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 18解法一：设轨道交通日均客运量为 万人次，则地面公交日均客运量为 万人(469)x次依题意，得 (469)1x解得 35yx6BAO 1164693569143x答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1 343 万人次解法二：设轨道交通日均客运量为 万人次，地面公交日均客运量为 万人次xy依题意，得 469.yx，解得 351.y，答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1 343 万人次四、解答题19解法一：如图

15、 1，过点 作 于点 DGBC ，90A ， 可得四边形 为矩形 B， ，4C 3G ，9045D， AB又 为 中点，E 132 ，FDC 45在 中， BE 90 32sin解法二：如图 2，延长 交 的延长线于点 FDAG ，AC ， 四边形 为平行四边形， G1 ，3EB， F ，14ADC，设 ，则 ， Gxx41FxGD， 解得 32A DBECF图 1GA DBECF图 2G312，45C 1在 中， ，BEF 90 32cos20 （1）证明：连结 ，则 OMB 平分 AC 3 2 B OE在 中， ， 是角平分线， AC 90 M 与 相切EO（2）解：在 中， ， 是角平分

16、线，B ACE 1C， ，4cos3， 11BEA，在 中， ， 90B 6cosC设 的半径为 ，则 O rOr ，M AE B 62r解得 3 的半径为 O 221解：（1）表 1 20042008 年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位：亿元）年份 2004 2005 2006 2007 2008教育实际投入与预算的差值 8 6.7 5.7 14.6 7.3O BGECMA F 12 3（2） （亿元） 86.7514.6732.8465所以 20042008 年市财政教育实际投入与预算差值的平均数是 亿元8.46（3） （亿元） 14.0.估计 2009 年市财政教育实际投入

17、可能达到 亿元10.22解：（1）拼接成的平行四边形是 （如图 3） ABCD（2）正确画出图形（如图 4）平行四边形 的面积为 MNPQ25五、解答题：23解：（1）由题意得， 168()0k 3k 为正整数， 2， ，（2）当 时，方程 有一个根为零；12410xk当 时，方程 无整数根；k当 时，方程 有两个非零的整数根32xk综上所述， 和 不合题意，舍去； 符合题意13k当 时，二次函数为 ，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解k24yx析式为 246yx（3）设二次函数 的图象与 轴交于2xx两点，则 ， AB、 (30)， (1)B，依题意翻折后的图象如图所示当直线 经过

18、 点时，可得 ；12yxbA32b当直线 经过 点时，可得 B1由图象可知，符合题意的 的取值范围为 (3)32b图 3DABCA DGCBE QHFMNP图 4A O xy86422 468B24解：（1）直线 与直线 的位置关系为互相垂直1FGCD证明：如图 1，设直线 与直线 的交点为 H线段 分别绕点 逆时针旋转 90依次得到线段 ，ECP、 E1EFG、 1 190GFGPFC， ， ， ，1190 1EPC 1GF 1 ，ECD ，190P GF H 90C 1D按题目要求所画图形见图 1，直线 与直线 的位置关系为互相垂直12GCD（2）四边形 是平行四边形，AB C ，46tan3DE， ， 5t，可得 4由（1）可得四边形 为正方形FCH CHE如图 2，当 点在线段 的延长线上时，1P ，14FGx， 11()22PxS ()yxFDCBA E图 1G2G1P1HP2DG1P1HCBA EF图 2