1、123456789第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷答案与评分标准一 、参 考 解 答 ：由 于 湖 面 足 够 宽 阔 而 物 块 体 积 很 小 ， 所 以 湖 面 的 绝 对 高 度 在 物 块 运 动 过 程 中 始终 保 持 不 变 ， 因 此 ， 可 选 湖 面 为 坐 标 原 点 并 以 竖 直 向 下 方 向 为 正 方 向 建 立 坐 标 系 ，以 下 简 称 系 . 设 物 块 下 底 面 的 坐 标 为 ， 在 物 块 未 完 全 浸 没 入 湖 水 时 ， 其 所x x受 到 的 浮 力 为( ) (1)2bfgb式 中 为 重 力 加 速 度 .物 块 的 重 力
2、 为g(2) 设3gf物 块 的 加 速 度 为 ， 根 据 牛 顿 第 二 定 律 有a(3) 将3gbbaf(1)和 (2)式 代 入 (3)式 得(4)xb将 系 坐 标 原 点 向 下 移 动 而 建 立 新 坐 标 系 ， 简 称 系 . 新 旧 坐 标 的 关 系x/b X为 (5) 把 (5)式Xx代 入 (4)式 得(6)gaXb(6)式 表 示 物 块 的 运 动 是 简 谐 振 动 . 若 ， 则 ， 对 应 于 物 块 的 平 衡 位 置 . 0a由 (5)式 可 知 ， 当 物 块 处 于 平 衡 位 置 时 ， 物 块 下 底 面 在 系 中 的 坐 标 为 x(7)
3、 0x物 块 运 动 方 程 在 系 中 可 写 为 X(8) ()cosXtAt利 用 参 考 圆 可 将 其 振 动 速 度 表 示 为(9) ()sinVtt式 中 为 振 动 的 圆 频 率(10) gb在 (8)和 (9)式 中 和 分 别 是 振 幅 和 初 相 位 ， 由 初 始 条 件 决 定 . 在 物 块 刚 被 释 放A时 ， 即 时 刻 有 ， 由 (5)式 得0tx=010(11)(0)Xb(12)()0V由 (8)至 (12)式 可 求 得(13) Ab(14)将 (10)、 (13)和 (14)式 分 别 代 人 (8)和 (9)式 得(15) cosXtbt(1
4、6)()inVtgt由 (15)式 可 知 ， 物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 时 恰 好 完 成 一 个 振 动 周 期 ； 但 物 块 的运 动 始 终 由 (15)表 示 是 有 条 件 的 ， 那 就 是 在 运 动 过 程 中 物 块 始 终 没 有 完 全 浸 没在 湖 水 中 . 若 物 块 从 某 时 刻 起 全 部 浸 没 在 湖 水 中 ， 则 湖 水 作 用 于 物 块 的 浮 力 变成 恒 力 ， 物 块 此 后 的 运 动 将 不 再 是 简 谐 振 动 ， 物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 所 需 的 时 间也 就 不 再 全 由 振 动 的
5、周 期 决 定 . 为 此 ， 必 须 研 究 物 块 可 能 完 全 浸 没 在 湖 水 中 的情 况 . 显 然 ， 在 系 中 看 ， 物 块 下 底 面 坐 标 为 时 ， 物 块 刚 好 被 完 全 浸 没 ； 由x b(5)式 知 在 系 中 这 一 临 界 坐 标 值 为X（ 17） 即b1X物 块 刚 好 完 全 浸 没 在 湖 水 中 时 ， 其 下 底 面 在 平 衡 位 置 以 下 处 . 注 意 到 在 振 动bX过 程 中 ， 物 块 下 底 面 离 平 衡 位 置 的 最 大 距 离 等 于 振 动 的 振 蝠 ， 下 面 分 两 种 情A况 讨 论 ：I . 由
6、(13)和 (17)两 式 得bAX(18)2在 这 种 情 况 下 ， 物 块 在 运 动 过 程 中 至 多 刚 好 全 部 浸 没 在 湖 水 中 . 因 而 ， 物 块 从初 始 位 置 起 ， 经 一 个 振 动 周 期 ， 再 次 返 回 至 初 始 位 置 . 由 (10)式 得 振 动 周 期(19)物2bTg块 从初始位置出发往返一次所需的时间(20)I2btTgII . 由 (13)和 (17)两 式 得bAX(21)2在 这 种 情 况 下 ， 物 块 在 运 动 过 程 中 会 从 某 时 刻 起 全 部 浸 没 在 湖 水 表 面 之 下 . 设从 初 始 位 置 起 ， 经 过 时 间 物 块 刚 好 全 部 浸 入 湖 水 中 ， 这 时 . 由 (15)1t 1bXt和 (17)式 得
