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第四章教学课题:第二节 幂级数教学目的:1、理解幂级数的收敛性;2、充分理解幂级数的收敛半径、收敛域的意义;3、切实掌握幂级数和函数的解析性。教学重点:幂级数和函数的解析性;教学难点:幂级数和函数的解析性。教学方法:启发式、探究式教学手段:多媒体与板书相结合教材分析:幂级数是一种简单解析函数项级数,把解析函数表示为简单的幂级数,不仅有理论上的意义,更有实际的意义。教学过程:1、幂级数的敛散性:本节研究一类特别的解析函数项级数,即幂级数其中z是复变数,系数是任何复常数。注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义;注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数;注解3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来,因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是,它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。首先研究幂级数的收敛性,我们有阿贝尔第一定理:定理4.10 如果幂级数在收敛,那么对满足的任何 z,它都不仅绝对收敛,而且内闭一致收敛。证明:由于幂级数在收敛,所以有,因此存在着有限常数M
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