2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题.DOC

1、智浪教育-普惠英才文库 1 （第 4 题图）AB CNM（ 第 2 题图）2013 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分 120 分，考试时间 120 分钟）姓名 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）1. 从长度是 2cm，2cm，4cm，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A B 431C 2D12如图，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC， ANBN 于 N，且AB=10，BC=15 ，MN=3 ，则ABC 的周长为（ ）A38 B39 C40 D. 41 3已知 ，且有 ， ，则 的值等于（ ）1x

2、y09215x0521yyxA B C D95 92014已知直角三角形的一直角边长是 4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是 10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）A6 B. 7 C8 D95设 ， ， 是ABC 的三边长，二次函数 在 时取最小abc 2)2(bacxbay1x值 ，则ABC 是（ ）8A等腰三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 6计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的 2 个连续存储单元

3、已依次存入数据 ， ，取出数据的顺序是 ， ；堆栈（ 2）的 3 个baab连续存储单元已依次存入数据 ， ， ，取出数据的顺序是 ， ，edccd，现在要从这两个堆栈中取出 5 个数据（每次取出 1 个数据），则不e同顺序的取法的种数有（ ）baedc（1） （2）（第 5 题图）智浪教育-普惠英才文库 2 A5 种 B6 种 C10 种 D12 种二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）7若 ，则满足该方程的所有根之和为 . 0412x8（人教版考生做）如图 A，在 ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD相切，若 AB=4，BE=5，则

4、DE 的长为 8（北师大版考生做）如图 B，等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 边上的两个动点，且总使 AD=BE，AE 与 CD 交于点 F，AGCD 于点 G，则 FA9已知 ，且 ，则 012a32234axx10元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有 8 元和 9 元两种.若两人购买商品一共花费了 172 元，则其中单价为 9元的商品有 件11如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，如果 CD 与地面成 ，A= ，CD=4m ，BC = m，则电线杆 AB 的长o45o6

5、0)264(为 _m 12实数 与 ，使得 ， ， ， 四个数中的三个有相同的数值，则所有具有xyyxxy这样性质的数对 为 ),(三、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 20 分，共 60 分）13.（本题满分 20 分）已知： 是完全平方式)()()( axcxbxa求证： cb(第 11 题图)AB CD（第 8 题图 A）BCDAEGFECBA（第 8 题图 B）D智浪教育-普惠英才文库 3 14.（本题满分 20 分）如图，将 OA = 6，AB = 4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，动点 M，N 以每秒个单位的速度分别从点 A，C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终

6、点O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作 NPBC，交OB 于点 P，连接 MP（1）点 B 的坐标为 ；用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 ；（2）记OMP 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式（0 t 6）；并求 t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当 S 有最大值时，在 y 轴上是否存在点 T，使直线 MT 把ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC 面积的 ？若存在，求出点 T 的31坐标；若不存在，请说明理由 15.（本题满分 20 分）OABCPNMxyOABCxy（备用图）(第 14 题图)智浪教育-

7、普惠英才文库 4 对于给定的抛物线 ，使实数 ， 适合于 .baxy2pq)(2qbap（1）证明：抛物线 通过定点；qp（2）证明：下列两个二次方程， 与 中至少有一个方程0202x有实数根.智浪教育-普惠英才文库 5 参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）16 C D B A D C二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）：7. ； 8. A： ； B： ； 9. 4； 10. 12； 11. ； 12. 2162 26.)1,(),三、解答题：（每题 20 分，共 60 分）13. 证明：把已知代数式整理成关于 x 的二次三项式，得原式3x 2+2(a+b+c)x+ab+a

8、c+bc 它是完全平方式， 0.即 4(a+b+c)212(ab+ac +bc)=0. 2a 2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab) 2+(bc) 2+(ca) 2=0.要使等式成立，必须且只需： 0acb解这个方程组，得 .b14. 解：（1）（6，4）；（ ）.（其中写对 B 点得 1 分） 3 分2,3t（2）S OMP = OM ， 1tS = （6 -t） = +2t （0 t 6）23t212(3)t当 时，S 有最大值8 分t（3）存在由（2）得：当 S 有最大值时，点 M、N 的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线 ON 的函数关系式为： 4yx设点 T

9、的坐标为（0，b），则直线 MT 的函数关系式为： ，3byx解方程组 得43yxb34y直线 ON 与 MT 的交点 R 的坐标为 4(,)b智浪教育-普惠英才文库 6 S OCN 436， SORT SOCN 2 10 分1213当点 T 在点 O、 C 之间时，分割出的三角形是OR 1T1，如图，作 R1D1y 轴，D 1 为垂足，则 SOR1T 1 RD1OT b2.224 ， b = .b 1 ，b 2 （不合题意，舍去）23460b3313此时点 T1 的坐标为（0， ）. 15 分23 当点 T 在 OC 的延长线上时，分割出的三角形是R 2NE，如图，设 MT 交 CN 于点E

10、，点 E 的纵坐标为 4，由得点 E 的横坐标为 ，31b作 R2D2CN 交 CN 于点 D2，则SR 2NE END2 = 2.131()b4()b96() ，b= .480b46823b 1 ，b 2 （不合题意，舍去）313此时点 T2 的坐标为（0， ）综上所述，在 y 轴上存在点 T1（0， ），T 2（0， ）符合条件20 分313215. 证明：（1） )(2qbap 代入抛物线 中，得qqpxy2 0)2(2axpby得 解得： ，02axby42bayx故抛物线 通过定点 10 分qpxy),(2（2） ，baq2 )(222 bapq= =bap442OABCxy（备用图）NMPR2T1T2R1ED2D1智浪教育-普惠英才文库 7 = )4()(2bap 0)4()( 222 baqp 与 中至少有一个非负.4 与 中至少有一个方程有实数根 .20 分02x2qpx