椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题.DOC

1、1椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ， 。若弦 ，21xyab(,0)FcABCDAB的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 。CDMN2(,0)acb（2）过椭圆 的长轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ，21xyab(,0)SsAB。若弦 ， 的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 。CDABNM2(,0)asb设 的直线为 ，则 的直线方程为 ，xmysCD1xysm， ，220xysbab222()()0aybsa， ， ，2224()s21212()syb由中点公式得 ，M22(,)amsbba将 用 代换，得到 的坐标m1N22(,)sb的直

2、线方程为 ，令 ，得N222)()1bsmaayxm0y2asxb所以直线 恒过定点 。MN2(,0)asb（3）过椭圆 的短轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ，21xy(,)TttAB。若弦 ， 的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 。CDABMN2(0,)bta2（4）过椭圆 内的任意一点 作两条互相垂直的弦 ，21xyab2(,)1)stQtabAB。若弦 ， 的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 。CDABMN22(,)asbt设 的直线为 ，则 的直线方程为 ，()xsmytCD1()xsytm， ，22()0xsytbab2222()0aybtbtab，由中点公式得12()st

3、ym22()(,sttsMa直线 的方程为： ，MN222()(Nbtsmtykxab即 ，所以直线 恒过定点 。22()Nastykx 22(,)asbt3重庆高 2018 级理科二诊 20（本题满分 12 分）已知 ， 是椭圆 的左右焦点。（2）过 作两条互相垂直的直1(,0)F2(,)2143xy2F线 与 （均不与 轴重合）分别与椭圆交于 四点。线段 ， 的中点分别是1l2xABCDABCD， ，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标。MNN设直线 ，联立椭圆方程 得：:(1)ABykx2341xy， ，22(43)840k2283Mk， ,2213Mky2243Nxk213()4Nky

4、xk由题意，若直线 关于 轴对称后得到直线 ，则得到的直线 与 关于 轴对BSBSSTy称，所以若直线 经过定点，则该定点一定是直线 与 的交点，该点必在 轴上。T x设该定点坐标 ， ，代入 坐标化简得(,0)tNMNMyxytx,N，所以过定点 。47t4,74结论（一）以 为直角定点的椭圆 内接直角三角形的斜边必过定点0(,)xy21xyab。 2200(,)aba推论 1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上。y证明：设右顶点 ，设 ，(0,)Pbykxb1yxbk， ，22ykxba22()0aa，将 换成 得：12,xkk122bkx由题意，若直线

5、关于 轴对称后得到直线 ，则得到的直线 与 关于 轴对BSyBSSTx称，所以若直线 经过定点，则该定点一定是直线 与 的交点，该点必在 轴上。T y设该定点坐标 ， ，(0,)t121212112()()kxbxbyyxktx ，所以过定点 。2221()kbatx2()0,ab推论 2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上。x证明：设右顶点 ，设 ，(,0)Paxmya1xa， ，22xmybb22()0by，将 换成 得：12ay1m22ay5由题意，若直线 关于 轴对称后得到直线 ，则得到的直线 与 关于 轴对BSxBSSTy称，所以若直线 经过定点，则

6、该定点一定是直线 与 的交点，该点必在 轴上。T x设该定点坐标 ， ，(,0)t121212112()()myayayxytx ，所以过定点 。2221()mabty2(),0ba下面探求 面积的最大值：ABP代入椭圆得：2()abxy2422 2()() 0()aabbmmy，2424()ab 2242 224212()1( ()ABP abmaabbSyabma ，当且仅当 时等号成立取最大值。面积在 单调递减。24()ba0m0,结论 2：以 为直角定点的抛物线 内接直角三角形的斜边必过定点0,xy2ypx，0(p)结论 3：以 为直角定点的双曲线 内接直角三角形的斜边必过定点0(,x

7、y21xyab2200(,)aba重庆高 2018 级文科二诊 20（本题满分 12 分）已知 ， 是椭圆 的左右焦点， 为椭圆的上顶点。1(,0)F2(,)2143xyB（2 ）过点 作两条互相垂直的直线与椭圆交于 ， 两点（异于点 ），证明：直线BST6过定点，并求该定点的坐标。ST（2 ）解：设 ，直线 ，联立椭圆方程得：12(,)(,)xyT:3BSykx， ， ，2(43)80kk12834k228434kk由题意，若直线 关于 轴对称后得到直线 ，则得到的直线 与 关于 轴对BSyBSSTx称，所以若直线 经过定点，则该定点一定是直线 与 的交点，该点必在 轴上。T y设该定点坐标

8、 ，(0,)t，121212112(3)(3)kxxtyyxktx 代入 ， 化简得 ，所以过定点 。1237t(0,)7重庆巴蜀中学高 2018 级届月考卷九理科 20（本小题满分 12 分）已知椭圆 的左右焦点分别是 ， ，上顶点 ，右顶点为 ，2:1xyCab1F2M(2,0)N的外接圆半径为 。12MF（1）求椭圆 的标准方程； (2)设直线 与椭圆 交于 ， 两点，若以 为直径的lCABA圆经过点 ，求 面积的最大值。NAB解：（） 右顶点为 ， ， (20)， 2a12MF， 121sinMObF124sinRb， 1b，椭圆的标准方程为 （4 分）24xy（）设直线 的方程为 ，

9、lmb12()()AxyB， ， ， ，与椭圆联立得 22()40y， （6 分） 12124by，7以 为直径的圆经过点 ， ABN 0AB， 122(2)()NxyBxy， ， ， ， （7 分） 22140， 1128()4bxmy2211124()bmxmyby，代入 式得 或 （舍去），2560b， 65故直线 过定点 （9 分）l， （10 分）221210461685642|55()()ABN mmSy令 ，24()0)thtm， ，则 28018245tttt， ，在 上单调递减， ()ht)， max()(0)ht，时， （12 分） 0mmax1625ABNS(一般化结论)

10、 ：直线 与椭圆 交于 两点， 为上顶点。2:1yCb,ABP(1) 若 ，则直线 过定点；（2）若 ，则直线 过定点；PABktPktAB证明：设直线 方程为 ，ykx， ，220ykxmbab2222()()0akmxab， ， ，224()k21xk221()mka（1） 1212PAybbxtt t22 22 21212 2()()()()0()()()0aakktxkmxktkmbb等式两边同时除以 ，化简得：()b222()()()0ktakakb8222222230akmbatakmbakb，所以直线 过定点 。2tAB2(0,)t1212 12()() 2PAybkxbkxmb

11、xktt tktx()()()2tmtmytbtyb 所以直线 过定点 。AB(,)bt（2017 年全国卷 1 理科 12 分）已知椭圆 ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭2xyab1(,)P2(0,)3(1,)2P43(,)圆上。（1）求椭圆方程； （2）设直线 不经过点 且与椭圆相交于 两点，24xyl2,AB若直线 与直线 的斜率之和为 ，证明： 过定点。2PA2B1l解析：（1）略；（2）（一）当直线 斜率不存在时，设 ， ，l:xm(,)Ay，(,)ABmy，得 ，此时直线 过椭圆右顶点，无两个交22121APykm2l点，故不满足。（二）当直线 斜率存在时，设 ， ， ，联立l:

12、()lykxm1(,)Axy2(,)B， ，222(14)84()04ykxkx 12284km，212()mxk21212112122()()()8(1)4PAyxkmxkxkmxkmkx，又 ，此时 ，存在m226(4)6k9使得 ，所以直线 的方程为： ， 过定点 。k0l21(2)ykxykxl(2,1)（一般化直角弦过定点）过 上一点 作两条互相垂直的弦 、 ，试研究弦 是否过定点？21xyab0(,)PxyPABA解：设 ，由 得到 12(,)(,)AxyBAB01020102()()xxyy设直线 的方程为 （斜率不存在时容易证明）:kxm2222 2()1()101ykx kx

13、mababab2200102()()1xkbxa又 在椭圆上 P20001022()()1kxmybxa同理可得： 22000010222()()()11yxykxkayabb将两式代入到得 000002 2()()()()xymxymkxykxa点 不在直线 上，P:ABk00k 00022kxymxba整理得： 直线 过定点2002()bkmAB2200(,)abxy注：引理：若 、 是方程 的两个实数根，则1x22(0)fxac10。00102()()fxxa证法思路二：设 在椭圆上，即 ，设 ，0,Py201xyab00()ykx0()yxk， ，022bab222200()()()0

14、kxkyxaykxb，2200001 12()()kyxabx k2200ka210221AB xykkx，211x2200()ABbaabyxkx所以过定点 。2200(,)aba已知椭圆 过点 ，离心率为 ， 、 是椭圆上两个动点，且直线21xyab(0,)P63AB、 的斜率之积为 。（1）求椭圆标准方程； （2 ）求 面积的最PAB321xyPAB大值。（一般结论）设 为椭圆 C: 上一点， 为曲线 C 的动弦,且弦 , 0(,)xy21xyab12P01斜率存在，记为 , ,则直线 通过定点 的充要条件是02P1k212P0(,)Mmxy(。122mbka（一般结论）过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的21xy0(,)Axy直线交椭圆于 ， 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.BCB20BCbka