1、1平面向量的极化恒等式及其应用一. 极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.证法 1 （向量法）设 则.,bADaB,baDBC. 2222222 AaDAC即 .2222AB证法 2 （解析法） 证法 3 （余弦定理）推论 1：由 知， ,2222 DDAC 2222ADBO即 2B2BAO推论 2： - 极化恒等式. 2241baba即 2BADB推论 3：在 中， 是边 的中点，则CO- 极化恒等式的几何意义.22241CA亦即向量数量积的第二几何意义.二. 平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.2222ADBDAC
2、三. 三角形中线的一个性质： .22C2OB推论 1： .2AO2221BAB推论 2： .2 22241C【应用】已知点 是直角三角形 斜边 上中线 的中点，则 .PABD2PCBA2四. 三角形“四心”的向量形态1. 是平面上一定点， 是平面上不同的三点，动点 P 满足OCBA,， ，则动点 P 的轨迹一定通过 的-P，0ABCA. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心2. 是平面上一定点， 是平面上不同的三点，动点 P 满足 OCBA,， .Psinsi，0则动点 P 的轨迹一定通过 的-ABCA. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心3. 是平面上一定点， 是平面上不同的三点，
3、动点 P 满足O,， ，CABAPcoscs，0则动点 P 的轨迹一定通过 的- A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心4. 是 所在平面上一点，若 ，P 是 的-BCAP BCA. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心5. 是 所在平面内的一点，满足 ，则点OA 222 OCOAB是 的- （ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心五. 典型案例分析问题 1 在 中， 是 的中点， ，则ABCM103BCA， AC【变式】已知正方形 的边长为 1，点 是 边上的动点，则DEDE问题 2 已知正三角形 内接于半径为 2 的圆 ，点 是圆 上的一个动点，则BOP的取值范围
4、是-PBA【变式】 （2010 福建文 11 题）若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点OF1342yx为椭圆上的任意一点，则 的最大值为 （ ）P3A. 2 B. 3 C. 6 D. 8问题 3 （2013 浙江理 7）在 中， 是边 上一定点，满足 ，且对于ABC0PABABP410边 上任一点 ，恒有 ，则ABPA. B. C. D. 2C2CC【变式】 （2008 浙江理 9 题）已知 是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量 满足ba, c，则 的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. D. .0cba 2问题 3 已知直线 与抛物线 交于点 ，点 为 的中点， 为抛物线上A
5、Bxy42BA,MC一个动点，若 满足 ，则下列一定成立的是 （ ） 【B】0CCmin0A. B. ，其中是抛物线过点的切线 MlC. D. （2013 年浙江省高中数学竞赛试题第 5 题）BA0AB0问题 4 在正三角形 中， 是 上的点， ,则CD13BD， A（2011 年上海第 11 题） 【 】215问题 5 在 中， ， 是 的中点，则 .AB3A， CC（2007 年天津文科第 15 题） 【 】问题 6 正方体 的棱长为 ， 是它内切球的一条弦（把球面上任意1DC2MN两点之间的线段称为球的弦） ， 为正方体表面上的动点，当弦最长时， 的最大值PPN为-.（2013 年浙江省
6、湖州市高三数学二模） 【2】.问题 7 点 是棱长为 1 的正方体 的底面1DCBA上一点，则 的取值范围是-. 1DCBACA（2013 年北京市朝阳区高三数学二模） 【 】.1,2问题 8 如图，在平行四边形 中，已知 ，BD58AD，则 . 的值为-.（2014 年高考江PDC3AA苏卷第 12 题） 【22】4问题 9 如图，在半径为 的扇形 中， , 为弧上的动1AOB06C点， 与 交于点 ，则 最小值为-【 】.ABOCP221问题 10 已知 是双曲线 上的一点， 是0,yxM:2byaxC21,F的两个焦点，若 ，则 的取值范围是（ ）21F0A. B. C. D. 3, 63, 32, 32,【椭圆与双曲线焦点三角形的几个结论】：在椭圆 中，设 ，则01:2bayxC21MF， ， .2cos21MFtan2SABCcbytan在双曲线 ，设 ，则0,1:byaxC21MF， ， .2sin21bMFcot2SABCcbyot课外探究 1. 已知点 是椭圆 上任意一点， 是圆 的直P1862xEF12:2yxM径，则 的最大值为-【23】FE2. 若直线 与圆 相交于 两点，则 =-02yx43:22yxCBA,CB-.3. 已知双曲线 的左顶点 ，右焦点 ， 为双曲线右支上一点，则132y12FP的最小值为-【2】1PFA
