集合及集合的表示 A.DOC

1、 让更多的孩子得到更好的教育1集合及集合的表示 A一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：1.了解集合的含义，会使用符号“ ”“ ”表示元素与集合之间的关系2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等学习策略： 数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论二、学习与应用1. 数轴上表示两个数， 边的数总比 边的数大.2. 一元二次方程根的判别式为： 当 0 时，一

2、元二次方程有 实根；当 0 时，一元二次方程有 实根；当 0 时，一元二次方程有 实根.“凡事预则立，不预则废” 科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？让更多的孩子得到更好的教育2集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一：集合的有关概念1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，

3、并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2一般地，研究对象统称为 ，一些 组成的 叫集合(set)，也简称 .要点诠释：（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它例如由“我们班的同学”组成的一个集合 A，则它是一个整体，也就是一个班集体（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合 A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合 B 的元素3关于集合的元素的特征(1) 性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则 x 或者是 A

4、的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2) 性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3) 性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由 1，2，3 组成的集合，也可以写成由 1，3，2 组成一个集合，它们都表示同一个集合.要点诠释：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题

5、的“突破口” ；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性” 4元素与集合的关系：(1)如果 a 是集合 A 的元素，就说 a A，记作 a 要点梳理 预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习课堂笔记或者其它补充填在右栏预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID： #2198#388553让更多的孩子得到更好的教育3(2)如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a A，记作 a 5集合的分类(1)空集： 元素的集合称为空集(empty set)，记作： .(2)有限集： 元素的集合叫做有限集.(3)无限集： 元素的集合叫

6、做无限集.6常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作 正整数集，记作 *或 +整数集，记作 有理数集，记作 实数集，记作 要点二：集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用 法和 法来表示集合.1. 法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于 2 且小于等于 8 的偶数构成的集合.2. 法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y 3-x，x 2+y2，；3. 法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画

7、一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.要点诠释：（1）用描述表示集合时应注意：弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么） ，是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围4. 法：图示法主要包括 Venn 图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Ven

8、n）图法. 如下图，就表示集合 .1,2341，2，3，4让更多的孩子得到更好的教育4类型一：集合的概念及元素的性质例 1.下列各组对象哪些能构成一个集合？(1)著名的数学家；(2) 比较小的正整数的全体；(3) 某校 2011 年在校的所有高个子同学；(4)不超过 20 的非负数；(5) 方程 在实数范围内的解；（6） 的近似值的全体.290x 2【答案】 【解析】【总结升华】(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的 性、性.(2)“有限集” 和“无限集 ”是通过集合里面元素的个数来定义的，集

9、合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.举一反三：【变式 1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.(1)你所在的班，体重超过 75kg 的学生的全体；(2)举办 2008 年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在 2011 年 3 月 11 日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于 0 且小于 1 的所有的实数.【答案】【解析】典型例题 自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三课堂笔记或者其它补充填在右栏更多精彩内容请学习网校资源ID： #2201#388553让更多的孩子得到更好的教育5例

10、2集合 由形如 的数构成的，判断 是不是A3(,)mnZ123集合 中的元素？【答案】 【解析】【总结升华】 举一反三：【变式 1】设 S=x|m+2n,Z(1)若 a Z，则是否有 a S？(2)对 S 中任意两个元素 x1，x 2，则 x1+x2，x 1x2，是否属于集合 S？【解析】让更多的孩子得到更好的教育6【变式 2】（2015 秋 石嘴山月考）定义集合运算 AB=z|z=xy（x+ y） ，xA，y B，设集合 A=0,1， B=2,3，则集合 AB= 【思路点拨】利用集合中新定义的元素的属性得出集合中元素的构成是解决该问题的关键，集合中元素不多时，将各个元素列举出来从而得到所求的

11、集合【答案】【解析】【总结升华】 类型二：元素与集合的关系例 3.（2015 北京西城区学探诊）给出下列六个关系：（1）0 （2）0 1，1 （3） 0*N （4） （5）0 0，1 （6）0 0 其中正确的关系是 【答案】【思路点拨】首先要熟悉集合的常用符号，空集，记作 ，N 表示自然数集， 或+N表示正整数集，Z 表示正整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集；然后要明确元素与*N集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质给定一个对象 a，它与一个给定的集合 A 之间的关系为 ，或者 ，二者必居其一解答这类问题的关键是：弄清aAa 的结构，弄清 A 的特征，然后才能下结论【解析】让

12、更多的孩子得到更好的教育7【总结升华】 举一反三：【变式 1】 用符号“ ”或“ ”填空（1）若 ,则 ；-2 .A=Z2A（2）若 则 ；-2 .B|10,x2B【答案】类型三：集合中元素性质的应用例 4.定义集合运算： .设集合 ，|(),ABzxyAyB0,1A，则集合 的所有元素之和为2,3BA. 0 B. 6 C. 12 D. 18【答案】【解析】【总结升华】 举一反三：【变式 1】定义集合运算： ，设 ，|,ABzxyAB1,2，则集合 的所有元素之和为（ ）0,2BA. 0 B. 6 C. 12 D. 18让更多的孩子得到更好的教育8【答案】【解析】例 5. 设集合 =x | ，

13、当集合 为单元素集时，求实数 的值.AR210axAa【答案】【解析】例 6.（2015 秋 吉林期中）已知集合 230,AxRaxaR=-+=（1）若 A 是空集，求 a 的取值范围；（2）若 A 中只有一个元素，求 a 的值，并把这个元素写出来；（3）若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围【思路点拨】 （1）A 为空集，表示方程 无解，根据一元二次方程根的230x-+=个数与 的关系，我们易得到一个关于 a 的不等式，解不等式即可得到答案。（2）若 A 中只有一个元素，表示方程为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于 a 的方程，即可求出满足条件的 a 的值。（3）若 A

14、中至多只有一个元素，则集合 A 为空集或 A 中只有一个元素，由（ 1） ， （2）的结论，将（1） ， （2）中的 a 的取值并进来即可得到得到答案。【答案】【解析】让更多的孩子得到更好的教育9【总结升华】 举一反三：【变式 1】 （2016 秋 咸阳月考） ，若 1A ，求 a 的2(1),3Aaa，值【思路点拨】集合 A 给出了三个元素，又 1 是集合 A 中的元素，所以分三种情况进行讨论求解【答案】【解析】类型四：集合的表示方法例 7试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程 的所有实数根组成的集合；230x(2)由大于 15 小于 25 的所有整数组成的集合.【答案】【解析】让更

15、多的孩子得到更好的教育10【总结升华】 （1） 法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“， ”隔开 .（2）列举法适合表示 集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.（3）用 法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.举一反三：【变式 1】下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是 （ ）A B C D0x=20a=0a=0【答案】【解析】【总结升华】通过此例题，应该明确用描述表示集合应注意：弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么） ，是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑【变式 2】用适当的方法表示下列集合：（1）比 5 大 3 的数；