随机-区间混合不确定性单输出模型确认指标.DOC

1、1随机-区间混合不确定性单输出模型确认指标赵录峰 1， 吕震宙 1， 阚丽娟 2（1.西北工业大学航空学院 陕西 西安 710072；2.空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西 西安 710051）摘要：针对既有随机变量又有区间变量的模型预测结果与实验数据之间的一致性度量问题，文章对随机-区间混合不确定性模型确认指标进行了研究。首先根据工程数学模型和实验过程中的不确定性来源，分析了随机-区间混合不确定性模型确认的特点；然后，运用概率方法和区间理论，提出了一种新的随机-区间混合不确定性模型确认指标，讨论了所提指标的性质，给出了指标的计算方法和步骤。最后，通过数字算例和工程算例，验证了本文所提指

2、标可行性和有效性。关键词：模型确认；指标；随机变量；区间变量；不确定性 中图分类号：O212.4；TP391.9 文献标志码：A Validation metric for single output models with stochastic and interval mixed uncertaintyZhao Lufeng1, Lu Zhenzhou *,1, Kan Lijuan2(1.School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xian 710072，china; 2. Equipment Managem

3、ent and Safety Engineering College, Air Force Engineering University, Xian 710051,china）Abstract: For the models with interval input variables and random input variables simultaneously, to measure the agreement between the quantitative predictions from a model and relevant empirical data, a validati

4、on metric is researched in this paper. Firstly, with respect to different sources of uncertainty existed in engineering mathematic models and experiments，the characteristic of the validation for models with stochastic and interval mixed uncertainty is analyzed. Secondly, a new validation metric for

5、model with stochastic and interval mixed uncertainty is proposed using interval theory and probability method. The properties of the proposed validation metric are discussed, and its calculation method and procedures are presented. Finally, a numerical test case and an engineering example are used t

6、o verify the feasibility and effectiveness of the proposed validation metric.Keywords: Model validation; Metric; Random variables; Interval variables; Uncertainty收稿日期：2017-04-28基金项目：国家自然科学基金（51475370）；中央高校基本科研业务费专项资金（3102015BJ（II）CG009）作者简介：赵录峰(1973-)，男，陕西富平人，博士研究生，E-mial:吕震宙(1966-)，女，教授，博士生导师，E-mia

7、l: 阚丽娟(1982-), 女，博士研究生， E-mail: 1. 引言随着现代科学技术的飞速发展和对产品质量要求的日益提高，很多产品的结构系统变得越来越复杂，研制周期增长，实验费用大幅增加。为了有效减少实验成本，产品的设计及评估过程已逐渐被数学模型预测所替代。由于受主、客观不确定性和实验数据欠缺的限制，数学模型与真实物理过程之间往往存在一定的差异，这在很大程度上影响到产品的设计与决策。因此，不确定性因素影响情况下的模型确认理论与技术，已成为国内外学术界和工业界的一项重点研究内容。模型确认是指从模型用途角度客观地评估一个模型在多大程度上能够准确描述真实物理世界的过程 1-3。模型确认主要包括

8、两个过程：一是应用模型确认指标对模型的准确性进行量化评估的过程；二是判断模型的准确性是否满足相应需求的过程。因此，开展模型确认工作，首先需要建立一个科学合理的模型确认指标。模型确认指标 4,5的定义是2“用来度量模型响应量与实验结果之间差异程度的指标”。目前，国内外学者对不确定性因素影响情况下的模型确认方法进行大量研究。如文献6,7提出了直接面积和 u-pooling 两种模型确认指标，分别用于单输出模型在单一位置和多个位置的模型确认；在这两个指标的基础上，文献8应用多维概率积分转换(PIT)方法，提出了 PIT 面积和 t-pooling 两种模型确认指标，文献9运用马氏距离(MD)方法,提

9、出了 MD 面积和 MD-pooling 两种模型确认指标，分别用于多维相关输出模型在单一位置和多个位置的模型确认。此外，文献10通过多输出响应量的数学期望列阵和协方差矩阵等数字特征，提出了多输出模型确认的局部混合矩指标和全局混合矩指标。已有的指标主要针对随机不确定性影响下的模型确认问题，运用概率论和数理统计方法进行研究。然而在实际工程建模过程中，有的输入变量能够获得明确的概率分布，而有的输入变量由于数据信息量少，或受认知水平的限制，只能采用区间变量来描述，对于这类既有随机输入变量，又有区间输入变量的混合不确定模型称之为随机-区间混合不确定性模型，关于这类模型的确认问题，目前还鲜有研究。在随机

10、-区间混合不确定性模型中，随机输入变量和区间输入变量之间可能相互独立，也可能存在一定的相关性，本文主要针对随机输入变量和区间输入变量共存且相互独立的混合不确定性单输出模型确认问题，分析了混合不确定性单输出模型的特点，在此基础上，提出了一种新的随机-区间混合不确定单输出模型确认指标，讨论了指标的性质，阐明了指标的求解方法，最后，通过一个数字算例和两个工程算例，验证了所提指标的可行性和有效性。2. 随机-区间混合不确定单输出模型确认问题的定性分析在工程设计与实验过程中，受随机因素的影响和认知能力的限制，所建工程问题的数学模型和实验过程常常具有明显的不确定性。文献11-14 对模型确认过程中的不确定

11、性进行了深入研究，归纳总结出模型确认中四类主要不确定来源：即参数不确定性、数学模型不确定性、物理实验结果不确定性和实验数据有限而导致的信息不确定性等。这些不确定性传递到模型输出响应量与实验结果，导致它们之间产生一定的差异。不确定性通常情况采用概率论的方法进行描述。当模型的输入变量或参数（如：载荷、几何尺寸，材料属性、边界条件）被看作随机变量，并采用概率分布函数描述其取值规律时，则模型的输出响应量（如：应力、应变、挠度、加速度）也为服从某一分布函数的随机变量；同理，物理实验结果也为服从某一分布函数的随机变量。在这种情况下，模型确认指标可以通过模型输出响应量概率分布函数与实验结果概率分布函数之间的

12、差异程度来描述 15。 但对于随机-区间混合不确定性模型而言，当区间输入变量取任意一个名义值时，模型的输出响应量则为服从某一概率分布的随机变量；当区间输入变量遍历整个区间时，模型的输出响应量则为服从某一区间概率分布的区间随机变量。同理，物理实验结果也为服从某一区间概率分布的区间随机变量。因此，随机-区间混合不确定性下的模型确认指标可以通过模型输出响应量区间概率分布函数与实验结果区间概率分布函数之间的差异程度来描述。3. 随机-区间混合不确定性单输出模型确认指标3.1 指标的构建在实际工程中，随机输入变量和区间输入变量经常出现在同一个模型之中，定义这种混合不确定性模型的表达式为：（1）()mZg

13、X,Y式中 为 维随机向量，12Rn=的取值规律由相应的概率密度函数 i ()iXfx描述。 为(,)Rn 12(,In维区间向量， 的取值规律则由相应的区I jY间 ( )描述， 和 分别jLU,I LjYUj表示第 维区间变量的下、上界。在式（1）中，当区间输入向量 取名义值 时， 的不确定性对输出响应量的影响将*y会被消除，模型输出响应量则为一个随机变量，它的分布函数则为一条曲线。当区间输入向量遍历其区间范围取所有名义值时，对应的模Y3型输出响应量则为区间随机变量，对应的区间分布函数则为一族曲线，且这些曲线具有相应的上、下界。本文绘制了区间输入向量 遍历Y其取值区间取所有名义值时，随机-

14、区间混合不确定性模型输出响应量 的区间分布函数族mZ曲线示意图（见图 1）。由图 1可以看出，当模型输出响应量为 时，与之对应的区间分布*z函数的取值为一个区间变量。当模型输出响应量*()()mLUZZF,YYy,在其取值范围取全部值时，对应的区间分布函数取值的上界和下界连起来，就形成如图 1实线所示的模型输出响应量区间分布函数的上、下界曲线 和 。()mUZzYy,()mLZFzYy,图 1区间变量取不同名义值时输出响应量的区间分布函数曲线 Fig.1The interval CDFs of the model responses with different realizations fr

15、om interval variable 同理，可以得到对应的实验结果响应量的区间经验分布函数 的上、下界eZ()eZFzYy,曲线 和 ，如图 2中线所示。()UFzYy,L图 2模型响应量区间分布函数和实验结果区间经验分布函数的上下界曲线 Fig.1 The upper and lower bounds of the interval CDFs of model responses and that of experiments,由图 2可以推断出，当所建的模型与物理过程完全一致时，模型输出响应量区间分布函数上、下界曲线将与实验结果区间经验分布函数上下界曲线重合，即两条实线与两条虚线之间阴

16、影部分的面积应该趋于零。如果所建的模型与物理过程不一致，且模型与真实物理过程之间差异程度越大，则模型输出响应量区间分布函数上、下界曲线与实验结果区间经验分布函数上、下界曲线之间的差异越大，即两条实线与两条虚线之间阴影部分的面积也就越大，反之亦然。因此，通过两条实线与两条虚线之间阴影部分的面积大小，可以客观地评估模型描述真实物理过程的准确程度。即图 2中阴影部分的面积越小，表明所建立的模型越接近真实物理过程，也就是模型的准确定性越高，反之亦然。为此，本文将随机-区间混合不确定性模型输出响应量的区间分布函数上、下界曲线与对应的实验结果区间经验分布函数上、下界曲线之间面积，定义为混合不确定性单输出模

17、型确认指标，用来度量模型响应量与实验结果之间的差异程度，其数学表达式为 (,)()()memUeZZdFzFzy,（2）LLd式中： 和 分别表示模()Z,()Z,型输出响应量区间分布函数的上、下界和 ， 和()mUZzYy,mLzYy,eUzy,分别表示试验输出响应量的区间经验eLF分布函数为的上、下界 和 。()eZF,()eLZY,3.2 指标的性质进一步分析可以看出，本文构建的模型确认指标具有下列数学性质：(1) 非负性由于（2）式的被积函数为非负函数，因此模型确认指标 为非负数。(,)medF(2) 对称性 由于(,)()()()meueumlelZZZZzzFdzy,y,(,)ee

18、llmFd所以混合不确定性模型确认指标 具有(,)me对称性。(3) 三角不等性由于41212121212(,)()()()()()()()()mmuumllZZZZueeulelmlelZ ZZZuuZZZdFzFzFdzFzdzy,y, y,y,1 2212 ()()(), llllZmuemlel mueulelZ ZZZezzdzzdF ,yy,所以随机-区间混合不确定性模型确认指标具有三角不等性。()(4) 理想模型指标趋零性在理想情况下，当且仅当所建的数学模型与真实物理过程完全一致时，如果试验样本量趋于无穷，则随机-区间混合不确定性模型输出响应量区间分布函数的上下界与试验输出响应量

19、的区间经验分布函数的上下界趋于重合，即式(2)表示的 收敛于零。(,)medF3.3 指标的求解由式(2)可知，本文所提模型确认指标求解的核心是确定模型输出响应量区间分布函数和实验结果区间经验分布函数的上下界，依据大数定理，运用Monte Carlo 数字模拟法，该指标的求解过程可概括为6个步骤。步骤1：离散区间变量向量。将区间变量向量 在其取值区间内均匀的离2(,)InY=散化为 个向量 ，IN12(,)Iiiiny。,i步骤2：确定实验数据的经验分布函数集。在每一个离散点 处，通过实验得到对应的i个输出观测值 ，并计eRMekizy(1,)eRM算它们的经验分布函数集 ，ieZFzY=y。

20、(1,)IiN步骤3：确定实验数据的区间经验分布函数上下界。依据第2步求得的 个区间变量离散I点处不同的 ，求得经验分布函数集()ieZzY=y的上界 和下()ieZFzY=y1,I ()eUZFzYy,界 。L步骤4：求解模型响应量的分布函数集。在每一个离散点 处，根据随机输入向量 的联i X合概率密度产生样本容量为 的样本，计算mRM对应的模型输出响应量的样本 kizy，进而求得对应于 的分(1,)mRi iY=布函数集 ， 。iFY=y1,IiN步骤 5：求解模型响应量区间分布函数上下界。类似步骤 3，可求得模型输出响应量分布函数集 ， 的上界()imZzY=y,)Ii和下界 。(UZ,

21、L步骤6：通过式（2）计算随机-区间混合不确定性模型确认指标 。(,)medF4. 算例分析针对提出的随机-区间混合不确定性模型确认指标，下面通过一个数值算例和两个工程算例验证所提指标的可行性和有效性。4.1 数字算例为了初步验证所提指标的可行性和有效性，本文设计了这个随机变量和区间变量共存的数字算例。在本算例中，假定实验数据通过式（3）获取，式中 为区间变量，3,6IX为模型参数， 为实(1.5)2(0.)eN验响应量的测量误差。此外，设计了与该物理实验对应的6个预测模型（见表1），它们被分为两组进行测试。设预测模型响应量的样本量用 表示，物理实验观测值的样本量用mR表示。e(,)sin(2

22、0.5)cos(0.25)yxx（3）.e表 1 两个测试组预测模型Tab.1 Formulas of prediction models in two test cases测试组 编号 公式1 1(),1.5)meyx2 2 4第一组 3 2(),.3)me4 4 2(15,0.)yxN5 4(),me第二组 6 4 2(.4,3)5测试1：第一组测试包括3个预测模型。与实验模型式（3）相比，模型1与实验模型相同，它是一个正确的模型；模型2的参数 比实验模型参数小；模型3的参数 比模型2的参数 小。由此可以定性地判断出，在第一组测试的三个模型中，模型1比模型2准确，模型2比模型3准确。这组测

23、试的目的：在预测模型参数存在差异的情况下，验证新指标能够有效地度量不同预测模型与物理实验之间的差异程度，客观评估三个模型的准确性程度。本测试中，从区间变量 的下限3开始，X每间隔0.01取一个 值，即通过区间 得到x,6个区间变量的名义值。对于区间变量30IN的每一个名义值 ，由式(3)生i(1,)IN成 个实验数据，由第一组测试中的1eRM3个模型分别生成 个对应的模型响0mR应量，按照3.3部分提出的指标求解方法和步骤，得到模型确认指标的计算结果见表2。表2 数字算例的模型确认指标计算结果Tab.2 Model validation metric results of the numeri

24、cal test case 模型 模型 1 模型 2 模型 3测试 1 指标值 0.0175 0.1394 0.2259模型 模型 4 模型 5 模型 6测试2 指标值 0.0344 0.1626 0.1819由表2可以清晰地看出，模型1的指标值最小(0.0175)，模型 2次之(0.1394)，而模型3的指标值最大(0.2259) ，即通过模型确认指标结果可以定量地判断出模型1的准确性高于模型2，模型2的准确性高于模型3，这一结论与定性分析结果完全一致。此外，按照本文提出的模型确认指标性质4，当数学模型与物理实验过程完全一致时，模型确认指标值将收敛于0。但从表2可以看出，模型1的指标值(0.

25、0175)并不为零，产生这一情况的原因并不是指标本身存在缺陷，而是在指标求解过程中， 和()mZFzYy,的上、下界均是通过有限样本计算得()eZFzYy,到的，难免会存在一定的误差。如果进一步提高模型的计算精度，增大样本量，这一误差将会减少甚至消除，最终模型1的指标值会收敛于零。因此，在模型参数存在差异的情况下，所建指标能够有效地度量不同模型与物理实验之间的差异程度，正确判别与实验结果一致性较好的预测模型。测试2：第二组测试也包括3个预测模型。模型4、模型5和模型6均将参数 作为不确定性变量。与实验模型相比，模型4和模型5中参数 的均值与实验模型参数 相同，皆为1.5，但模型5中 的方差比模

26、型4中 的方差的大；而模型5和模型6中参数 的方差相同，但模型6中参数的均值比模型5中参数 的均值小。由此可以定性地判断输出，模型4优于模型5，模型5的优于模型6。第二组测试的目的：在模型参数的分布函数存在很小差异时，验证新指标能够有效地度量不同预测模型与物理实验之间的差异程度，客观评估三个模型的准确性程度。同理，在测试2中，从区间变量 的下限3X开始，每间隔0.01取一个 值，得到x个区间变量的名义值。对于每一个区30IN间变量的名义值，由式(3)分别生成个实验数据，由表1中第二组测试eRM的3个模型分别仿真生成 个对应的10mRM模型输出响应量，按照3.3部分提出的指标求解方法和步骤，得到

27、的模型确认指标结果见表2。由表2可以看出，模型4的指标值最小(0.0344)，模型 5次之(0.1626)，而模型6的指标值最大(0.1819) ，即通过模型确认指标的结果可以定量地判断出模型4优于模型5，模型5优于模型6，这一判断结论与定性分析的结论完全一致。因此，在模型参数的分布函数存在很小差异的情况下，所建的指标能够正确地识别不同模型与物理实验之间的差异程度。4.2 悬臂梁算例如图3所示的矩形截面悬臂梁，其中梁的长度 、截面宽度 、截面厚度 和弹性模量Lbh分别为随机变量，它们的分布参数如表3所E示，梁的自由端承受集中力 为区间变量，F牛顿。输出响应量为挠度10,4IF的实验数据由解析方

28、程式（4）产生，()Bym测量误差为 。2(,.05)eNLhbA B图3 悬臂梁结构Fig.3 Diagram of the cantilever beam6（4）34BeFLyEbh表3 悬臂梁试验模型输入变量的参数分布Tab.3 Distribution parameters of inputs of the cantilever test model随机变量 分布类型 均值 变异系数正态 72.9100.05b正态 2.4487 0.08h正态 3.8884 0.08L正态 100 0.08为节约实验费用，提高效率，工业部门建立了3个不确定条件下的悬臂梁模型，这些模型的形式与解析方程相

29、同，但各随机变量的分布参数存在差异，具体数据见表4。由表4可以看出，与实验表达式相比，模型1是一个完全正确的模型，模型2中的随机变量的变异系数发生了变化，模型3中随机变量不仅变异系数发生了变化，而且均值也发生了变化，因此，可以定性地判断出模型1优于模型2，模型2优于模型3。表4 悬臂梁模型输入随机变量的分布参数Tab.4 Distribution parameters of inputs of cantilever models 模型1 模型2 模型3随机变量分布类型 均值 变异系数 均值 变异系数 均值 变异系数E正态 72.900.05 7.9100.05 72.9100.05b正态 2.

30、4487 0.08 2.4487 0.1 2.6 0.1h正态 3.8884 0.08 3.8884 0.1 3.9 0.1L正态 100 0.08 100 0.1 105 0.1同算例1相似，在区间 ，从10,41000开始每间隔1取一个 值，即选取F个 的名义值。运用本文提出的模型40INx确认指标，按照3.3部分的指标求解方法和步骤，由式(4)生成 组实验观测数据，由eRM表4中的3个模型分别仿真生成 组10mR模型响应量，模型确认指标的计算结果见表5。表5 悬臂梁模型确认指标计算结果Tab.5 Model validation metric results of the cantile

31、ver beam模型 模型1 模型2 模型3指标值 0.0147 0.2179 0.3668由表5的同样可以看出，运用本文提出的模型确认指标能够判断出模型1优于模型2，模型2优于模型3，这一结论与定性结论吻合，从而再次验证了本文所提指标的可行性和有效性。4.3 涡轮盘算例涡轮盘是航空发动机的一个关键转动部件，工作过程中承受着巨大的热应力和离心力。由于其机构复杂，工况恶劣，随着工作时间增长，一些部位(如榫槽槽底、销钉孔等)易应力集中而出现裂纹。图 4为型航空发动机涡轮盘的榫槽槽底裂纹示意图。该型发动机在最大转速工作状态下，它的涡轮盘榫槽槽底所受最大载荷的实验数据由解析方程式（5）产生。2eCFJ

32、 （5）其中： ， ， 和 和分别表示发动机涡轮盘的系数、转动角速度、质量密度和截面惯性矩， ， 和 J皆为随机变量，它们的分布参数见表6。转动角速度 2n为区间变量，其中 180,n为最大转动频率。e(,.)N为测量误差。 图 4 航空发动机涡轮盘模型裂纹示意图Fig.4 Diagram of crack of an aero engine turbo blade表6 航空发动机涡轮盘输入变量分布参数Tab.6 Distribution parameters of input variables of the aircraft engine turbo blade输入变量 分布类型 均值 变

33、异系数对数正态 8240 0.1C对数正态 5.67 01J正态 1.22e-4 0.1为了提高效率，节约实验费用，工业部门7建立了 3个不同的发动机涡轮盘模型，这些模型的形式与式（5）相同，但各输入变量的分布函数或分布参数存在一定差异，具体情况见表7。由表 7可以看出，与实验表达式相比，模型1是一个完全正确的模型，模型 2中的随机变量的变异系数发生了变化，模型 3中随机变量不仅变异系数发生了变化，而且均值也发生了变化，因此，可以定性地判断出模型 1的准确性高于模型 2，模型 2的准确性高于模型 3。表7 航空发动机涡轮盘模型输入变量分布参数Tab.7 Distribution paramet

34、ers of input variables of the models of the aero engine turbo blade随机变量CJ分布类型对数正态对数正态正态模型 1均值变异系数8 2 4 05 . 6 71 . 2 2 e - 40 . 10 . 10 . 1模型 2均值变异系数8 2 4 05 . 6 71 . 2 2 e - 40 . 1 50 . 1 50 . 1 5模型 3均值变异系数8 2 4 05 . 7 51 . 3 1 e - 40 . 1 50 . 1 50 . 1 5同理，在区间 中，从 180开始每,间隔 1取一个 值，即选取 个 的名nINn义值。由式

35、(5)生成 组实验数据，eRM由表 7中的 3个模型分别仿真生成组模型输出响应量，运用本文提0mR出的新指标，按照 3.3部分的指标求解方法和步骤，模型确认指标的计算结果见表 8。表8 航空发动机涡轮盘模型确认指标计算结果Tab.8 Model validation metric results of the aero engine turbo blade模型 模型 1 模型 2 模型 3指标 0.0174 0.1294 0.2351由表 8可以看出，依据本文提出的模型确认新指标能够客观地定量判断出模型 1的准确性高于模型 2，模型 2的准确性高于模型 3，这一结论与定性分析结论完全吻合，从而

36、再次验证了本文所提新指标的可行性和有效性。4.4 模型确认指标的风险分析尽管以上三个算例表明当模型响应量和实验样本量充足时，本文提出的指标在随机-区间混合不确定性模型确认方面可行有效，但当样本量不足时，所提指标具有一定的评估风险。下面以算例1中的第一组测试为例，对其评估风险进行分析。设模型响应量的样本量用 表mRM示，物理实验观测值的样本量用 表示。e（1） 固定， 变化 eRMmR从区间下限3开始，每间隔0.01取一个区间变量值，即在区间 中选取 个区3,630IN间变量的名义值。对应于每一个区间变量名义值，由式(3)分别生成 个实验数据，1eRM由表1中第一组测试中的3个模型分别仿真生成个

37、相应的模型响应量，按照3.3部分提出mR的指标求解方法和步骤，计算模型确认指标值。指标值随 的变化情况如图5所示。图5 模型确认指标 随 的变化曲线dmRMFig.5 Model validation metric versus the mR由图5可以看出，随着模型响应量的样本量的增大，模型确认指标值 迅速减小，从mRM时开始，指标值 开始趋于收敛到10d一个固定值。这表明 时，模型响应10mR量的计算结果趋于它们的解析解，且样本量越大，模型响应量的计算结果和指标值越mR接近理论值。但当 时，通过模型确认5R指标对不同的模型的准确性进行判断，会存在错判误判的风险。因此，运用文章所提方法进行模型

38、确认时，要尽量获得充足的样本。（2） 固定， 变化mRMeR同样， ，对应于每一个区间变量30IN名义值，为了保证模型响应量计算结果接近理论值，由表1中第一组测试中的3个模型分别仿真生成 个对应的模型响应量，按照mR3.3部分提出的指标求解方法和步骤，计算模型确认指标值。指标值随 的变化情况如图6所eR示。8图6 模型确认指标 随 的变化曲线deRMFig.6 Model validation metric versus the eR由图 6 可知，随着实验观测数据 的增大，模型确认指标 迅速减小并趋于收敛。当时，模型确认指标 的计算结果存在0eRMd相互交叉重叠现象，这表明在实验样本小于 6

39、0时，通过模型确认指标对不同模型的优劣进行判断，会存在一定的错判误判风险。产生这一问题的原因是由于试验数据量过少时，物理试验结果所服从经验分布函数难以准确估计所致。但当实验样本量大于 100时，该指标能够客观地评估不同数学模型与实验的一致性。5. 结论本文依据概率方法和区间理论，运用在区间变量固定情况下，随机-区间混合不确定性模型输出响应量为服从某一分布函数的随机变量这一特点，将文献6中面积指标，推广到随机-区间混合不确定性单输出模型确认中。运用随机-区间混合不确定性模型输出响应量的区间分布函数与实验输出响应量的区间经验分布函数上下界之间的面积差异，定义了一种新的模型确认指标。理论和算例分析结

40、果表明，在模型和实验样本充足的情况下，该指标能够有效地解决随机输入变量和区间输入变量共存且相互独立的混合不确定性单输出模型确认问题。但当模型或实验的样本量较少时，运用该指标对不同的混合不确定性模型的优劣进行评判时，会存在一定的错判误判风险。因此，运用文章所提的方法进行模型确认时，要尽量获得充足的样本，以便有效控制错判误判风险。参考文献（References ）1 Oberkampf W L，Roy C J. Verification and validation in scientific computing M. New York，USA: Cambridge University Pres

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